專題08 難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略(原卷版)

專題08難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略

【考點導航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】..............................................................................................1

【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】..........................................................................................................3

【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】..................................................................................................6

【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】..............................................................................................7

【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】..........................................................................................................8

【考點六數(shù)軸上的動點新定義型問題】........................................................................................................10

【典型例題】

【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】

例題：（2023秋·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：A、B、C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點C表

示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為；

(2)動點P，Q同時從A，C出發(fā)，點P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動．點Q以每秒2個

單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒；

①求數(shù)軸上點P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；

②t為何值時，P，Q兩點重合；

③請直接寫出t為何值時，P，Q兩點相距5個單位長度．

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【變式訓練】

1．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，

且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運

動時間為tt0秒．

（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是___________；當點P運動到AB的中點時，它所表示的數(shù)是__________．

（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)．求：

①當點P運動多少秒時，點P追上點Q？

②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？

2．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)

軸”．圖中點A表示12，點B表示12，點C表示20，我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距32個長度單位，

記為LAC32．動點M從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點N從點C出發(fā)，沿著“折線

數(shù)軸”的負方向運動，它們在水平軸AO，BC上的速度都是2單位/秒，在O，B之間的上行速度為1單位/

秒，下行速度為3單位秒．設運動的時間為t秒．

(1)當t4秒時，M，N兩點在數(shù)軸上相距多少個單位長度？

(2)當M，N兩點相遇時，求運動時間t的值．

(3)若“折線數(shù)軸”上定點P與O，B兩點相距的長度相等，且存在某一時刻t，使得兩點M，N與點P相距的

長度之和等于6，請直接寫出t的值為____________．

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3．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，

b，則A、B兩點之間的距離表示為AB=a-b．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則AB231．

問題提出：

(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離AB______，線段

AB的中點表示的數(shù)為______．

(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以

每秒2個單位長度的速度向左運動．設運動時間為t秒（t>0）

①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；

②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．

(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當各自到達線段AB的

端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二

次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．

【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】

例題：（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┤鐖D，有兩條線段，AB2（單位長度），CD1（單位長度）

在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是12，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．

(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

(2)若線段AB以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段CD以2個單位長度秒的速度也向左勻速運

動，設運動時間為t秒，當t為何值時，點B與點C之間的距離為1個單位長度？

(3)若線段AB、線段CD分別以1個單位長度/秒、2個單位長度/秒的速度同時向左勻速運動，與此同時，

1

動點P從15出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動．設運動時間為t秒，當0t5時，2ACPD

3

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的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．

【變式訓練】

1．（2022秋·七年級課時練習）已知，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動7個單位到達A點，再從A

點向右移動12個單位到達B點，把點A到點B的距離記為AB，點C是線段AB的中點．

(1)點C表示的數(shù)是；

(2)若點A以每秒2個單位的速度向左移動，同時C、B點分別以每秒1個單位、4個單位的速度向右移動，

設移動時間為t秒，

①點C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；

②當t=2秒時，求CB-AC的值；

③試探索：CB-AC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

2．（2022秋·河北·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點A對應的有理數(shù)為a，點B對應的有理數(shù)為b，點C對應的

有理數(shù)為c，且c2，點C向左移動3個單位長度到達點A，向右移動5個單位長度到達點B．

(1)a___________，b___________；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數(shù)；

(3)若點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度

向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間t秒，則7QM2PM的值是否

隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

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3．（2022秋·全國·七年級專題練習）如圖：在數(shù)軸上，點A表示a,點B表示b,點C表示c,b是最大的負整

數(shù)，且a,c滿足|a3|(c5)20

1a________，b_________，c_____________

2若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)____________表示的點重合；

3點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以

每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，

①請問:3BC2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

②探究:若點A、C向右運動，點B向左運動，速度保持不變，3BC4AB的值是否隨著時間t的變化而改變？

若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

4．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、

B兩點對應的數(shù)分別為1、3．

(1)填空：線段AB的長度AB______；

(2)若點A是BC的中點，點D在點A的右側，且ODAC，點P在線段CD上運動．問：該數(shù)軸上是否存

在一條線段，當P點在這條線段上運動時，PAPB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？

(3)若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從

EFOP

點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是PE、OF的中點．點P、E、F的運動過程中，

MN

的值是否發(fā)生變化？請說明理由．

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【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】

例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．

(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；

(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：

①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；

②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），求A，

B兩點所表示的數(shù)分別是多少？

③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設點P表示的數(shù)為x．當PA+PB＝12時，直接寫出x的值．

【變式訓練】

1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為﹣2，6．

(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出點A、點B；

(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位

長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．

①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？

②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當點P是【B，A】

的三倍點時，求此時P對應的數(shù)．

2．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點，點A表示的數(shù)是90，

點B表示的數(shù)是30．

(1)直接寫出線段AB的中點C對應的數(shù)；

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(2)若點D在數(shù)軸上，且BD50，直接寫出點D對應的數(shù)；

(3)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進8個單位長度；同時王聰從點B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進12個單位長度它們在點E處相遇，求點E對應的數(shù)；

(4)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進8個單位長度；同時王聰從點B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進12個單位長度，當它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求李明所在位置點F對應的數(shù)．

【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】

例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)

式x2的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離．因為|x1||x(1)|，所以x1的

幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離．

(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)1，2，x．

填空：因為x1x2的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，而當點P在線段AB上時，PAPB3，

當點P在點A的左側或點B的右側時，PAPB3．所以x1x2的最小值是______；

(2)解決問題：

①直接寫出式子|x4||x2|的最小值為_______；

②直接寫出不等式|x3||x1|4的解集為_______；

③當a為_______時，代數(shù)式|xa||x3|的最小值是2．（直接寫出結果）

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【變式訓練】

1．（2022秋·全國·七年級專題練習）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之

間的距離表示為AB，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設A在原點，如圖1，|AB||OB||b||ab|，

當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB||OB||OA||b||a|ba|ab|；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB||OB||OA||b||a|b(a)ab|ab|③如圖4，點A、

B在原點的兩邊，|AB||OB||OA||b||a|a(b)|ab|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離

|AB||ab|．

回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離是______，

如果AB2，那么x為______．

（2）若x表示一個有理數(shù)，則當x在什么范圍內(nèi)時，|x1||x3|有最小值？請寫出x的范圍及

|x1||x3|的最小值．

11

（3）若x表示一個有理數(shù)，則當x在什么范圍內(nèi)時，x1x1有最小值？請寫出x的范圍及

22

11

x1x1的最小值．

22

圖1

圖2

圖3

圖4

【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】

例題：（2022秋·北京朝陽·九年級校考階段練習）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右

移動1個單位長度到達點P1，第2次向右移動2個單位長度到達點P2，第3次向左移動3個單位長度到達

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點P3，第4次向左移動4個單位長度到達點P4，第5次向右移動5個單位長度到達點P5…，點P按此規(guī)律

移動，則移動第158次后到達的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）

A．159B．-156C．158D．1

【變式訓練】

1．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)1,現(xiàn)將點A沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點A

向左移動3個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9

個單位長度到達點A3，…，按照這種移動規(guī)律進行下去，第2021次移動到點A2021，那么點A2021所表示的數(shù)

為（）

A．3029B．3032C．3035D．3038

n21n2

2．（2022秋·七年級課時練習）一組數(shù)0，2，4，8，12，18，…中的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別用代數(shù)式，

22

12122321

表示，如第1個數(shù)為0，第2個數(shù)為2，第3個數(shù)為4，…，則第8個數(shù)的值是，

222

數(shù)軸上現(xiàn)有一點P從原點出發(fā)，依次以此組數(shù)中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時，點P在原點，記為

P1；第2秒點P1向左跳2個單位，記為P2，此時點P2表示的數(shù)為-2；第3秒點P2向右跳4個單位，記為P3，

點P3表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點P11表示的數(shù)為．

3．（2022秋·廣東惠州·七年級階段練習）已知A、B兩點相距54米，小烏龜從A點出發(fā)前往B點，第一次

它前進1米，第二次它后退2米，第三次再前進3米，第四次又向后退4米，…，按此規(guī)律行進，如果A點

在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，數(shù)軸上每個單位長度表示1米（從A點向B點方向行進記為前進）

（1）求出B點在數(shù)軸上表示的數(shù)；

（2）若B點在原點的右側，經(jīng)過第五次行進后小烏龜?shù)竭_M點，第六次行進后到達N點，M點到A點的

距離與N點到A點的距離相等嗎？說明理由；

（3）若B點在原點的左側，那么經(jīng)過10次行進后，小烏龜?shù)竭_的點與B點之間的距離是多少？

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【考點六數(shù)軸上的動點新定義型問題】

例題：（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B

的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．

例如：如圖1，點A表示的數(shù)為－1，點B表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是

1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D

就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．

如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為－7，點N所表示的數(shù)為2

(1)點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是；寫出【N，M】美好點

H所表示的數(shù)是．

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，P，M和N中

恰有一個點為其余兩點的美好點？

【變式訓練】

1

1．（2022秋·山東德州·七年級校考階段練習）對于平面內(nèi)的兩點M、N，若直線MN上存在點P，使得MP=NP