人教八年級數(shù)學上冊軸對稱《最短路徑問題》示范課教學課件

13.4課題學習最短路徑問題人教版八年級數(shù)學上冊教學目標1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．新知導入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短新知講解從圖中的

A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l

飲馬，然后到

B

地.到河邊個么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?

l

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？新知講解

l

當點

C在l的什么位置時，AC與

BC

的和最小.C新知講解如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點C，使得CA+CB最小。??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短..C那A、B兩點在直線l的同一側呢？如何確定點C呢？新知講解如果點A,B分別是直線l同側的兩個點，又應該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側B′處？ABl利用軸對稱，作出點B關于直線l的對稱點B′.B′連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．C新知講解你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．新知講解最短路徑問題：兩點之間，線段最短依據(jù)利用軸對稱實現(xiàn)線段的轉移關鍵需要注意的細節(jié)：

區(qū)分哪些是定點，哪些是動點，哪條直線是對稱軸利用圖形的軸對稱性，會簡化過程.新知講解如圖，A和

B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN.橋造在何處可使從

A到

B的路徑

AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？新知講解當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最??？由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.新知講解ABMNab（1）由于河岸寬度是固定的，因此當AM＋NB最小時，AM＋MN＋NB最小．問題可轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AM＋NB最小？新知講解

（2）如圖，將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．問題轉化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N＋NB最??？ABMNabA′新知講解

（3）如圖，在連接A′，B兩點的線中，線段A′B最短．因此，線段A′B與直線b的交點N的位置即為所求．ABMNabA′你能證明此時AM＋MN＋NB最小嗎？新知講解證明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最?。甆′ABMNabA′M′新知講解在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：1.某開發(fā)商的經(jīng)適房的三個居民小區(qū)

A、B、C

在同一條直線上，位置如圖所示，其中小區(qū)

B

到小區(qū)A、C

的距離分別是70m和150m，小區(qū)

A、C之間建立一個超市，要求各小區(qū)居民到超市總路程和最小，那么超市的位置應建在()A.小區(qū)

A B.小區(qū)

BC.小區(qū)

C D.AC

的中點2.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊．欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案,圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是()BD課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：3.如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為

。4.如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是

。5（0，3）課堂練習【知識技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B課堂練習【知識技能類作業(yè)】選做題：解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由平移的性質可知，AD//FD′，AD=FD′.同理，BE=GE′.由兩點之間線段最短可知，GF最小.課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】6.如圖

(1)

是示意圖，游船從湖岸

l?

的碼頭

D

將游客送往亭子

M停留觀賞，然后將游客送往湖岸

l?

的碼頭

C，最后再回到碼頭

D.請在圖

(2)

中畫出游船的最短路徑，并確定兩個碼頭的位置。湖岸

l?湖岸

l2

(1)

湖岸

l?湖岸

l?解：如圖(2)示.課堂總結將軍飲馬問題造橋選址問題最短路徑利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題板書設計課題學習最短路徑問題一、將軍飲馬問題二、造橋選址問題作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：

AC作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】選做題：3.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A，B，C

在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出與△ABC

關于直線l成軸對稱的△A′B′C′；(2)△ABC

的面積是______；(3)在直線l上找一點

P，使得

PA+PB最短.12.5解：(1)如右圖所示；

(3)如圖，連接BA′

交

l于點P，P即為所求.作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】4.如圖，已知∠MON=40°，P為∠MON內一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，求∠APB的度數(shù).解:如圖，依題意,分別作點P關于ON、OM的對稱點P1、P2,連接P1P2交ON于點B，交OM于點A，依次連接A、B、P，此時△PAB的周長為最小值.作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】由四邊形內角和360°可得:∠P1