超幾何分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.4.2超幾何分布復(fù)習(xí)引入1.二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有(2)二項分布的均值與方差追問1：如果采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，此時X服從二項分布，即X~B(4,0.08).探究一：超幾何分布及其分布列問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.追問2：如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，各次抽取的結(jié)果不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布.問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，各次抽取的結(jié)果不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布.問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.可以根據(jù)古典概型求X的分布列.由題意可知,X的取值為0,1,2,3,4.

從100件產(chǎn)品中任取4件,樣本空間包含個樣本點,且每個樣本點都是等可能發(fā)生的.其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為.由古典概型的知識，得X的分布列為由古典概型的知識，得X的分布列為X的分布列如下表X01234P計算的具體結(jié)果(精確到0.00001)如下表所示：X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002超幾何分布不考慮抽取次序,即一次性取出4件產(chǎn)品,次品數(shù)X的分布列為:P(X=k)=解：沒有影響.考慮抽取次序,即逐個不放回取出4件產(chǎn)品,次品數(shù)X的分布列為:思考:計算結(jié)果數(shù)時,考慮抽取的次序和不考慮抽取的次序,對分布列的計算有影響嗎？為什么？所以,是否考慮抽取的次序,對分布列的計算沒有影響.P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.=

,k=0,1,2,3,4.

采用不放回抽樣問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為超幾何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.歸納總結(jié)超幾何分布的三個特征：①總體中含有兩類不同的個體

如“男生、女生”，“正品、次品”;②不放回抽樣;③隨機變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數(shù)量.9例1：從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.解:設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)(只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50,M=1,n=5.因此甲被選中的概率為P(X=1)=例題課本P78容易發(fā)現(xiàn),每個人被選中的概率都是.這個結(jié)論非常直觀,這里給出了嚴(yán)格的推導(dǎo).解：設(shè)抽取的這2罐中有X罐有獎券,則X服從超幾何分布,且N=24,M=4,n=2.1.一箱24罐的飲料中4罐有獎券,每張獎券獎勵飲料一罐,從中任意抽取2罐,求這2罐中有獎券的概率.∴P有獎券=P(X=1)+P(X=2)練習(xí)課本P802.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會,已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求甲班恰好有2名同學(xué)被選到的概率.解:設(shè)甲班恰有X人被選到,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4.P(X=2)=甲班恰好有2名同學(xué)被選到的概率是課本P80例2：

一批零件共有30個,其中有3個不合格.隨機抽取10個零件進(jìn)行檢測,求至少有1件不合格的概率.≈0.7192.解：設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)為X,則X服從超幾何分布,且N=30,M=3,n=10.X的分布列為至少有1件不合格的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)也可以按如下方法求解：≈0.7192.(直接法)(間接法)P(X=k)

=,k=0,1,2,3.P(X≥1)=1-P(X=0)=1-例題課本P7813解:設(shè)甲班恰有X人被選到,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4.甲班至多有1名同學(xué)被選到的概率是P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)練習(xí)課本P80學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會,已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求甲班至多有1名同學(xué)被選到的概率.設(shè)隨機變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中,不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).實際上,令m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},由隨機變量均值的定義：E(X)==M令p=,則p是N件產(chǎn)品的次品率,而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率,我們猜想E()=p,即E(X)=np.探究二：超幾何分布的均值探究：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?因為當(dāng)m>0時,E(X)==M因為

所以=np.E(X)=當(dāng)m=0時，類似可以證明結(jié)論依然成立.若隨機變量X服從超幾何分布，則有歸納總結(jié)(p為N件產(chǎn)品的次品率).例3：一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.例題分析:因為只有兩種顏色的球，每次摸球都是一個伯努利試驗．摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結(jié)果相互獨立，X～B(20，0.4);而采用不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立,X服從超幾何分布.課本P79解：(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為對于不放回摸球,各次試驗的結(jié)果不獨立,X服從超幾何分布,X的分布列為(2)利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值(精確到0.00001),如表所示.有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.故在相同誤差限制下,采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些.樣本中黃球的比例

f20=是一個隨機變量,根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得|f20-0.4|≤0.1

6≤X≤10.

19兩種摸球方式下,隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8),但從兩種分布的概率分布圖(如下圖)看,超幾何分布更集中在均值附近.二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品

中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每抽取一次后，對N的影很小，此時

，超幾何分布可以用二項分布近似.超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體個數(shù)

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算聯(lián)系當(dāng)

時，超幾何分布

二項分布不放回放回兩兩有限無限古典概型獨立重復(fù)試驗總體N很大近似超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別：從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列與均值；(2)求所選3人中至多有1名女生的概率.解：(1)由題意可知，X服從超幾何分布，所以X分布列為所得金額的均值為(2)所選3人中至多有1名女生的概率為練習(xí)1.(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（

）A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的個數(shù)為隨機變量XD.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X隨堂檢測解析：依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.2.一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于

的是（

）A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X＝1) D.P(X＝2)解析：本題相當(dāng)于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率.3.袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設(shè)得分為隨機變量X，則P(X≥8)＝____.4.老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；解：設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，X的可能取值為0,1,2,3，且服從超幾何分布，所以X的分布列為(2)他能及格的概率.29一