自動(dòng)控制原理第四章

例4.1二階系統(tǒng)的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程閉環(huán)極點(diǎn)4.1根軌跡法的基本概念1東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

研究開環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)取不同K值時(shí)，算得閉環(huán)特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j4.1根軌跡法的基本概念2東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.1根軌跡法的基本概念K由0→∞變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡直觀地表示了參數(shù)K變化時(shí)，閉環(huán)特征根的變化，并且還給出了參數(shù)K對(duì)閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。3東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組根軌跡方程控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)4.1根軌跡法的基本概念4東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組式中：——開環(huán)零點(diǎn)；

——開環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為或可寫作4.1根軌跡法的基本概念5東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組這個(gè)方程式表達(dá)了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱為根軌跡方程。上式是一個(gè)復(fù)數(shù)，可表示成幅值和輻角的形式，則根軌跡方程又可分別表示成：4.1根軌跡法的基本概念6東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組幅值條件：4.1根軌跡法的基本概念7東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

例如下圖所示，對(duì)于根軌跡；對(duì)根軌跡；對(duì)根軌跡。它們都是奇數(shù)。8東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

例4-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，，求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。解由已知：9東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

代入分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)方程，有由此得分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分別為10東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示。11東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

例4-3設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定其根軌跡漸近線。解

（1）計(jì)算漸近線傾角。因?yàn)?/p>

,所以可得漸近線傾角為12東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

因?yàn)?/p>

；所以漸近線交點(diǎn)為（2）計(jì)算漸近線交點(diǎn)。13東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

例4-4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試計(jì)算起點(diǎn)（-1+j1）的斜率。14東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組把以上諸值代入輻角條件，即得起點(diǎn)（-1+j1）的出射角為4.2根軌跡的繪制法則

解令稍為增大，在（-1+j1）附近的特征根應(yīng)滿足輻角條件，即解得15東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

同理可得入射角的計(jì)算公式為通過(guò)這個(gè)例子，可以得到計(jì)算出射角的公式為16東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

例4-5設(shè)有開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)。

假設(shè)時(shí)根軌跡與虛軸相交，于是令上式中解方法（1）根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為17東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

則得亦即解得：，，對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)；，，對(duì)應(yīng)根軌跡與虛軸相交。交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為

18東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

方法（2）用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)勞斯表特征方程19東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

在第一列中，令行等于零，則得臨界放大系數(shù)

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù)行的輔助方程求得，即

令上式中，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為20東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為

則從原點(diǎn)作阻尼線0R,

交根軌跡于R（見右圖）。

開環(huán)放大系數(shù)應(yīng)為

上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同

21東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

例4-6

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制其根軌跡。22東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

解（1）起點(diǎn)為：；其他起點(diǎn)為，其漸近線為

（2）終點(diǎn)為：，其漸近線同上。

（3）在實(shí)軸的

區(qū)間有根軌跡。（4）分離點(diǎn)位置按式（4-25）計(jì)算，得23東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

由此算得當(dāng)時(shí)，得，。因根軌跡位于

間，故分離點(diǎn)是。（5）根軌跡與虛軸交點(diǎn)。當(dāng)，，得

由此得

對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡放大系數(shù)為同理可計(jì)算時(shí)的和值

。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果作的根軌跡如下圖所示。

24東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則

當(dāng)滯后時(shí)間很小時(shí)，根軌跡與虛交點(diǎn)的值將很大，臨界根軌跡放大系數(shù)也是很大。這時(shí)時(shí)滯環(huán)節(jié)的影響減弱。因此，對(duì)于滯后時(shí)間為毫秒級(jí)的元件，我們常把它的傳遞函數(shù)近似地認(rèn)為，即把它等效成為一個(gè)慣性元件。25東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

例4-7試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。

解（1）二個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：，

；一個(gè)有限零點(diǎn)：和一個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。

26東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

（2）實(shí)軸上根軌跡。確定這一系統(tǒng)實(shí)軸上軌跡的原則是，它右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)是偶數(shù)。因?yàn)橹挥羞@樣，才能滿足輻角條件。因此在實(shí)軸的

和區(qū)間存在根軌跡。（3）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分別為27東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

根軌跡如下圖所示。

不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限零點(diǎn)，半徑為。

28東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

4.2根軌跡的繪制法則

例4-9給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解

閉環(huán)特征方程改寫為

等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為

該系統(tǒng)在繪制以為參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。29東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍：

例4-9系統(tǒng)的根軌跡本例說(shuō)明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。

4.2根軌跡的繪制法則

30東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則例4-10

一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以K和為參數(shù)的根軌跡。解

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為先令，則上式變?yōu)榛驅(qū)懽?1東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.2根軌跡的繪制法則令據(jù)此作出對(duì)應(yīng)的根軌跡，如下圖a所示。這是時(shí)，以K為參變量的根軌跡。其次考慮，把閉環(huán)特征方程改寫為

令32東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組它的極點(diǎn)為，零點(diǎn)為0。不難證明，對(duì)應(yīng)特征方程的根軌跡為一圓弧，其方程為4.2根軌跡的繪制法則例如令K=9，則下圖b為K取不同值時(shí)所作的根軌跡簇。33東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

對(duì)于的系統(tǒng)，可先在實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，找出閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。例4-11

系統(tǒng)開環(huán)傳函為試確定的閉環(huán)極點(diǎn)。解閉環(huán)特征方程為4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

34東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

由圖可知：在有一實(shí)根，設(shè)其為:4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

實(shí)根求法：1.試探法

2.作圖法由求得的一個(gè)特征根為35東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組

設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：由特征方程得:根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：可求得二共軛復(fù)根:4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

36東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

4.3.4

開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響例4-13設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)根軌跡如下圖a所示。若系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)槠湎鄳?yīng)的根軌跡如下圖b所示。

37東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組