2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.A={x|x2?5x+6≤0}，B={x|?1≤x<3}，則A∩B=A.{x|?1≤x<3} B.{x|?1≤x≤3} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}2.函數(shù)f(x)=2x+xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.設(shè)函數(shù)f(x)=a?1ax?1+b(a>0,a≠1)，則函數(shù)A.與a有關(guān)，且與b有關(guān) B.與a無關(guān)，且與b有關(guān)

C.與a有關(guān)，且與b無關(guān) D.與a無關(guān)，且與b無關(guān)4.已知等差數(shù)列{an}，則k=2是a1+A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則下列說法中正確的是(

)A.l//α B.α⊥β

C.若α∩β=a，則a//l D.l⊥β6.已知e1,e2是單位向量，且它們的夾角是60°.若a=e1A.2 B.?2 C.2或?3 D.3或?27.函數(shù)f(x)=5sinxe|x|+xcosx在[?2π,2π]A. B.

C. D.8.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x>32，y>3，不等式k(2x?3)(y?3)≤8x3+yA.12 B.24 C.23 二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列結(jié)論正確的有(

)A.z12=z1?2 B.10.已知f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)+g(1?x)=a(a≠0)，g(1+x)=g(1?x)，若f(x+2)為奇函數(shù)，則(

)A.g(x)關(guān)于x=1對(duì)稱 B.g(x)為奇函數(shù)

C.f(2)=0 D.f(x)為偶函數(shù)11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線Γ：(x2+y2)2=ay(3x2A.曲線Γ關(guān)于y軸對(duì)稱 B.曲線Γ的圖象具有3條對(duì)稱軸

C.y0∈[?a,916a]三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin2B?c2sin2A=asinAcosC.則角B=13.鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識(shí)競(jìng)賽，該比賽為擂臺(tái)賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問題的概率都是12，每次答題互相獨(dú)立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為______．14.在四面體P?ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，若BC=2，則四面體P?ABC體積的最大值是______，它的外接球表面積的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(b?a,c),n=(sinB?sinC,sinA+sinB)，且m//n．

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圓半徑為2，且cosBcosC=?16.已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積，且a1=3，Tn2=ann+1，數(shù)列{bn}滿足b17.某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下兩種方案.方案一：沒有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為p1；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為p2，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚.已知0<p2<p1<1，玩家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)分別為X，Y(元)．

(1)求X，Y的分布列；

(2)求E(X)；

(3)若18.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為12，經(jīng)過點(diǎn)F1且傾斜角為θ(0<θ<π2)的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在x軸上方)，△ABF2的周長(zhǎng)為8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面AF1F2)與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面(平面BF1F2)互相垂直．

①19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=f(x)上的曲線段AB，其弧長(zhǎng)為△s，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ(它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義K?=|ΔθΔs|為曲線段AB的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即△s越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義K=Δs→0lim|ΔθΔs|=|y″|(1+y′2)32(若極限存在)為曲線C在點(diǎn)A處的曲率.(其中y′，y″分別表示y=f(x)在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

(2)求橢圓x24+

參考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.AC

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.π313.1314.33

15.解：(1)由已知m//n，即c(sinB?sinC)?(b?a)(sinA+sinB)=0，

由正弦定理得c(b?c)?(b?a)(a+b)=0，即bc?c2+a2?b2=0，

整理得b2+c2?a2=bc，即cosA=b2+c2?a22bc=12，

又A∈(0,π)，

故A=π3；

(2)因?yàn)锳=π3，

所以16.解：(1)由Tn2=ann+1得，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn?12=an?1n，

兩式相除得，an2=ann+1an?1n，即ann?1=an?1n，

兩邊取對(duì)數(shù)得，(n?1)lgan=nlgan?1，

所以lgann=lgan?1n?1，

所以數(shù)列{lgann}是常數(shù)列，

所以lgann=lga11=lg31=lg3，

所以lgan17.解：(1)X可取值10，20，30，…，Y可取值10，20，…，1000，

當(dāng)X=k時(shí)，抽卡次數(shù)為k10，每次沒有抽中新皮膚的概率為1?p1，

故P(X=k)=(1?p1)k10?1p1,k10∈N?，

P(Y=k)=(1?p2)k10?1p2,k10∈N?(1?p2)99,k=1000．

(2)令A(yù)=t=1nt(1?p1)t?1，

則(1?p1)A=t=1nt(1?p1)t，

故p1A=1+(1?p1)+(1?p1)2+?+(1?p1)n?1?n(1?p1)n，

整理得到p1A=1?(1?p1)np1?n(1?p1)n，

所以A=1?(1?p118.解：(1)由橢圓定義得：

||AF1||+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，

∴△ABF2的周長(zhǎng)L=4a=8，∴a=2，

∵橢圓離心率e=ca=12，∴c=1，b=a2?c2=3，

由題意橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．

(2)①由直線l：y?0=3(x+1)與x24+y23=1聯(lián)立，得A(0,3)，

∵點(diǎn)A在x軸上，B(?85,?335)，|AF1|=2，|BF1|=65，

∴三棱錐A?BF1F2的體積為V=13×12×|BF1|×|F1F2|×sin120°×|AF1|×sin60°=35．

②∵|A′F2|+|B′F1|+|A′B′|=152，|AF2|+|BF2|+|AB|=8，

∴|AB|?|A′B′|=12，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則F1(0,?1,0)，A(0,0,3)，F(xiàn)2(0,1,0)，

F1A=(0,1,3)，BF2=(?335,135,0)，

記異面直線AF119.解：(1)由題意知，單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率為K?=|ΔθΔs|=π3π3=