專題22 尺規(guī)作圖（5大考點）（解析版）

第六部分圖形的變化

專題22尺規(guī)作圖（5大考點）

核心考點一尺規(guī)作圖—作線段

核心考點二尺規(guī)作圖—作角（角平分線）

核心考點核心考點三尺規(guī)作圖—作三角形（等腰三角形）

核心考點四尺規(guī)作圖—作圓

核心考點五格點作圖題

新題速遞

核心考點一尺規(guī)作圖—作線段

例1（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】

小明的作法：

（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點D；

老師的問題：

（2）以B為圓心，AB長為半經(jīng)畫弧，交BF于點C；

已知：如圖，AE∥BF．

（3）連接CD．

求作：菱形ABCD，使點C，D分別在BF,AE上．

四邊形ABCD就是所求作的菱形，

【解答問題】

請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．

【答案】見解析

【分析】由作圖可知AD＝AB＝BC，然后根據(jù)AE∥BF可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB可

得結(jié)論．

【詳解】解：由作圖可知AD＝AB＝BC，

第1頁共64頁.

∵AE∥BF，即AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AD＝AB，

∴平行四邊形ABCD是菱形．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作線段，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知線段m，n．求作ABC，使A90,ABm,BCn．

【答案】見解析

【分析】作直線l及l(fā)上一點A；過點A作l的垂線；在l上截取ABm；作BCn；即可得到ABC．

【詳解】解：如圖所示：ABC為所求．

注：（1）作直線l及l(fā)上一點A；

（2）過點A作l的垂線；

（3）在l上截取ABm；

（4）作BCn．

【點睛】本題考查作圖——復雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．

例3（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，在YABCD中，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC于點E，

在AD上截取AFBE，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

第2頁共64頁.

（2）請用無．刻．度．的．直．尺．在YABCD內(nèi)找一點P，使APB90（標出點P的位置，保留作圖痕跡，不寫作

法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出AF∥BE，由作圖過程可知AF=BE，結(jié)合AB=BE即

可證明；

（2）利用菱形對角線互相垂直的性質(zhì)，連接AE和BF，交點即為點P．

【詳解】解：（1）根據(jù)作圖過程可知：AB=BE，AF=BE，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AF∥BE，

∵AF=BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∵AB=BE，

∴平行四邊形ABEF為菱形；

（2）如圖，點P即為所作圖形，

∵四邊形ABEF為菱形，則BF⊥AE，

∴∠APB=90°．

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的性質(zhì)進行畫圖．

作一條線段等于已知線段。先用直尺畫一條射線，再用圓規(guī)量取已知線段長度，再在畫出的直線段上

量取等長線段即可。這種是最簡單的尺規(guī)作圖，但是要學會用準確的語言表述作圖的基本步驟。

【變式1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知在ABC中，BD2CD．請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上

第3頁共64頁.

1

求作一點E，SS．（保留作圖痕跡，不寫作法）

△ABE6△ABC

【答案】見解析

【分析】以點B為圓心，CD為半徑畫弧，與BC交于點F，再作線段BF的垂直平分線，與BC交于點E即

可．

【詳解】解：如圖，點E即為所求，

1

由作圖可知：BFDFCD，且BEBF，

2

1

∴BEBC，

6

1

∴SS．

△ABE6△ABC

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)面積的關(guān)系確定線段的關(guān)系．

【變式2】（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）如圖，P為O外一點，M為OP中點．

(1)過點P作O的一條切線PQ，且Q為切點（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)在（1）的條件下，若PQ3PM，求證：點M在O上．

【答案】(1)見解析；

第4頁共64頁.

(2)見解析．

【分析】（1）以點M為圓心，OM的長為半徑畫弧交O于點Q，連接PQ，則PQ即為所求；

（2）連接OQ，設(shè)PMx，則PQ3x，可得OMPMx，OP2PM2x，在Rt△OPQ中，由勾股

定理可得OQx，從而得到O的半徑rx，即可求解．

【詳解】（1）解：如圖，PQ為所求作的O的切線，其中Q為切點．

理由：如圖，連接OQ，

由作法得：QMOM，

∵M為OP中點，

∴QMOMPM，

∴MOQOQM,PPQM，

∴MOQPOQMPQM，

即MOQPOQP，

∵MOQPOQP180，

∴OQP90，

即OQPQ，

∵OQ為O的半徑，

∴PQ與O相切；

（2）解：由（1）得，PQ與O相切于點Q．

連接OQ，

OQPQ，

第5頁共64頁.

OQP90．

設(shè)PMx，則PQ3x．

M是OP的中點，

OMPMx，OP2PM2x，

在Rt△OPQ中，OQOP2PQ2x，

即O的半徑rx，

OMr，

點M在O上．

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理，尺規(guī)作圖等知識，熟練掌握

切線的判定和性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測）閱讀材料：

我們曾經(jīng)解決過如下問題：“如圖，點M，N分別在直線AB同側(cè)，如何在直線AB上找到一個點P，使得

PMPN最小？”

我們可以經(jīng)過如下步驟解決這個問題：

①畫草圖（或目標圖）分析思路：在直線AB上任取一點P'，連接P'M，P'N，根據(jù)題目需要，作點M關(guān)

于直線AB的對稱點M'，將P'MP'N轉(zhuǎn)化為P'M'P'N，“化曲為直”尋找P'M'P'N的最小值；

②設(shè)計畫圖步驟；

③回答結(jié)論并驗證．

借鑒閱讀材料中解決問題的三個步驟完成以下尺規(guī)作圖：

已知三條線段h，m，c，求作ABC，使其BC邊上的高AHh，中線ADm，ABc．

(1)請先畫草圖(畫出一個即可)，并敘述簡要的作圖思路(即實現(xiàn)目標圖的大致作圖步驟)；

(2)完成尺規(guī)作圖(不要求寫作法，作出一個滿足條件的三角形即可)．

【答案】(1)草圖見解析，作圖思路：畫一條直線，在直線上取一點H，過點H作垂線，在垂線上截取AHh，

第6頁共64頁.

以A為端點，畫出ADm交直線于點D，畫ABc交直線于點B，在直線上取CDBD．

(2)圖見解析

【分析】（1）根據(jù)作圖思路畫出草圖即可；

（2）先畫一條直線，在直線上任意取一點H，以H為圓心，適當長度為半徑畫弧，得到一條線段，作線段

的垂直平分線，在垂直平分線上截取AHh，再以點A為圓心，分別以m、c的長為半徑畫弧，交直線于

點D、B，以點D為圓心，BD長為半徑畫弧交直線于點C，連接AB，AC即可畫出圖形．

【詳解】（1）草圖如圖所示，

作圖思路：畫一條直線，在直線上取一點H，過點H作垂線，在垂線上截取AHh，以A為端點，畫出ADm

交直線于點D，畫ABc交直線于點B，在直線上取CDBD．

（2）如圖，ABC即為所求，

【點睛】本題主要考查了基本作圖，解題時時注意：解決此類題目需要熟悉基本幾何圖形的步驟，結(jié)合幾

何圖形的基本特點把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

核心考點二尺規(guī)作圖—作角（角平分線）

例1（2022·寧夏·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，ABBC，ADDC于點D．

第7頁共64頁.

(1)用尺規(guī)作ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)求出CBEBEC，可得BCEC，求出ABEC，可得四邊形

ABCE為平行四邊形，再結(jié)合AB＝BC，可證得四邊形ABCE為菱形．

【詳解】（1）解：如圖所示．

（2）證明：BE是ABC的角平分線，

ABECBE，

∵AB∥CD，

ABEBEC，

CBEBEC，

BCEC，

ABBC，

ABEC，

四邊形ABCE為平行四邊形，

ABBC，

平行四邊形ABCE為菱形．

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定以

及菱形的判定，熟練掌握尺規(guī)作角平分線的步驟以及菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．

例2（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．

第8頁共64頁.

(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)求證：AD＝AE．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．

（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．

【詳解】（1）解：如圖所示，CE即為所求．

（2）證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，

11

∴ABDABC，ACEACB，

22

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ACE≌△ABD（ASA），

∴AD＝AE．

第9頁共64頁.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的

判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

例3（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：ABC．

(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出ABC內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

(2)如果ABC的周長為14cm，內(nèi)切圓的半徑為1.3cm，求ABC的面積．

【答案】(1)作圖見詳解

(2)9.1

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個角的角平

分線即可；

（2）利用割補法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個小三角

形，這三個小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進而

求出三角形的面積．

【詳解】（1）解：如下圖所示，O為所求作點，

（2）解：如圖所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

第10頁共64頁.

∵內(nèi)切圓的半徑為1.3cm，

∴OD=OF=OE=1.3，

∵三角形ABC的周長為14，

∴AB+BC+AC=14，

111

則S△S△S△S△ABODBCOEACOF

ABCAOBCOBAOC222

11

1.3(ABBCAC)1.3149.1

22

故三角形ABC的面積為9.1．

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)

與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

1、作角：作一個角等于已知角。它的基本原理是利用全等三角形的判定和性質(zhì)，作射線O'A';以點O

為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交OA,OB于點C,D;以點O'為圓心，以O(shè)C為半徑作弧，交O'A'于點C';

以點C'為圓心，以CD為半徑作弧，交O'B'于點D';.經(jīng)過點D'作射線O'B'，則角A'O'B'就是所求的角。

2、作角平分線：作已知角的角平分線。作出△ABC的角平分線BD，用圓規(guī)在BA、BC邊上分別截取等

長的兩線段BD、BE；分別以點D、點E為圓心，以相同半徑畫弧，兩弧交點為O；連接BO；射線BO便是角

ABC的平分線。這樣做的原理，實際上是利用了三角形全等的一個判定定理（邊邊邊定理）。

【變式1】（2023·廣東云浮·?？家荒＃┤鐖D，在ABC中，D是邊BC上的一點，ABBD．

第11頁共64頁.

(1)尺規(guī)作圖：作BE平分ABC，交AC于點E，連接DE（不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)求證：AEBDEB．

【答案】(1)畫圖見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）先根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作出點E的位置，再連接DE即可；

（2）只需要利用SAS證明△ABE≌△DBE即可證明AEBDEB．

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵BE平分ABC，

∴ABE=DBE，

在ABE和DBE中，

ABDB

ABEDBE，

BEBE

∴△ABE≌△DBESAS，

∴AEBDEB．

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，正確作出對

應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）如圖，OM平分AOB，E，F(xiàn)分別是射線OA，OB上的點，連接EF

交OM于點N．

第12頁共64頁.

(1)尺規(guī)作圖：作FP平分EFB，并交OM于點P；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)在（1）的情況下，若EFB120，AOB60，連接EP．試判斷四邊形OEPF的形狀，并加以證明．

【答案】(1)見解析

(2)四邊形OEPF是菱形，見解析

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

1

（2）先根據(jù)角平分線的定義求出PFBEFOEFB60AOB，從而得出PF∥AO，結(jié)合三角形外角

2

的性質(zhì)可求OPF30POF，由等角對等邊可得OFPF，證明EOF是等邊三角形，可得

EOFOPF，從可證四邊形OEPF是平行四邊形，最后根據(jù)菱形的定義即可得證．

【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求，

（2）解：四邊形OEPF是菱形．

證明：如圖，

第13頁共64頁.

∵FP平分EFB，EFB120，

1

∴PFBEFOEFB60，

2

又AOB60，

∴AOBPFB，

∴PF∥AO，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMBOMAOB30，

2

∴OPFPFBBOM30，

∴OPFPOF，

∴PFOF，

∵AOBEFO60，

∴EOF是等邊三角形，

∴EOFO，

∴EOPF，

又PF∥AO，

∴四邊形OEPF是平行四邊形，

又EOFO，

∴平行四邊形OEPF是菱形．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識，靈活運用

所學知識進行解答是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1和圖2所示，在平行四邊形ABCD中，點M為對角線

AC上的一點，點N為邊BC上的一點，且點A和點N關(guān)于直線BM對稱．

(1)請用尺規(guī)作圖的方法在圖1中確定點M，N的位置（保留作圖痕跡，不用寫出作法）；

(2)如圖2所示，若ABC60，ACB45，AB103．

第14頁共64頁.

①求B，M兩點之間的距離；

②連接DN，請直接寫出CN和DN的長為多少，不用說明理由．

【答案】(1)見解析

(2)①103；②CN1553，DN152

【分析】（1）先畫弧得出ABNB，再作出ABN的平分線交AC于點M，則點M即為所求作；

（2）①證明BACBMA75，可得結(jié)論；②連接AN，過點A作AFBC于點F，可得ABN是等邊

三角形，根據(jù)勾股定理求出相關(guān)線段的長度即可．

【詳解】（1）畫圖如下：

故點A和點N關(guān)于直線BM對稱．

（2）①ABC60,ACB45，

BAC75，

由（1）的作法可得，BM平分ABC，

ABM30，

BMA75，

∴BACBMA75，

BMAB103

②連接AN，過點A作AFBC于點F，如圖，

由作法可得，ABN是等邊三角形，

第15頁共64頁.

1

ANAB，BFFNAB53，

2

在RtABF中，由股定理得，AFAB2BF215,

ACF45，

∴CAF45，

∴AFFC

∴ACAF2FC2152

∵ABCD

∴ANCD，且BC∥AD

∴四邊形ANCD是等腰梯形，

DNAC152，

CNFCFN1553

【點睛】本題主要考查了基本作圖：作角平分線、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出

圖形是解答本題的關(guān)鍵．

核心考點三尺規(guī)作圖—三角形（等腰三角形）

例1（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知P是O外一點．用兩種不同的方法過點P作O的一

條切線．要求：

（1）用直尺和圓規(guī)作圖；

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．

【答案】答案見解析．

第16頁共64頁.

【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交O于點

Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．

方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作O的切線，作射線PO，交O于點M,N，以P為圓心，PO

為半徑作P,以O(shè)為圓心，MN的長為半徑畫弧交P于點A，連接PA,OA,OA交O于點B，則PAO是

1

等腰三角形，OBOA，則PBOA，PB即為所求．

2

【詳解】解：

1

作法：連結(jié)PO，分別以P、O為圓心，大于PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結(jié)兩點交PO于點A；

2

以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交O于點Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．

作法：作射線PO，交O于點M,N，以P為圓心，PO為半徑作P,以O(shè)為圓心，MN的長為半徑畫弧交

1

P于點A，連接PA,OA,OA交O于點B，則PAO是等腰三角形，OBOA，則PBOA，PB即為所

2

求．

【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，

圓的作法等知識點．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖．解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性

第17頁共64頁.

質(zhì)，結(jié)合基本幾何圖形的性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

例2（廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知ABC，請根

據(jù)“SAS”基本事實作出DEF，使DEFABC

.

【答案】見解析.

【分析】先作一個DA，然后在D的兩邊分別截取EDBA，DFAC，連接EF即可得到DEF；

【詳解】解：如圖，

DEF即為所求．

【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖

形的性質(zhì)和基本作圖方法-解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復

雜作圖拆解成基本作圖，逐.步操作也考查了全等三角形的判定

例3（山東青島·統(tǒng)考中考真題）.已知：∠α，直線l及l(fā)上兩.點A，B．

求作：Rt△ABC，使點C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

【答案】見解析

【分析】先作∠DAB=α，再過B點作BE⊥AB，則AD與BE的交點為C點．

【詳解】解：如圖，△ABC為所作．

第18頁共64頁.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖

形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把

復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

1

【變式1】（2022·吉林·統(tǒng)考二模）如圖，點D為線段BC中點，分別以B，C為圓心，大于BC長為半徑

2

畫弧，兩弧交于點A．連接AB，AC，過點D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，求證DEDF．

【答案】見解析

【分析】由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC可判斷△ABC為等腰三角形，于是得到AD

為∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DEDF．

【詳解】連接AD，

由尺規(guī)作圖可知ABAC，

第19頁共64頁.

∵D為BC中點，

∴AD平分BAC．

∵DEAB，DFAC，

∴DEDF．

【點睛】此題考查作圖問題，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DEDF．

【變式2】（2022·福建福州·福州三牧中學?？家荒＃┤鐖D，已知MON090，OP是MON的

平分線，點A是OM上一點，AEON于點E交OP于點D，OAE的平分線AG與OP交于點F．

(1)作點A關(guān)于OP對稱點B（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)寫出一個的值，使得對于射線OM上任意的點A總有OD2AF（點A不與點O重合），并證明．

【答案】(1)見解析

(2)當45時使得對于射線OM上任意的點A總有OD2AF，

【分析】（1）以O(shè)為圓心，AO長為半徑畫圓，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得圓與射線ON交點即為B；

（2）當45時總有OD2AF，只需證明AB=OD=2AC，AF2AC即可．

【詳解】（1）圖形如圖所示，點B即為所求：

第20頁共64頁.

（2）當45時使得對于射線OM上任意的點A總有OD2AF，證明如下：

設(shè)AB交OP于C

∵45

∴AOEOAE45

∴AEOE

∵OP是MON的平分線，OAE的平分線AG與OP交于點F

∴DGAE=DDOE=22.5°

由（1）得OA=OB

∴AB⊥OP，AB=2AC

∴DOEEAB90OBA22.5

∴FACEABEAG45

∴AF2AC

在△ODE和△ABE中

OEDBEA

OEAE,

DOEEAB

∴ODEABE（ASA）

∴OD=AB

∴ODAB2AC2AF

【點睛】本題考查全等三角形的綜合，熟記等腰三角形三線合一性質(zhì)、等腰直角三角形特點是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·浙江溫州·溫州市第二實驗中學?？级＃┤鐖D，在510的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，

小正方形的頂點稱為格點，格點ABC如圖所示，請按要求在網(wǎng)格中畫格點三角形．

第21頁共64頁.

(1)在圖1中畫等腰VADE，使VADE與ABC面積相等但不全等．

(2)在圖2中畫PBC，使PBC與ABC面積相等，且滿足BAC2BPC．

【答案】(1)畫圖見解析

(2)畫圖見解析

【分析】（1）畫一個底為8，高為3的等腰三角形即可；

（2）如圖，取格點P，使AP=5，P到BC的距離為4，再順次連接P，B，C即可．

(1)

解：（1）如圖1中，△ADE即為所求；

(2)

（2）如圖2中，△PBC即為所求．

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

第22頁共64頁.

核心考點四尺規(guī)作圖—作圓

例1（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．

(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求tanADB

的值．

【答案】(1)作圖見解析

51

(2)

2

【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；

（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)ADB，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是

正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解BErtan，再判定△ABE≌△CDF，根據(jù)

AE

BEDFrtan，DEDFEFrtanr，在Rt△ADE中，利用tanADE，得到

DE

51

tan2tan10，求解得到tan∠ADB的值為．

2

【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：

（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：

第23頁共64頁.

設(shè)ADB，⊙A的半徑為r，

∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，

∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，

∵CF⊥BD，

∴∠EFG＝90°，

∴四邊形AEFG是矩形，

又AEAGr，

∴四邊形AEFG是正方形，

∴EFAEr，

在Rt△AEB和Rt△DAB中，BAEABD90，ADBABD90，

∴BAEADB，

BE

在Rt△ABE中，tanBAE，

AE

∴BErtan，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴ABECDF，又AEBCFD90，

∴△ABE≌△CDF，

∴BEDFrtan，

∴DEDFEFrtanr，

AE

在Rt△ADE中，tanADE，即DEtanAE，

DE

∴rtanrtanr，即tan2tan10，

∵tan0，

第24頁共64頁.

51

∴tan51，即tan∠ADB的值為．

22

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判

定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題

的關(guān)鍵．

例2（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角ABC中，ACBC．

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作ACB的平分線CD；作ABC的外接圓O；（不寫作

法，保留作圖痕跡）

48

（2）在（1）的條件下，若AB，O的半徑為5，則sinB________．（如需畫草圖，請使用圖2）

5

4

【答案】（1）見詳解；（2）

5

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作ACB的平分線CD，作出AC的中垂線交CD于點O，

再以點O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；

24

（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進而即可

5

求解．

【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）連接OA，

∵ACBC，ACB的平分線CD，

第25頁共64頁.

114824

∴AD=BD=AB，CD⊥AB，

2255

∵O的半徑為5，

2

222247

∴OD=OAAD5，

55

732

∴CD=CO+OD=5+=，

55

22

222432

∴BC=BDCD8，

55

32

∴CD4．

sinB5

BC85

4

故答案是：．

5

【點睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形

外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人

自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何

作圖題：

原文釋義

甲乙丙為定直角．

如圖2，ABC為直角．

以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；

以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA，BC分別于點D，

以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點

E；

己；

以點D為圓心，以BD長為半徑畫弧與DE交于點F；

再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點

庚；再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與DE交于點G；

乙與己及庚相連作線．作射線BF，BG．

第26頁共64頁.

(1)根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出DBG，GBF，F(xiàn)BE的大小關(guān)系．

【答案】(1)見解析

(2)DBGGBFFBE

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）連接DF，EG，可得VBDF和BEG均為等邊三角形，DBFEBG60，進而可得

DBGGBFFBE30．

【詳解】（1）解：（1）如圖：

（2）DBGGBFFBE．

理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG

即VBDF和BEG均為等邊三角形

∴DBFEBG60

第27頁共64頁.

∵ABC90

∴DBGGBFFBE30

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．

作圓：過不在同一直線上的三點作圓。連接三個不在一條直線的點可以確定一個且只有一個三角形因

為是三角形的外接圓圓心到三個點的距離等于半徑所以隨便取兩條邊做兩條邊的垂直平分線兩條不平行的

直線可以確定唯一的一個點，以此點為圓心，到三角形任意一頂點為半徑畫圓，這個圓就是此三角形的外

接圓。

【變式1】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知：ABC．求作：ABC的外接圓內(nèi)的點P，使P2A，

PBPC．請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

【答案】見解析

【分析】作出ABC的外接圓，即可得出點P的位置．

【詳解】如圖，點P即為所求．

【點睛】本題主要考查了復雜作圖，正確掌握三角形外接圓的作法是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2023·山東·統(tǒng)考一模）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

如圖，BAC45，D，E在AB上，作O經(jīng)過D，E兩點且與AC相切．

第28頁共64頁.

【答案】見解析

【分析】先作AE的垂直平分線得到中點P，則以AE為直徑可作P，再過D點作AB的垂線交P于Q點，

接著在AC上截取AFAQ，然后過F點作AC的垂線交DE的垂直平分線于O點，則以O(shè)點為圓心，OF為

半徑作圓即可．

【詳解】如圖，⊙O為所作．

【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．

【變式3】12．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎狝BC中，A22.5，B45．

(1)求作：O，使得圓心O落在AB邊上，且O經(jīng)過A、C兩點；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作

法）

(2)在（1）所作的圖形中，若與AB相交于D，連接CD，

①求證：直線BC是O的切線；

②求tanBCD的值．

【答案】(1)圖見解析

(2)①見解析②21．

【分析】（1）作線段AC的中垂線，交AB于點O，O點即為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓即可；

第29頁共64頁.

（2）①連接OC，根據(jù)圓周角定理，可得COD2A45，進而得到OCB90，即可得證；

②易證OACBCD，過點C作CHAD于點H，得到CHO為等腰直角三角形，求出CH,OH的長，

進而求出AH的長，即可得解．

【詳解】（1）解：如圖所示，O即為所求；

（2）①證明：連接OC，則：COD2A45，

∵B45，

∴OCB90，即：OCBC，

∵OC為O的半徑，

∴BC為O的切線；

②解：∵OAOC2，AD是O的直徑，

∴OACOCA,ACD90，

∴OACOCDOCAOCDBCDOCD90，

∴OACBCD，

過點C作CHAD于點H，則：CHO=90，

第30頁共64頁.

∵COD45，

2

∴CHOHOC2，

2

∴AHOAOH22，

CH2

∴tanBCDtanA21．

AH22

【點睛】本題考查基本作圖—中垂線，畫圓，以及圓周角定理，切線的判定，解直角三角形．熟練掌握相

關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．

核心考點五格點作圖題

例1（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格．點．

線．段．（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．

(1)在圖1中畫一條線段垂直AB．

(2)在圖2中畫一條線段平分AB．

【答案】(1)圖見解析，BCAB（答案不唯一）

(2)圖見解析，EF平分AB（答案不唯一）

第31頁共64頁.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點，利用三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖即可得；

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，利用矩形的判定與性質(zhì)畫圖即可得．

（1）

解：如圖1，線段BC即為所求，滿足BCAB．

（2）

解：如圖2，線段EF即為所求，滿足EF平分AB．

【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖、矩形的判定與性質(zhì)畫圖，熟練掌握全等三角形和矩形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

例2（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風”的風景，引來市民

和游客爭相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請在水城

河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，使得每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等．

第32頁共64頁.

(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)在圖中格點處標出三個符合條件的停車位P1，P2，P3；

(3)建立平面直角坐標系，設(shè)M0,2，N2,0，停車位Px,y，請寫出y與x之間的關(guān)系式，在圖中畫出

停車帶，并判斷點P4,4是否在停車帶上．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

1

(3)yx2(2x2)，圖見解析，點P4,4不在停車帶上

4

【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得；

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，找出三個點使得它們到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等即可；

（3）先求出點P到水城河的距離，再求出點F的坐標，利用兩點之間的距離公式可得PF的長，然后根據(jù)

點P到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等即可得函數(shù)關(guān)系式，最后畫出函數(shù)圖象即為停車帶，由此即可得

出結(jié)論．

（1）

解：如圖，線段FQ的長即為所求．

第33頁共64頁.

（2）

解：如圖，點P1，P2，P3即為所求．

（3）

解：如圖，建立平面直角坐標系．

則F(0,1)，水城河所在的直線為y1，南環(huán)路所在的直線為y1，

停車位Px,y到水城河的距離為y1，

PF(x0)2(y1)2x2y22y1，

每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等，

x2y22y1y1，

1

整理得：yx2，

4

第34頁共64頁.

1

當y1時，x21，解得x2，

4

又要在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，

2x2，

1

y與x之間的關(guān)系式為yx2(2x2)，

4

畫出停車帶如下：

因為42，

所以點P4,4不在停車帶上．

【點睛】本題考查了作垂線、二次函數(shù)的應(yīng)用、兩點之間的距離公式等知識點，較難的是題（3），正確求

出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．

格點作圖問題作為中考的新寵兒，自從登上中考試卷之后，迅速的在初中各年級考試當中鋪開，并且難度

有逐年加大的趨勢.

格點作圖的基本技巧

（一）水平or豎直方向上畫任意有理長度

訣竅：利用相似和比例線段相關(guān)知識，綜合使用“A型相似”或者“X型相似”.

（二）任意點關(guān)于任意有理網(wǎng)格線的對稱點

訣竅：兩線相交可定點，故作直線關(guān)于網(wǎng)格線的對稱來確定對稱點，而直線的對稱又通過特殊點關(guān)于網(wǎng)格

線對稱進行表述.

第35頁共64頁.

（三）任意點關(guān)于任意有理網(wǎng)格線的垂線或者平行線

訣竅：對稱點相連即可得平行or垂直

（四）平移：任意點進行水平or豎直方向上任意有理長度的平移

訣竅：兩線相交可定點.根據(jù)(三)可作過點A的平行線，同時結(jié)合過點A的藍色直線平移便可得到A`.藍

色直線的平移轉(zhuǎn)化成特殊點的平移.

（五）任意線段取任意有理等分點

訣竅：由(四)可知，可作任意點關(guān)于任意有理長度在水平或者豎直方向的平移，所以取線段AB的三等分點

構(gòu)建X型相似即可.點A往下平移1個單位長度變成，點B往上平移兩個單位長度變成.

【變式1】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃┤鐖D，在6×7的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長為1，ABC

的頂點均為格點

(1)在圖①中，借助網(wǎng)格和無刻度的直尺畫出ABC的高CM；

(2)在圖②中，連接點B與格點D．點P是BC的中點，點Q為BD上的一動點，當CPQ的周長最小時，請

利用網(wǎng)格和無刻度的直尺確定點P、Q的位置，并畫出CPQ．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）在圖①網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理畫出ABC的高CM即可；

（2）在圖②網(wǎng)格中，根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分找到點P，連接AP交BD于點Q，即可畫出CPQ．

【詳解】（1）解：如圖所示，

過點C作34格對角線，

第36頁共64頁.

因為AB是34格對角線，

所以CMAB．

則CM即為所求；

（2）解：如圖所示，CPQ即為所求．

理由：設(shè)網(wǎng)格的邊長為1，則AB32425，又BC5，

ABBC,

ABC為等腰三角形，

D為AC的中點，

BD為AC的垂直平分線，

A與C關(guān)于BD對稱，

PCQ的周長QCQPPCAQQPPC,

當A、Q、P三點共線時，

△PCQ的周長最?。?/p>

【點睛】本題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖、軸對稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．

【變式2】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃﹫D1、圖2均是66的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊

長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，

分別按下列要求作圖，保留適當?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出作法．

1

(1)在圖1中的線段AB上找一點D，連結(jié)CD，使SS；

ACD2ABC

第37頁共64頁.

1

(2)在圖2中的線段AB上找一點E，連結(jié)CE，使SVSV．

ACE4ABC

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，尋找點D，使點D為線段AB的中點，連接CD即可；

（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)，尋找點E使得AE∶EB1∶3，連接CE即可．

【詳解】（1）解：如圖1中，點D即為所求，

；

（2）解：如圖2中，點E即為所求，

．

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的面積，