中考數(shù)學一輪復習考點精講與鞏固練習專題05 方程與不等式概念與相關(guān)計算【考點精講】（原卷版）

專題05專題05方程與不等式概念與相關(guān)計算知識導航知識導航知識精講知識精講考點1：等式與不等式性質(zhì)1．等式的基本性質(zhì).性質(zhì)①：若a=b,則a±m(xù)=b±m(xù);性質(zhì)②：若a=b,則am=bm;若a=b,則SKIPIF1<0(d≠0).2．不等式的基本性質(zhì)（1）不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變.（2）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.（3）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.【例1】寧寧同學拿了一個天平，測量餅干與糖果的質(zhì)量（每塊餅干的質(zhì)量都相同，每顆糖果的質(zhì)量都相同）做了一下試驗．第一次：左盤放兩塊餅干，右盤放三顆糖果，結(jié)果天平平衡；第二次，左盤放一塊餅干和一顆糖果，右盤放10克砝碼，結(jié)果天平平衡；第三次：左盤放一顆糖果，右盤放一塊餅干，下列哪一種方法可使天平再度平衡（）A．左盤上加2克砝碼 B．右盤上加2克砝碼 C．左盤上加5克砝碼 D．右盤上加5克砝碼【例2】（2021·湖南常德市）若SKIPIF1<0，下列不等式不一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法技巧方法技巧1．運用等式的性質(zhì)的注意事項（1）等式兩邊都要參與運算，并且是作同一種運算.（2）等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子.（3）等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數(shù)或分母.2．運用不等式的性質(zhì)注意以下要點：（1）“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱.（2）不等式的基本性質(zhì)：①不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變;②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;③不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.針對訓練針對訓練1．（2021·山東臨沂市）已知SKIPIF1<0，下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列判斷錯誤的是（）A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么acC．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b考點2：一次方程（組）概念與解法1．一元一次方程的有關(guān)概念（1）只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù),且a≠0).（2）使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.2．一元一次方程解法的一般步驟:①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.3．二元一次方程組的定義:形如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是4．二元一次方程組的解法:①用代入法解二元一次方程組的一般步驟:a.從方程組中任選一個方程,將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;b.將這個代數(shù)式代入另一個方程,消去一個未知數(shù),得到含有一個未知數(shù)的一元一次方程;c.解這個一元一次方程,求出一個未知數(shù)的值;d.將所求得的這個未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.②用加減法解二元一次方程組的一般步驟:a.方程組的兩個方程中,如果同一個未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊,使它們中同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);b.把兩個方程的兩邊分別相減或相加,消去一個未知數(shù),得到一個一元一次方程;c.解這個一元一次方程;d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中,求出另一個未知數(shù),從而得到方程組的解.【例3】（2021·浙江溫州市）解方程SKIPIF1<0，以下去括號正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例4】（2021·天津）方程組SKIPIF1<0的解是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法技巧方法技巧1．解一元一次方程的基本步驟.①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)化為1.2．解二元一次方程組關(guān)鍵在于熟練掌握用消元法和代入法針對訓練針對訓練1．（2021·廣東）二元一次方程組SKIPIF1<0的解為___．2．（2021·重慶）方程SKIPIF1<0的解是__________．考點3：分式方程概念與解法1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母；②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.（4）換元法的步驟：①設輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.【例5】（2021·廣東）方程SKIPIF1<0的解為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例6】（2021·江蘇泰州市）解方程：SKIPIF1<0+1＝SKIPIF1<0．方法技巧方法技巧解分式方程的有關(guān)要點（1）解分式方程的基本思想是要設法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.（2）解分式方程時，方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根.（3）分式方程的檢驗方法：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.針對訓練針對訓練1．（2021·湖北黃石市）分式方程的解是______．2．（2021·江蘇南通市）解方程SKIPIF1<0．考點4：一元二次方程概念與解法1．一元二次方程（1）概念:只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是二次,且系數(shù)不為0的整式方程,叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項，a是二次項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意a≠0.2．一元二次方程的解法（1）基本思路:降次.（2）方法:①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是SKIPIF1<0;

②配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成SKIPIF1<0的形式,當b2-4ac≥0時,用直接開平方法求解;

③公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為SKIPIF1<0;

④因式分解法:將方程右邊化為0,左邊化為兩個一次因式的積,令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程就得到原方程的解.【例7】（2021·浙江麗水市）用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【例8】（2021·湖北十堰市）對于任意實數(shù)a、b，定義一種運算：，若，則x的值為________．方法技巧方法技巧解答本考點的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握解一元二次方程的基本思路和步驟。注意以下要點：（1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四種；（2）求根公式法和因式分解法是最常用的兩種方法，重點在于掌握求根公式和因式分解的方法.針對訓練針對訓練1．（2021·山東棗莊市）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的兩個根，則SKIPIF1<0的值為______．考點5：一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式是b2-4ac.（1）當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.【例9】（2021·內(nèi)蒙古通遼市）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【例10】（2021·北京）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．針對訓練針對訓練1．（2021·河南中考真題）若方程SKIPIF1<0沒有實數(shù)根，則SKIPIF1<0的值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·湖北黃石市·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．考點6：不等式（組）概念與解法1．解不等式求不等式解集的過程稱為解不等式.2．解一元一次不等式的一般步驟①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項;⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.在①至⑤步的變形中,一定要注意不等號的方向是否需要改變.3．一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的定義:一般地,關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起,就組成一個一元一次不等式組.（2）一元一次不等式組的解集:組成一元一次不等式組的各個不等式的解的公共部分,稱為這個一元一次不等式組的解集.（3）解一元一次不等式組:先求出各個不等式的解,再確定其公共部分,即為原不等式組的解集.（4）借助數(shù)軸,熟練掌握以下四種基本不等式組的解集.不等式組(a<b)解集圖示口訣SKIPIF1<0x≥b大大取大SKIPIF1<0x≤a小小取小SKIPIF1<0a≤x≤b大小小大中間找SKIPIF1<0無解大大小小解不了【例11】（2021·四川宜賓市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．【例12】（2021·四川遂寧市）不等式組SKIPIF1<0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．方法技巧方法技巧（1）在數(shù)軸上表示不等式的解集，注意“>”“≥”向右畫，“<”“≤”向左畫；（2）在表示解集時“≥”“≤”要用實心圓點表示，“>”“<”要用空心圓點表示.（3）取不等式組中各不等式解集的公共部分的規(guī)則：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到.針對訓練針對訓練1．（2021·重慶中考真題）不等式SKIPIF1<0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·湖南邵陽市·中考真題）不等式組SKIPIF1<0的整數(shù)解的和為（）A．1 B．0 C．-1 D．-23．（2021·江蘇揚州市·中考真題）在平面直角坐標系中，若點SKIPIF1<0在第二象限，則整數(shù)m的值為_________．考點7：含參不等式【例13】（2021·四川眉山市）若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0只有3個正整數(shù)解，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【例14】（2021·重慶）關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組SKIPIF1<0有解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0針對訓練針對訓練1．（2021·山東菏澤市·中考真題）如果不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）已知關(guān)于x的不等式組SKIPIF1<0無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點8：含參方程