專題02承上啟下篇-勾股定理

專題02承上啟下篇勾股定理題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【題型2折疊問題】【題型3勾股定理與全等三角形】【題型4網(wǎng)格問題】【題型5勾股定理的實際應用】【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標系的應用】【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點分析】知識點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）知識點二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.知識點三、勾股定理與全等三角形題型歸納【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如圖，在中，(1)，，求AB的長；(2)，，求的長．【答案】(1)13(2)【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么（1）根據(jù)勾股定理計算即可；（2）根據(jù)勾股定理計算即可．【解析】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，的長為13；（2）在中，，，，由勾股定理得：，的長為2．如圖，在直角三角形中，，于點，已知，．(1)求斜邊的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理以及等面積法，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可．（2）根據(jù)，即可求解．【解析】（1）解：在直角三角形中，，，，；（2），，即，．3．如圖，在四邊形中，，且，求AB的長．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應用，連接，求出即可求解；【解析】解：連接，如圖所示：∵，∴∵，，∴∴解得：4．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【答案】12【分析】本題考查了關于三角形面積計算的題，由是邊上的中線可得到，結合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，過點A作，垂足為E，在中求出的長，即得高，即可求出面積．【解析】解：是邊上的中線是直角三角形且過A作，垂足為E，如圖：，【題型2折疊問題】5．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點B與點A重合，折痕為．(1)求的周長．(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由翻折易得，則的周長；（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得長．本題考查了折疊性質(zhì)以及勾股定理，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．【解析】（1）解：∵將折疊，使點B與點A重合，折痕為，∴，則的周長；（2）解：由題意得；設，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得；即．6．如圖，將長方形紙片沿折疊，使點恰好落在邊上點處，若，，求的長．【答案】．【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解．【解析】解：由翻折可得，，四邊形為長方形，，，，在中，由勾股定理得，，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即．7．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把沿著直線DE折疊，頂點B的對應點是．(1)如圖1，如果點和頂點A重合，求CE的長．(2)如圖2，如果點落在的中點上，求CE的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查折疊問題以及勾股定理，熟練掌握折疊的基本性質(zhì)是解題關鍵；（1）設，則，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可；（2）根據(jù)中點性質(zhì)，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可．【解析】（1）解：設，則．由折疊可得：．在中，由，得：，解得：，即的長為．（2）∵點落在的中點上，．設，則．在中，由，得，解得：，即的長為．【題型3勾股定理與全等三角形】8．在中，，D是邊上一點，于點F，．(1)求證：．(2)當，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．（1）先證明，推出，再利用可證明；（2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解.【解析】（1）證明：∵∴，∴∴又∵∴（2）解：∵，∴，∴，在中，9．如圖，，，E是上的一點，且，．(1)求證：．(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明是本題的關鍵．（1）由“”可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由余角的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長根據(jù)三角形的面積公式可求解．【解析】（1）證明：，，，在與中，，，；（2）解：由（1）可知，∴，，，為等腰直角三角形；又，，，，的面積．10．如圖，在中，，點D是上一動點，連接，過點A作，并且始終保持，連接．(1)求證：；(2)若平分交于．求的值．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題關鍵，解（2）時正確作出輔助線構造全等三角形是關鍵．（1）根據(jù)題意可證，結合，，即可證；（2）連接，由全等三角形的性質(zhì)可得出，，即可求出，再根據(jù)勾股定理可求出．又易證，即得出．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，即．又∵，，∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴，．∵，∴，即，∴．∵平分，∴．∵，，∴，∴，∴．11．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理應用，正確得出是解題關鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法得出，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)結合勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：，，是等腰直角三角形，，，是直角三角形，，，，，．12．如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點，連接，且，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【分析】（）由，得，然后通過“”證明即可；（）連接，由勾股定理得，由（）得，，，則，由勾股定理得，則，故，最后由勾股定理即可求解；本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，在和中，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，，∴由勾股定理得：，∵，，∴，由（）得：，∴，，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，∴由勾股定理得：，∴的長為．13．如圖，在和中，，，點A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，（1）根據(jù)，可得，進而根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：∵點A，C，D依次在同一直線上，且．∴又∵，，在和中，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得．14．如圖，在中，，，點是內(nèi)部的一點，連接，作，，垂足分別為點，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)30【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關鍵．（1）由垂直的定義得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，則可利用證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角形周長公式計算即可．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵∴∴的周長．15．如圖，在中，，，，為中點，點，分別在直線，上，，連接．

(1)如圖1，當點與點重合時，求的長；(2)如圖2，當點不與點重合時，求證：；(3)若，求線段的長．【答案】(1)；(2)證明見詳解；(3)或．【分析】（1）由垂直平分線性質(zhì)定理得，然后在中，由勾股定理即可求出的長；（2）延長至點，使，連接，先證得，，再證明，然后由勾股定理得證；（3）分兩種情況討論：①當E在線段上時，如圖所示；②當點E在延長線上時，如圖所示；然后由（2）中結論求解即可．【解析】（1）解：如圖1，為中點，，，設，則，在中，由勾股定理，得，解得，；故的長為；（2）解：延長至點，使，連接，如圖2所示，，為中點，，，在和中，，，，，，，即，在中，，；（3）解：①當E在線段上時，如圖所示，由（2）中結論，當時，，設，則，，，；②當點E在延長線上時，如圖所示，同①理，可得，；綜上所述，線段的長為或．【點睛】此題直角三角形的綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關性質(zhì)并添加合適的輔助線構造全等三角形是解答此題的關鍵．【題型4網(wǎng)格問題】16．已知在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中，格點（即的三個頂點都在小正方形的頂點處）的三條邊，，的長分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格中三角形面積的計算，熟練掌握割補法求三角形的面積是解題的關鍵．（1）利用勾股定理得出格點A、B、C，再畫出即可；（2）作出邊上的高，先利用割補法求出，再根據(jù)，得，求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；∵，，．∴即為所求．（2）解：作邊上的高，如圖，∵，又∵，∴，∴，即邊上的高為．17．在中，、、三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．這種方法叫做構圖法．

(1)的面積為：．(2)若三邊的長分別為、、，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應的【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查作圖?應用與設計、勾股定理；（1）利用構圖法求解即可；（2）利用勾股定理和構圖法作圖即可．【解析】（1）解：由圖可得，，故答案為：．（2）解：如圖，即為所求；

18．正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，以下畫圖要求所畫圖形的頂點都在格點．(1)在圖①中畫一個面積為5的正方形；(2)在圖②中畫一個直角三角形，使它的兩邊長是無理數(shù)，另一邊長是有理數(shù)；(3)在圖③中畫一個等腰三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；(4)在圖④中畫一個三角形，使它的三邊長分別是，，．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】對于（1），根據(jù)作以為邊長的正方形；對于（2），根據(jù)作一個邊長為，，2的直角三角形；對于（3），作一個邊長為，，的等腰三角形；對于（4），根據(jù)畫出一邊，再根據(jù)畫出第二邊，最后根據(jù)畫出第三邊．【解析】（1）如圖所示．（2）如圖所示．（3）如圖所示．（4）如圖所示．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正方形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定等，理解圖形的特點是解題的關鍵．19．如圖，每個小正方形的邊長都為1．(1)四邊形的面積________；(2)四邊形的周長________；(3)與有什么關系？請說明理由．【答案】(1)12(2)(3)相等，且垂直【分析】（1）根據(jù)正方形的面積減去三個直角三角形的面積計算即可；（2）根據(jù)勾股定理計算即可；（3）先根據(jù)勾股定理的逆定理確定是直角三角形，可得答案．【解析】（1）四邊形的面積；故答案為：12；（2）四邊形的周長為；故答案為：；（3）相等，且垂直．理由：如圖所示，連接．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴是直角三角形，∴，所以，且．【點睛】本題主要考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應用，勾股定理逆定理，求不規(guī)則圖形的面積等，將不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差是解題的關鍵．【題型5勾股定理的實際應用】20．明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞，翻譯為：如圖秋千細索懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為1米（米）．將它往前推進一些（于點E，且米），踏板升高到點B位置，此時踏板離地2米（米），求秋千繩（或）的長度．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應用，設米，在中利用勾股定理構建方程即可解決問題，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【解析】解：設米，米，米，米，根據(jù)勾股定理可得，，解得．的長度為米．21．一架云梯長，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達E處，求它的底部B在水平方向移動的距離的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）利用勾股定理直接求解即可．（2）如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，再利用勾股定理求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：，則此架云梯的頂端到地面的距離為.（2）解：如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，則，∴22．在“歡樂周末·非遺市集”活動現(xiàn)場，諸多非遺項目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個年畫風箏，并進行了試放，為了解決一些問題，他設計了如下的方案：先測得放飛點與風箏的水平距離為15m；根據(jù)手中余線長度，計算出的長度為17m；牽線放風箏的手到地面的距離為1.5m．已知點A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風箏沿射線方向再上升12m，請問能否成功？請運用數(shù)學知識說明．【答案】(1)9.5m(2)不能成功．【分析】本題主要考查勾股定理的運用，解答本題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形解決問題．（1）過點作于點，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）假設能上升12m，作圖，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)題意，即可求解．【解析】（1）解：如圖1所示，過點作于點，則，，，在中，，．（2）解：不能成功，理由如下：假設能上升12m，如圖所示，延長至點，連接，則，．在中，．，余線僅剩7m，∴，∴不能上升12m，即不能成功．23．某游樂場部分平面圖如圖所示，點在同一直線上，點在同一直線上，，測得．(1)求入口到大擺錘的距離；(2)現(xiàn)要在距離大擺錘的處修建游樂項目旋轉木馬（即），點在同一直線上，且使旋轉木馬到過山車的距離最近．求過山車到旋轉木馬的距離．【答案】(1)入口到大擺錘的距離為．(2)過山車到旋轉木馬的距離為．【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，垂線段最短，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理，即可求解的值．（2）根據(jù)垂線段最短，可得，再根據(jù)勾股定理，即可求解的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，答：入口到大擺錘的距離為．（2）解：∵使旋轉木馬到過山車的距離最近，∴，∵，，∴，答：過山車到旋轉木馬的距離為．24．現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當快艇到達點的位置后，關閉發(fā)動機，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時繩子的長為．（假設繩子一直處于繃直狀態(tài)，結果保留根號）(1)若工作人員以的速度收繩，后快艇移動到點D的位置，問此時快艇距離岸邊還有多少？(2)若快艇關閉發(fā)動機后，保持的速度勻速靠岸，后快艇由點移動到點的位置，工作人員手中的繩子被收上來多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)勾股定理可進行求解；（2）由題意易得，則有，然后根據(jù)勾股定理可進行求解．【解析】（1）解：因為工作人員以的速度收繩，后船移動到點的位置，所以，在中，，所以快艇距離岸邊還有；（2）解：因為在中，，所以，所以，，所以繩子被收上來．25．葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂數(shù)學？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹干周長為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【答案】(1)見解析(2)【分析】（）以AB為切口把樹干側面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（）由勾股定理即可求解；本題考查了平面展開——最短路徑問題，勾股定理，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【解析】（1）解：如圖，以AB為切口把樹干側面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（2）解：根據(jù)題意，得，，∴答：它爬行一周的路程是．【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標系的應用】26．用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法，請你用等面積法來探究下列三個問題：(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請驗證勾股定理：；(2)如圖2，在中，，CD是AB邊上的高，，，求CD的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查勾股定理的證明以及應用；（1）用不同方法表示出外面大正方形的面積，再根據(jù)面積相等列出等式，整理即可證明出結論；（2）先根據(jù)勾股定理先求出AB，再根據(jù)等面積法即可求出CD的長度．【解析】（1）解：∵外面大正方形的面積，外面大正方形的面積里面小正方形的面積個直角三角形的面積，，整理，得；（2）在中，，，，由勾股定理，得，是AB邊上的高，，．27．在一節(jié)數(shù)學探究課上老師提供了若干張直角邊分別為、的直角三角形紙板，如圖所示．經(jīng)過同學們探究后得出如下結論：選用若下張這樣的紙片可以互不重疊的拼成一個大正方形，并且內(nèi)部留下一個“空隙”是一個較小的正方形，圖是同學們的一種拼法．(1)若圖中大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，求的值；(2)請你選擇若干張紙片拼出一個符合探究結論的圖形（與圖不同），畫出示意圖并直接用含的代數(shù)式表示大正方形、小正方形的面積．【答案】(1)；(2)畫圖見解析；大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．【分析】（）根據(jù)題意列出代數(shù)式，再由大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，得出，然后求解即可；（）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形求出面積即可；本題主要考查了完全平方公式，勾股定理的幾何背景等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【解析】（1）解：由圖可知，大正方形的面積為，“空隙”小正方形面積，∵大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，∴，解得：，，∵，∴；（2）解：如圖，∴大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．28．我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．(1)如圖1，請用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積．方法1：______；方法2：______；根據(jù)以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；(3)如圖3，將圖2的2個三角形進行了運動變換，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)；；(2)見解析(3)27【分析】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關鍵．（1）方法1：求得小正方形的邊長為，方法2：大正方形的面積減4個直角三角形的面積，據(jù)此計算即可；（2），列式計算即可證明；（3）先用勾股定理計算出c，再利用計算面積即可．【解析】（1）解：方法1：；方法2：；∵，即，故；根據(jù)以上信息，可以得到等式：；故答案為：；；；（2）解：∵，即，整理得，故；（3）解：如圖，，∵，，∴，則，∴，故陰影部分的面積為27．29．閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點，，則該兩點間距離公式為，同時，當兩點在同一坐標軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時，兩點間的距離公式可分別化簡成和．(1)若已知兩點，，試求A，B兩點間的距離；(2)已知點M，N在平行于y軸的同一條直線上，點M的縱坐標為7，點N的縱坐標為，試求M，N兩點間的距離．【答案】(1)(2)9【分析】本題考查兩點間的距離，解題的關鍵是巧妙的運用兩點間的距離公式求出任意兩點間的距離．（1）根據(jù)兩點間的距離公式進行計算即可；（2）根據(jù)點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，可以利用垂直于軸的距離公式進行計算即可．【解析】（1）解：點，，，即，兩點間的距離是；（2）解：點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，，即，兩點間的距離是9．【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】30．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個數(shù)的平方之和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析即可作答．【解析】解：A、，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、，，不是正整數(shù)，故該選項是錯誤的；D、，故該選項是正確的；故選：D．31．已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．32．木工師傅想利用木條制作一個直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】解：A、∵32+42=52，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；B、∵62+82=102，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；C、∵52+122=132，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；D、∵72+152≠172，∴不能夠成直角三角形，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應用．理解判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理是解題的關鍵．33．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長為4+23，斜邊AB的長為23，則Rt△ABC的面積為．【答案】1.【分析】設AC=a，BC=b，根據(jù)題意列出關于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設AC=a，BC=b，由題意得，∴，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.34．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為(

)A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.35．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的長，最后根據(jù)AM=AC，可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=，∴AM=AC=，∴點M表示的數(shù)是，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸等知識，利用勾股定理求出AC的長是解題的關鍵．36．在中，，，則．【答案】50【分析】直接利用勾股定理即可求解．【解析】解：如圖；，，，故答案是：．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理的使用．37．已知三角形三邊長為正整數(shù)，則此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．如果沒有這種關系，這個三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，====，∴，∴此三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．38．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出AC的長，再利用平移的知識即可得出地毯的長度．【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長度＝AC+BC＝7米，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用及平移的知識，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關鍵．39．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．18【答案】A【分析】先根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解析】平分，平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、勾股定理等知識點，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關鍵．【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點分析】40．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當頂點在線段DE上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖，當頂點在線段DE上且頂點在線段上時，若，，連接CE，則的面積為．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)10【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關系；（3）作延長線交于點，同理證明后，求得垂線的長度，根據(jù)即可得解．【解析】（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長線交于點，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為10．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．41．在中，，，點是直線AB上一點，作于點，于點．(1)如圖1，點在線段AB上，BH交AC于點，若為MB的中點，，則______；(2)如圖2，取AC中點，連接DH．①若點在線段AB上，求證：②若點在直線AB上，，，求AB的長．【答案】(1)(2)①見解析②【分析】（1）在上截取，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定推出，根據(jù)線段的和差即可得解；（2）①連接，根據(jù)垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)求出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，，進而推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得解；②證明得設可得，由列方程求出x的值即可求解．【解析】（1）如圖1，在上截取，連接，

∵，∴，∵F為的中點，∴，∵于點F，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）①證明：如圖2，連接，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，點D為的中點，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②由①知，,,又又，，設可得，由勾股定理得，，解得，．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練運用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關鍵．42．【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．【靈活運用】（4）如圖3，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關系，并證明你的結論．【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）線段、，之間的等量關系為：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關系以及勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結合三角形的三邊關系計算即可；（3）延長到M，使，連接BM，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長到點G，使，連結，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：（1）在和中，，∴，故選D；（2）∵，∴，在中，，∴∴；（3）延長到M，使，連接，

∵，，∴，∵AD是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（4）線段之間的等量關系為：．證明：如圖，延長到點G，使，連結，

∵，∴，∵D是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴中，，∴．43．已知：在中，，．

(1)如圖1，若點D在線段上，連接，在的右側作，．①線段和線段存在何種數(shù)量關系？請說明理由．②請直接寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關系_________．(2)如圖2，若點D在線段延長線上，連接，在的右側作，，則線段、、之間滿足的數(shù)量關系是_________．(3)如圖3，若點D在直線上，連接，在的左側作，當，時，的面積為_________．【答案】(1)①；②(2)(3)或【分析】（1）①連接，證明即可得到；②由全等可得，，從而得出，再由勾股定理即可得到答案；（2）連接，，證明即可得到，，從而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；（3）分兩種情況：當點在點的左側時，連接；當點在之間時，連接，類比（2）證明，分別利用三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識進行計算即可得到答案．【解析】（1）解：①，理由如下：如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；②∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，

∴，故答案為：；（3）解：如圖，當點在點的左側時，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；如圖，當點在之間時，連接，

同理可證得：，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解題，是解此題的關鍵．過關檢測一、單選題1．下列三個數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可．【解析】解：A、三邊，，，不是正整數(shù)，故本選項不符合題意；B、三邊為1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意．C、，三邊是正整數(shù)，且符合勾股定理的逆定理，能構成直角三角形，故本選項符合題意．D、三邊，，，不是正整數(shù)，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股數(shù)問題，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個角是直角【答案】A【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得出答案．【解析】解：∵在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，∴．∴b、c是兩直角邊，a是斜邊，∴．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．二、填空題3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．【答案】1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對直角邊為斜邊的一半，可設BC=x，則AB=2x，再利用勾股定理求AC的長即可得解.【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設BC=x，則AB=2x，