初中數(shù)學(xué)-試聽課成功秘訣(一)

試聽課成功秘訣（一）試聽課承擔(dān)師生相互了解、取得學(xué)生甚至家長(zhǎng)認(rèn)同的重要任務(wù)，相信老師們都很重視并且各有奇招。

如果你有廣博的知識(shí)上知天文下知地理，如果你多才多藝琴棋書畫都有涉獵，如果你風(fēng)趣幽默舌綻蓮花，如果你氣質(zhì)優(yōu)雅舉止得體……

那么恭喜你已經(jīng)有了一半勝算，那么另一半，那就是學(xué)科知識(shí)的熟練掌握和適當(dāng)選擇。

今天將要和大家分享的是個(gè)人總結(jié)的一些經(jīng)驗(yàn)，在試聽課中經(jīng)常使用的一些關(guān)于數(shù)學(xué)的小想法。水平有限，僅供參考，請(qǐng)大家多指教。

引言10的奇偶性2循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)30為什么不能做分母4冪的運(yùn)算5趣味應(yīng)用題

目錄6多邊形面積的平分7三角形邊角大小的對(duì)應(yīng)910下次課介紹和月考范圍9本次課總結(jié)8三角形四心的存在性問題1：0是奇數(shù)還是偶數(shù)還是什么都不是？分析：（1）奇數(shù)與偶數(shù)的定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除

的整數(shù)叫做奇數(shù).（2）整除定義（概念）：整數(shù)a除以整數(shù)b，如果所得商仍是整數(shù)，

并且沒有余數(shù)，我們就說(shuō)a

能被b整除，或者說(shuō)b能整除a.引申：1是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）還是合數(shù)還是什么都不是？提示：用定義解題.

返回問題1：0是奇數(shù)還是偶數(shù)還是什么都不是？分析：（1）奇數(shù)與偶數(shù)的定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除

的整數(shù)叫做奇數(shù).（2）整除定義（概念）：整數(shù)a除以整數(shù)b，如果所得商仍是整數(shù)，

并且沒有余數(shù)，我們就說(shuō)a

能被b整除，或者說(shuō)b能整除a.引申：1是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）還是合數(shù)還是什么都不是？提示：用定義解題.返回解答：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義是：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，

這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）；一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有

別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).1只有它本身一個(gè)約數(shù)，所以既不是質(zhì)數(shù)也不是約數(shù).

提示：方程思想.

返回

提示：方程思想.返回

問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無(wú)意義，比如我們知道分?jǐn)?shù)的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無(wú)法分.（2）0做分母相當(dāng)于承認(rèn)0有倒數(shù)，而我們知道0是沒有倒數(shù)的.返回問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無(wú)意義，比如我們知道分?jǐn)?shù)的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無(wú)法分.（2）0做分母相當(dāng)于承認(rèn)0有倒數(shù)，而我們知道0是沒有倒數(shù)的.提示：反證法.引申：如何證明“如果兩條直線都平行于同一條直線，那么這兩條直線也

互相平行”返回

問題3：0為什么不能做分母？分析：（1）0做分母無(wú)意義，比如我們知道分?jǐn)?shù)的意義是把單位“1”平均分成

若干份，表示這樣的一份或者幾份，那么0做分母表示平均分成0份，

無(wú)法分.（2）0做分母相當(dāng)于承認(rèn)0有倒數(shù)，而我們知道0是沒有倒數(shù)的.提示：反證法.引申：如何證明“如果兩條直線都平行于同一條直線，那么這兩條直線也

互相平行”證明：如右圖所示，直線AB∥EF，CD∥EF．假設(shè)AB與CD不平行，則直線AB與CD相交，設(shè)它們的交點(diǎn)為P，于是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P就有兩條直線AB和CD都與直線EF平行，與經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行相矛盾，所以假設(shè)不能成立，故AB∥CD．返回

提示：數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間緊密聯(lián)系.返回

返回提示：數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間緊密聯(lián)系.問題5：趣味應(yīng)用題1、兩個(gè)男孩各騎一輛自行車，從相距20英里（1英里合1.6093千米）的兩個(gè)地方，開始沿直線相向騎行。

在他們起步的同時(shí)，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達(dá)另一輛自行車車把，就立即轉(zhuǎn)向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來(lái)回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。

如果每輛自行車都以每小時(shí)10英里的等速前進(jìn)，蒼蠅以每小時(shí)15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？解答：每輛自行車運(yùn)動(dòng)的速度是每小時(shí)10英里，兩者將在1小時(shí)后相遇于20英里距離的中點(diǎn)。

蒼蠅飛行的速度是每小時(shí)15英里，因此在1小時(shí)中，總共飛行了15英里。返回提示：許多人試圖用復(fù)雜的方法求解這道題目。他們計(jì)算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來(lái)越短的路程。但這將涉及所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，這是非常復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)，完全沒有必要。問題5：趣味應(yīng)用題2、有位漁夫，頭戴一頂大草帽，坐在劃艇上在一條河中釣魚。河水的流動(dòng)速度是每小時(shí)3英里，“我得向上游劃行幾英里，”他自言自語(yǔ)道，“這里的魚兒不愿上鉤！”

在靜水中，漁夫劃行的速度總是每小時(shí)5英里。在他向上游或下游劃行時(shí)，一直保持這個(gè)速度不變。

正當(dāng)他開始向上游劃行的時(shí)候，一陣風(fēng)把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我們這位漁夫并沒有注意到他的草帽丟了，仍然向上游劃行。

直到他劃行到船與草帽相距5英里的時(shí)候，才發(fā)覺這一點(diǎn)。于是他立即掉轉(zhuǎn)船頭，向下游劃去，如果漁夫是在下午2時(shí)丟失草帽的，那么他找回草帽是在什么時(shí)候？解答：既然漁夫離開草帽后劃行了5英里，那么，他當(dāng)然是又向回劃行了5英里，回到草帽那兒。因此，相對(duì)于河水來(lái)說(shuō)，他總共劃行了10英里。

漁夫相對(duì)于河水的劃行速度為每小時(shí)5英里，所以他一定是總共花了2小時(shí)劃完這10英里。于是，他在下午4時(shí)找回了他那頂落水的草帽。返回提示：由于河水的流動(dòng)速度對(duì)劃艇和草帽產(chǎn)生同樣的影響，所以在求解這道趣題的時(shí)候可以對(duì)河水的流動(dòng)速度完全不予考慮。

雖然是河水在流動(dòng)而河岸保持不動(dòng)，但是我們可以設(shè)想是河水完全靜止而河岸在移動(dòng)。就我們所關(guān)心的劃艇與草帽來(lái)說(shuō)，這種設(shè)想和上述情況毫無(wú)無(wú)差別。

其實(shí)本題用追及問題公式來(lái)算也可以，只是沒有必要而已。引申：我們還可以這樣思考：1、假設(shè)所有的兔子都抬起兩條前腿做“玉兔拜月”，那么腿數(shù)正好是頭數(shù)的兩倍(其實(shí)就是假設(shè)全是雉)，所以35×2=70，用94-70=24是兔的前腿數(shù)，24÷2=12即為兔數(shù)，35-12=23即為雉數(shù)；2、抬腿法(波利亞跳舞法)：假設(shè)所有的雉都抬起一條腿做“金雞獨(dú)立”，所有的兔都抬起兩條前腿做“玉兔拜月”，那么腿數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，94÷2=47，那么，腿比頭多的數(shù)量即為兔數(shù)，47-35=12…問題5：趣味應(yīng)用題3、雞兔同籠：出自《孫子算經(jīng)》，原題如下：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？

解答(二元一次方程組)：設(shè)x為雉數(shù)，y為兔數(shù)，

則有x＋y＝35，2x＋4y＝94，解得：x＝23，y＝12…返回開心一刻：1、數(shù)學(xué)謎語(yǔ)：(1)從后面算起（打一數(shù)學(xué)名詞）(2)從嚴(yán)判刑（打一數(shù)學(xué)名詞）(3)醫(yī)生提筆（打一數(shù)學(xué)名詞）(4)考試不作弊（打一數(shù)學(xué)名詞）(5)一筆債務(wù)（打一數(shù)學(xué)名詞）(6)婚姻法（打一數(shù)學(xué)名詞）(7)五四三二一（打一數(shù)學(xué)名詞）(8)徹底消滅（打一數(shù)學(xué)名詞）(9)再見了，媽媽（打一數(shù)學(xué)名詞）(10)七除以二（打一成語(yǔ)）返回倒數(shù)加法（加罰）開方真分?jǐn)?shù)負(fù)數(shù)結(jié)合律倒數(shù)整除分母不三不四2、一人去吃早餐，要了一碗豆?jié){，想了想問老板可不可以換根油條！老板同意了，這人吃完油條就走了！老板攔住他：“你油條還沒給錢呢”

這貨說(shuō)：“我用豆?jié){換的啊”

老板喝道：“豆?jié){是我的”

這貨又說(shuō)：“可是我沒喝啊！”

老板凌亂了。。。問題6：多邊形面積的平分引入：如圖，△ABC，過(guò)A點(diǎn)的中線能把三角形分成面積相同的兩部分.

你能過(guò)AB邊上一點(diǎn)E作一條直線EF，使它也將這個(gè)三角形分成兩個(gè)

面積相等的部分嗎？解答：如圖DFABCDMFE返回1、借鑒三角形等分面積的方法，能否等分四邊形？問題6：多邊形面積的平分2、如圖，欲將一塊四方形的耕地中間的一條折路MPN改直，但不能

改變折路兩邊的耕地面積的大小，應(yīng)如何畫線？提示：面積的轉(zhuǎn)化.引申：是否可以用一條線平分五邊形解答：如圖FEMNF返回問題7：如何證明“同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，

大角對(duì)大邊”？1、如圖1，△ABC中，AB＞AC，求證∠C＞∠B.提示：割補(bǔ)法.證明：在AB上截取AD=AC，連接CD，則∠ADC=∠ACD；∵∠ADC>∠B(三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）

∴∠ACD>∠B(等量代換）

又∵∠ACB>∠ACD(整體大于部分）

∴∠ACB>∠B(不等式的傳遞性）

DCBA圖1BCA圖2D2、如圖2，△ABC中，

∠B＞∠C，求證AC＞AB.證明：在∠ABC內(nèi)部作∠CBD=∠C，則BD=CD；

∵AD+BD>AB(三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AD+CD>AB(等量代換）

即AC>AB.返回引申：是否都可以用“補(bǔ)”的方法來(lái)證明?問題7：如何證明“同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，

大角對(duì)大邊”？1、如圖1，△ABC中，AB＞AC，求證∠C＞∠B.提示：割補(bǔ)法.證明：延長(zhǎng)AC到D，使AD=AC，連接BD，則∠ABD=∠D；∵∠ACB>∠D(三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）

∴∠ACB>∠ABD(等量代換）

又∵∠ABD>∠ABC(整體大于部分）

∴∠ACB>∠ABC(不等式的傳遞性）

2、如圖2，△ABC中，

∠B＞∠C，求證AC＞AB.證明：在∠ACB外部作∠BCD=∠B，AD為BA延長(zhǎng)線，則BD=CD；∵AC+AD>CD(三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AC+AD>BD(等量代換）即AC+AD>AB+AD，∴AC>AB

返回引申：是否都可以用“補(bǔ)”的方法來(lái)證明?DCBA圖1BCA圖2D問題8：三角形“四心定理”的證明1、內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓

的圓心，簡(jiǎn)稱內(nèi)心證明：如圖，設(shè)∠ABC、∠ACB的平分線相交于I,

過(guò)I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，

則IE==ID，IF=ID，所以IE=IF

因此I也在∠BAC的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．2、外心：三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是三角形的

外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱外心證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，

連接OA、OB、OC，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，即三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．返回ABCI

E

F

DABCO問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

D問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

D連接DE，∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

DNM∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)∴DE//AB且AB=2DE分別取AG、BG的中點(diǎn)M、N并連接MN有MN//AB且AB=2MN∴DE//MN且DE=MN∴四邊形DEMN是平行四邊形問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.返回ABCG

E

F

DNMPQ∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)∴DE//AB且AB=2DE分別取AG、BG的中點(diǎn)M、N并連接MN有MN//AB且AB=2MN，∴DE//MN且DE=MN問題8：三角形“四心定理”的證明3、重心：三角形的三邊中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.證明：方法五(利用三角形的中位線和平行四邊形2)：

如圖，△ABC的中線AD、BE交于點(diǎn)G連接CG并延長(zhǎng)到P，交AB于F，并使PG=CG，連接AP、BP，

∵D、G分別為BC、PC的中點(diǎn)

∴DG//BP，即GA//BP，

∴同理EG//AP，即GB//AP，

∴四邊形PAGB是平行四邊形

∴AF=BF，

∴CF為AB邊上的中線，即三角形三條中線相交于一點(diǎn)．返回ABCG

E

D

FP問題8：三角形“四心定理”的證明4、垂心：三角形的三條高線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心.證明：方法一(四點(diǎn)共圓)：

如圖，△ABC的高AD、BE交于點(diǎn)H

連結(jié)CH交AB于F，連結(jié)DE.

∵∠BDC=∠BEC=90°

∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓(以AB為直徑)

∴∠BAD=∠BED······①(同弧所對(duì)圓周角相等)

又∵∠CDH=∠CEH=90°

∴C、D、H、E四點(diǎn)共圓(以CH為直徑的圓)

∴∠HED=∠HCD······②(同弧所對(duì)圓周角相等)

由①②可知，∠BAD=∠BCF

且∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠BCF+∠CBF=90°，即CF⊥AB