隨機(jī)過程考試真題

隨機(jī)過程考試真題隨機(jī)過程考試真題/PAGE隨機(jī)過程考試真題1、設(shè)隨機(jī)過程 X(t) Rt C，t (0, )，C為常數(shù)， R聽從[0,1]區(qū)間上的均勻散布。

1）求X(t)的一維概率密度和一維散布函數(shù)；

2）求X(t)的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

2、設(shè)W(t), t 是參數(shù)為 2的維納過程，R~N(1,4)是正態(tài)散布隨機(jī)變量；

且對(duì)隨意的 t ，W(t)與R均獨(dú)立。令 X(t) W(t) R，求隨機(jī)過程

X(t), t 的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

3、設(shè)抵達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，均勻每小時(shí)有 180人，即 180；且每個(gè)

顧客的花費(fèi)額是聽從參數(shù)為 s的指數(shù)散布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)希望與方差。

4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(2)及當(dāng)初始散布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的安穩(wěn)散布。5設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I {1,2,3,4,5}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

求狀態(tài)的分類、各常返閉集的安穩(wěn)散布及各狀態(tài)的均勻返回時(shí)間。

6、設(shè) N(t),t 0是參數(shù)為 的泊松過程，計(jì)算 EN(t)N(t s)。

7、考慮一個(gè)從基層啟動(dòng)上漲的電梯。以

Ni記在

i

第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假設(shè)

Ni

互相獨(dú)立，

且Ni是均值為

i的泊松變量。在第

i層進(jìn)入的各個(gè)人互相獨(dú)立地以概率

pij

在第

j

層走開電

梯，

pij

1。令Oj＝在第

j

層走開電梯的人數(shù)。

i

1）計(jì)算E(Oj)2）Oj的散布是什么

3）Oj與Ok的結(jié)合散布是什么

8、一質(zhì)點(diǎn)在 1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)辰t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一， 則在[t,t h)內(nèi)，

它都以概率 h o(h)分別轉(zhuǎn)移到其余兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微

分方程，轉(zhuǎn)移概率 pij(t)及安穩(wěn)散布。

1有隨機(jī)過程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，設(shè)(t)=Asin( t+)，(t)=Bsin(t++), 其

中A，B，，為實(shí)常數(shù)， 均勻散布于[0，2]，試求R(s,t)

2（15分）隨機(jī)過程()=Acos(+)，-<t<+，此中A,,是互相統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，ttEA=2,DA=4,是在[-5,5]上均勻散布的隨機(jī)變量，是在[-，]上均勻散布的隨機(jī)變量。試剖析(t)的安穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。3某商鋪顧客的到來聽從強(qiáng)度為 4人每小時(shí)的 Poisson過程，已知商鋪 9：00開門，試求：

1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；

2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在將來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。

4設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、熱銷（用3表示）。若經(jīng)過對(duì)歷史資料的整理剖析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)辰?jīng)]關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pijij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為（p銷售狀態(tài) j的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：

試對(duì)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后的銷售情況進(jìn)行剖析。

5設(shè){X(t),t0}是獨(dú)立增量過程 ,且X(0)=0,證明{X(t),t0}是一個(gè)馬爾科夫過程。

6設(shè) N(t),t 0是強(qiáng)度為 的泊松過程， Yk,k=1,2,L 是一列獨(dú)立同散布隨機(jī)變量，且

N(t)與N(t),t 0獨(dú)立，令X(t)= Yk,t 0，證明：若 E(Y12< )，則EX(t) tEY1

k=1

7.設(shè)明日能否有雨僅與今日的天氣有關(guān)，而與過去的天氣沒關(guān)。又設(shè)今日下雨而明日也下雨的概率為 ，現(xiàn)在天無雨明日有雨的概率為 ；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài) 0，無雨天氣為狀態(tài) 1。

設(shè)0.7,，求今日有雨且第四天仍有雨的概率。

8設(shè)

t,

t

是安穩(wěn)過程，令

t

tcos

0t

,

t

，此中

0

是常數(shù)， 為均勻散布在

[0,2]上的隨機(jī)變量，且

t,

t

與互相獨(dú)立，

R()和

S()分別是

t,

t

的有關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：

（1） t, t 是安穩(wěn)過程，且有關(guān)函數(shù)：

（2） t, t 的功率譜密度為：

9已知隨機(jī)過程 (t)的有關(guān)函數(shù)為：

2

e，問該隨機(jī)過程(t)能否均方連續(xù)？能否均方可微？

1、設(shè)隨機(jī)過程 X(t) Rt C，t (0, )，C為常數(shù)， R聽從[0,1]區(qū)間上的均勻散布。

1）求X(t)的一維概率密度和一維散布函數(shù)；

2）求X(t)的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】

x

（1）F(x) f(t)dt，則f(t)為密度函數(shù)；

（2）X(t)為(a,b)上的均勻散布，概率密度函數(shù)1,axb，散布函數(shù)f(x)ba0,其余

0,xa(ba)2xaabF(x),axb，E(x)，D(x)；bab2121,x（3）參數(shù)為的指數(shù)散布，概率密度函數(shù)f(x)ex,x0，散布函數(shù)0,x0F(x)1ex,x0，0,x0（4）E(x) ,D(x)

1，D(x)1E(x)2；1(x)22的正態(tài)散布，概率密度函數(shù)f(x)e22,x，2(t)2散布函數(shù)F(x)

1

2

x2dt,x，若0,1時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布。e2【解答】本題可參加課本習(xí)題及題。（1）因R為[0,1]上的均勻散布，C為常數(shù)，故X(t)亦為均勻散布。由R的取值范圍可知，

1X(t)為[C,Ct]上的均勻散布，所以其一維概率密度f(x)t,CxCt，一維散布0,其余0,xC函數(shù)F(x)xC,CXCt；tCt1,x（2）依占有關(guān)定義，均值函數(shù)mX(t)EX(t)tC；2有關(guān)函數(shù)RX(s,t)E[X(s)X(t)]1stC(st)C2；32協(xié)方差函數(shù)BX(s,t)E{[X(s)mX(s)][X(t)mX(t)]}stt時(shí)為方差函數(shù)）（當(dāng)s12【注】D(X)E(X2)E2(X)；BX(s,t)RX(s,t)mX(s)mX(t)求概率密度的通解公式ft()f(y)|y'()|f(y)/|x'(y)|xx2、設(shè)W(t),

對(duì)隨意的

t

t

是參數(shù)為

，W(t)與

2的維納過程， R~N(1,4)是正態(tài)散布隨機(jī)變量；且

R均獨(dú)立。令 X(t) W(t) R，求隨機(jī)過程

X(t),

t

的均值函數(shù)、有關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

【解答】本題解法同

1題。

依題意，

W(t)~N(0,

2|t|)，R~N(1,4)，所以 X(t)

W(t)

R聽從于正態(tài)散布。故：

均值函數(shù)

mX(t)

EX(t)

1；

有關(guān)函數(shù)RX(s,t)E[X(s)X(t)]5；協(xié)方差函數(shù) BX(s,t) E{[X(s) mX(s)][X(t) mX(t)]} 4（當(dāng)s t時(shí)為方差函數(shù)）

3、設(shè)抵達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，均勻每小時(shí)有 180人，即 180；且每個(gè)

顧客的花費(fèi)額是聽從參數(shù)為 s的指數(shù)散布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)希望與方差。

【解答】本題可拜見課本習(xí)題題。

由題意可知，每個(gè)顧客的花費(fèi)額 Y是聽從參數(shù)為 s的指數(shù)散布，由指數(shù)散布的性質(zhì)可知：E(Y) 1 ,D(Y) 1

s s2

業(yè)額的數(shù)學(xué)希望 mX(8)

，故E(Y

8 180

2 2) s2，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)

E(Y)；

一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的方差 X2(8) 8180 E(Y2)。

4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P(2)及當(dāng)初始散布為

時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài) 2的概率。

（2）求馬爾可夫鏈的安穩(wěn)散布。

【解答】可參照教材例題及題（1）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣

當(dāng)初始散布為 P{X0 1} 1, P{X0 2} P{X0 3} 0時(shí)，

故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài) 2的概率為 。

2）因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣恍屑s的非周期有限狀態(tài)，所以安穩(wěn)散布存在。得以下方程組解上述方程組得安穩(wěn)散布為

5、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I {1,2,3,4,5}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

求狀態(tài)的分類、各常返閉集的安穩(wěn)散布及各狀態(tài)的均勻返回時(shí)間。

【解答】本題比較綜合，可參加例題和題

畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖以下：

42

1

35（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為 G1 {1,2,3};G2 {4,5}

2）由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個(gè)，下邊分別求其安穩(wěn)散布及各狀態(tài)的均勻返回時(shí)間。

A、對(duì)G1常返閉集而言，解方程組

解上述方程組得安穩(wěn)散布為

則各狀態(tài)的均勻返回時(shí)間分別為

B、對(duì)G2常返閉集而言，解方程組

解上述方程組得安穩(wěn)散布為則各狀態(tài)的均勻返回時(shí)間分別為6、設(shè) N(t),t 0是參數(shù)為 的泊松過程，計(jì)算 EN(t)N(t s)。

【解答】

7、考慮一個(gè)從基層啟動(dòng)上漲的電梯。以 Ni記在i第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假設(shè) Ni互相獨(dú)立，

且Ni是均值為 i的泊松變量。在第 i層進(jìn)入的各個(gè)人互相獨(dú)立地以概率 pij在第j層走開電

梯， pij 1。令Oj＝在第j層走開電梯的人數(shù)。

i

1）計(jì)算E(Oj)

2）Oj的散布是什么

3）Oj與Ok的結(jié)合散布是什么

【解答】本題與本書聯(lián)系不大，占有關(guān)方面信息，此次考試本題不考。

以Nij記在第i層乘上電梯，在第j層離開的人數(shù)，則Nij是均值為ipij的泊松變量,且所有Nij(i0,ji)互相獨(dú)立。所以：(1)E[Oj]E[Nij]ipijii(2)由泊松變量的性質(zhì)知，OjNij是均值為ipij的泊松變量iiikki(3)因Oi與Ok獨(dú)立，則P(OiOk)P(Oi)P(Ok)e?ee2，為希望。i!k!i!k!8、一質(zhì)點(diǎn)在 1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)辰t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一， 則在[t,t h)內(nèi)，

它都以概率 h o(h)分別轉(zhuǎn)移到其余兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微

分方程，轉(zhuǎn)移概率 pij(t)及安穩(wěn)散布。

【解答】參賜教材習(xí)題 題pij(t)(ij)得，qij1(ij)，柯爾莫哥洛夫向前面程為依題意，由limqijt0tpij' 2pij(t) pi,j1(t) pi,j1(t)，

因?yàn)闋顟B(tài)空間 I {1,2,3}，故

pij(t) pi,j1(t) pi,j1(t) 1，

所以

pij' 2pij(t) 1 pij(t) 3pij(t) 1，

解上述一階線性微分方程得：

1tpij(t) ce3

由初始條件

確立常數(shù)c，得

1，3

故其安穩(wěn)散布

1、有隨機(jī)過程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，設(shè)(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),此中A，B，，為實(shí)常數(shù)，均勻散布于[0，2]，試求R(s,t)

1.解：f1,0220,其余2、隨機(jī)過程 (t)=Acos(t+ )，-<t<+ ，此中A, , 是互相統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量， EA=2,

DA=4, 是在[-5,5]上均勻散布的隨機(jī)變量， 是在[-，]上均勻散布的隨機(jī)變量。 試剖析

(t)的安穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。

2、解：

所以擁有安穩(wěn)性。

故均值擁有各態(tài)歷經(jīng)性。

故有關(guān)函數(shù)不擁有各態(tài)歷經(jīng)性。

3、某商鋪顧客的到來聽從強(qiáng)度為 4人每小時(shí)的 Poisson過程，已知商鋪 9：00開門，試求：

1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；

2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在將來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。

3、解：設(shè)顧客到來過程為{N(t),t>=0}，依題意N(t)是參數(shù)為的Poisson過程。（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為：（2）在開門半小時(shí)中無顧客到來可表示為N10，在將來半小時(shí)仍無顧客到來可表2示為N1N10，進(jìn)而所求概率為：24、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、熱銷（用3表示）。若經(jīng)過對(duì)歷史資料的整理剖析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)辰?jīng)]關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pijij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為（p銷售狀態(tài) j的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：

試對(duì)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后的銷售情況進(jìn)行剖析。

4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且 pii>0，進(jìn)而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是

極限散布就是安穩(wěn)散布。設(shè)安穩(wěn)散布為 ={ 1，2，3}，求解方程組：

=P, 1+ 2+ 3=1

即：

得：

即極限散布為：896,23,2323由計(jì)算結(jié)果能夠看出：經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而熱銷狀態(tài)的可能性最小。5、試對(duì)以以下矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。00000（1）P0000000130004411000（2）P22100000012033100005、6、一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，顧客按強(qiáng)度為的Poisson過程抵達(dá)，系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)服務(wù)員，而且服務(wù)時(shí)間聽從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)散布，假如服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客，則顧客抵達(dá)就開始服務(wù)，不然他就排隊(duì)?？墒牵偃缦到y(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)顧客在排隊(duì)，他就走開而不返回。