2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：空間向量與立體幾何（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：空間向量與立體幾何（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為線段PA的中點(diǎn)，PD=2，AB=AD=12（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求直線AE與平面BCP所成角的正弦值．2．（2024?邵陽三模）如圖，在四棱臺(tái)A1B1C1D1﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠ABC＝60°，A1A⊥平面ABCD，AA1＝A1D1＝2．（1）證明：A1C⊥AB1；（2）求二面角A1﹣CD1﹣B1的正弦值．3．（2024?新華區(qū)校級(jí)一模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝22，∠ABC＝90°，如圖（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求證：CD⊥AB；（Ⅱ）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出BNBC4．（2024?西安模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD∥CB，∠CPD＝∠ABC＝90°，平面PCD⊥平面ABCD，E（1）求證：PD⊥面PCA；（2）點(diǎn)Q在棱PA上，設(shè)PQ→=λPA→(0＜λ＜1)，若二面角P5．（2024?銅川一模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為22的菱形，∠ABC＝60°，AP＝AB，PB＝4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為CD，PB（1）證明：CD⊥平面PAE；（2）求點(diǎn)A到平面PEF的距離．6．（2024?浙江模擬）如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC＝CA＝2．（Ⅰ）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（Ⅱ）若斜棱柱的高為3，求平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值．7．（2024?門頭溝區(qū)一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，BC=12AD，PA＝AB＝2，E（1）求證：EC∥平面PAB；（2）當(dāng)PC＝3時(shí)，求直線PC與平面BCE所成角的正弦值．8．（2024?湖北模擬）如圖，AE⊥平面ABCD，E，F(xiàn)在平面ABCD的同側(cè)，AE∥DF，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB=12BC＝（1）若B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求線段EF的長(zhǎng)；（2）若DF＝2AE，平面BEF與平面BCF的夾角為30°，求線段AE的長(zhǎng)．9．（2024?射洪市模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，PA⊥PD，底面ABCD中，AD∥BC，AD＝2PC＝2BC＝4CD，∠ADC＝60°，E是線段AP上一點(diǎn)，設(shè)AE→（1）若λ＝1，求證：BE∥平面PCD；（2）是否存在點(diǎn)E，使直線BE與平面PAD所成角為30°，若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2024?重慶模擬）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，EC⊥平面ABCD，AB∥DC，△ACD為等邊三角形，DC＝2AB＝2，CB＝CE，點(diǎn)F為棱BE上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：DC⊥平面BCE；（2）當(dāng)二面角F﹣AC﹣B的大小為45°時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)度．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：空間向量與立體幾何（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為線段PA的中點(diǎn)，PD=2，AB=AD=12（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求直線AE與平面BCP所成角的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）37【分析】（1）根據(jù)題意易得AC∥FG，再利用線面平行的判定定理，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCP的法向量及AE→【解答】解：（1）證明：設(shè)CP∩DE＝G，連接FG，因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，所以G為PC中點(diǎn)，又F為PA中點(diǎn)，則AC∥FG，又FG?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA→，DC→，DP→的正方向分別為x，y建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P(0，0，所以BC→=(-1，1，設(shè)平面BCP的法向量為n→則BC→?n設(shè)直線AE與平面BCP所成角為θ，所以sinθ=|所以直線AE與平面BCP所成角的正弦值為37【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，向量法求解線面角問題，屬中檔題．2．（2024?邵陽三模）如圖，在四棱臺(tái)A1B1C1D1﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠ABC＝60°，A1A⊥平面ABCD，AA1＝A1D1＝2．（1）證明：A1C⊥AB1；（2）求二面角A1﹣CD1﹣B1的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）1313【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得．（2）求出平面A1CD1和平面B1CD1的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得．【解答】解：（1）證明：因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，在平面ABCD內(nèi)過A作Ax⊥BC，由A1A⊥平面ABCD，得直線Ax，AD，AA1兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線Ax，AD，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，所以A1C→所以A1所以A1C→⊥AB1→（2）設(shè)平面A1CD1的法向量n→則n→?C設(shè)平面B1CD1的法向量m→則m→?C設(shè)二面角A1﹣CD1﹣B1的大小為θ，則|cosθ|=|cos?所以二面角A1﹣CD1﹣B1的正弦值為sinθ=1-(【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，二面角的求解，屬中檔題．3．（2024?新華區(qū)校級(jí)一模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝22，∠ABC＝90°，如圖（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求證：CD⊥AB；（Ⅱ）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出BNBC【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由題意求解直角三角形可得CD⊥BD，再由面面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面ABD，進(jìn)一步得到CD⊥AB；（Ⅱ）由CD⊥平面ABD，得CD⊥BD．以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DB所在的直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D作垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，求出A，B，C，D的坐標(biāo)．得到CD→、AD→的坐標(biāo)．求出平面ACD的一個(gè)法向量，假設(shè)存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°，設(shè)BN→=λBC→，0≤λ≤1，得到AN→【解答】解：（Ⅰ）證明：∵AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝22，AB⊥BC，∴AD＝AB=2，BD=又∠DBC＝∠ADB＝45°，∴CD=2∴BD2+AC2＝BC2，則CD⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CD⊥AB；（Ⅱ）解：∵CD⊥平面ABD，∴CD⊥BD．以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DB所在的直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D作垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖．由已知，得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0）．∴CD→=(0，設(shè)平面ACD的法向量為n→=(x，令x＝1，得平面ACD的一個(gè)法向量為n→假設(shè)存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°，設(shè)BN→=λBC→，0≤λ≤1，則N（2﹣2λ，2λ，∴sin60°=|可得8λ2+2λ﹣1＝0，解得λ=14或綜上所述，在線段BC上存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°，此時(shí)BNBC【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．4．（2024?西安模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD∥CB，∠CPD＝∠ABC＝90°，平面PCD⊥平面ABCD，E（1）求證：PD⊥面PCA；（2）點(diǎn)Q在棱PA上，設(shè)PQ→=λPA→(0＜λ＜1)，若二面角P【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直．【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解答；（2）λ=1【分析】（1）依題意可證CD⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得到AC⊥平面PCD，即可得到PD⊥AC，再由PC⊥PD，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得．【解答】（1）證明：由題意：BC＝AB＝2，∠ABC﹣90°，∴AC=AB2又AD＝4，∴CD2+AC2＝AD2，∴CD⊥AC，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，PD?平面PCD，∴PD⊥AC，又PC⊥PD且PC?面PCA，AC?面PCA，PC∩AC＝C，∴PD⊥面PCA；（2）解：以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A(0，22，0)∴CD→=(22，0由PQ→=λPA令n→=（x，y，z）是平面則n→?CD令y＝1，有n=(0取面PCD的一個(gè)法向量m→=（0，1，則|cos＜n→，m→【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，屬難題．5．（2024?銅川一模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為22的菱形，∠ABC＝60°，AP＝AB，PB＝4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為CD，PB（1）證明：CD⊥平面PAE；（2）求點(diǎn)A到平面PEF的距離．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）215【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，再由線面垂直的判定定理求證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離即可．【解答】解：（1）∵AP=AB=22，PB＝4∴AP2+AB2＝PB2，∴AP⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，且交線為AB，AP?平面PAB，∴AP⊥平面ABCD，∵CD?平面ABCD，∴AP⊥CD．連接AC，AF，如圖所示：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為22的菱形，∠ABC＝60所以△ACD為等邊三角形．又因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE，又AP∩AE＝A，AP?平面PAE，AE?平面PAE，所以CD⊥平面PAE．（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PEF的距離為h，則VA﹣PEF＝VE﹣PAF，因?yàn)锳B∥CD，所以AE⊥AB，又由（1）知AE⊥AP，又AP∩AB＝A，AP?平面PAB，AB?平面PAB，所以AE⊥平面PAB，又PF?平面PAB，AF?平面PAB，所以AE⊥PF，AE⊥AF，又AF=12PB=2又由PF⊥AE，PF⊥AF，AE∩AF＝A，AF?平面AEF，AE?平面AEF，所以PF⊥平面AEF，且PF＝2，F(xiàn)E=A所以13×1所以點(diǎn)A到平面PEF的距離為215【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了點(diǎn)到平面的距離計(jì)算問題，是中檔題．6．（2024?浙江模擬）如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC＝CA＝2．（Ⅰ）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（Ⅱ）若斜棱柱的高為3，求平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值為57【分析】（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)M，連接B1M，利用點(diǎn)B1在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，證明B1M⊥AC，結(jié)合AC⊥BC，由線面垂直的判定定理證明AC⊥平面B1C1CB，根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面BAB1和平面AB1C1的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【解答】解：（I）證明：取BC中點(diǎn)為M，連接B1M，∵B1在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn)，∴B1M⊥平面ABC，又∵AC?平面ABC，∴B1M⊥AC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵B1M，BC?平面B1C1CB，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB，又∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（II）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由BC＝CA＝2，可得A(2，即有AB1→=（﹣2，1，3），AB→=（﹣2，2，0），B1設(shè)平面BAB1的法向量為n→即有n→?AB1→=0n→?AB所以n→設(shè)平面AB1C1的法向量為m→即有m→?AB1→=0m→?B1C所以n→所以有|cos＜n→，m→由兩平面夾角定義可知平面ABB1與平面AB1C1夾角為銳角，故平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值為57【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．7．（2024?門頭溝區(qū)一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，BC=12AD，PA＝AB＝2，E（1）求證：EC∥平面PAB；（2）當(dāng)PC＝3時(shí)，求直線PC與平面BCE所成角的正弦值．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）25【分析】（1）取PA中點(diǎn)為M，證明EC∥BM，即可由線線平行證明線面平行；（2）過P作平面BCE的垂線，結(jié)合幾何特點(diǎn)求得PN，再求線面角的正弦值即可．【解答】解：（1）證明：取PA中點(diǎn)為M，連接ME，MB，如下圖所示：在△PAD中，因?yàn)镸，E分別為PA，PD的中點(diǎn)，故ME∥AD，又AD∥故ME∥BC，ME＝BC，則四邊形MBCE為平行四邊形，EC∥MB，又MB?面PAB，EC?面PAB，故EC∥面PAB．（2）過點(diǎn)P作BM延長(zhǎng)線的垂線，垂足為N，連接NC，如下圖所示：由（1）可知，EC∥BM，故平面BCE也即平面NMBCE，因?yàn)锳B⊥AD，BC∥AD，則BC⊥AB，又PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，故BC⊥PA，又PA∩AB＝A，PA，AB?面PAB，故BC⊥面PAB，又PN?面PAB，則PN⊥BC，又PN⊥BN，BC∩BN＝B，BC，BN?面BCE，故PN⊥面BCE，則∠PCN即為PC與平面BCE的夾角，在△ABM中，因?yàn)锳B=2，則BM=AB2在△PMN中，因?yàn)镻M=12PA=1，∠AMB則PN=sin∠又PC＝3，sin∠即直線PC與平面BCE所成角的正弦值為25【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面位置關(guān)系以及線面角的求法，屬于中檔題．8．（2024?湖北模擬）如圖，AE⊥平面ABCD，E，F(xiàn)在平面ABCD的同側(cè)，AE∥DF，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB=12BC＝（1）若B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求線段EF的長(zhǎng)；（2）若DF＝2AE，平面BEF與平面BCF的夾角為30°，求線段AE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）1；（2）12【分析】（1）由線面平行的判定定理、性質(zhì)定理得四邊形ADFE是平行四邊形，由此能求出線段EF的長(zhǎng)；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段AE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AD∥BC，BC?平面BCEF，AD?平面BCEF，∴AD∥平面BCEF，∵AE∥DF，∴A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面，∵AD∥平面BCEF，AD?平面ADEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴AD∥EF，又AE∥DF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴EF＝DC＝1．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E（0，0，λ），F(xiàn)（0，1，2λ），B（1，0，0），C（1，2，0），BE→=（﹣1，0，λ），BF→=（﹣1，1，2λ），BC→=（設(shè)m→=（x，y，z）是平面則m→?BE→=-x+λz=0m→?BF→=-x+y+2λz=0，取z設(shè)n→=（a，b，c）是平面則n→?BC→=2b=0n→?BF→=-a+b+2λc=0，取c＝依題意|cos＜m→，解得λ=12，∴AE【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共面、向量法、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9．（2024?射洪市模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，PA⊥PD，底面ABCD中，AD∥BC，AD＝2PC＝2BC＝4CD，∠ADC＝60°，E是線段AP上一點(diǎn)，設(shè)AE→（1）若λ＝1，求證：BE∥平面PCD；（2）是否存在點(diǎn)E，使直線BE與平面PAD所成角為30°，若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，λ＝3或35【分析】（1）取PD中點(diǎn)F，證明BE∥CF，由線線平行證得線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量解決線面角問題．【解答】解：（1）證明：取PD中點(diǎn)F，連接FC，如圖所示，∵AE→=EP→，∴E為AP中點(diǎn)，EF∥∵BC∥AD，BC=1∴EF∥BC且EF＝BC，∴得四邊形EFCB為平行四邊形，∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，故BE∥平面PCD．（2）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)過O點(diǎn)垂直于OD的直線為x軸，過O點(diǎn)垂直平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：O﹣xyz，設(shè)BC＝1，P（x，y，z），∵∠ADC＝60°，∴A（0，﹣2，0），B(32，-12，0)，C(32，∴|PA|2＝x2+（y+2）2+z2＝8，|PO|2＝x2+y2+z2＝4，|PC|解得：x=3，y＝0，z＝1∴P(3，0設(shè)AE→=tAP→=(3t又AB→=(3設(shè)平面PAD的法向量為n→=(x，令x＝﹣1，解得y＝0，z=3，∴n由直線BE與平面PAD所成角為30°，可得|cos＜n→，BE→＞|＝cos（90°﹣30°）＝|整理得：32t2﹣36t+9＝0，解得t=34或t=3所以λ=t1-t，解得λ＝3或【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定和線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．10．（2024?重慶模擬）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，EC⊥平面ABCD，AB∥DC，△ACD為等邊三角形，DC＝2AB＝2，CB＝CE，點(diǎn)F為棱BE上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：DC⊥平面BCE；（2）當(dāng)二面角F﹣AC﹣B的大小為45°時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明過程請(qǐng)見解答；（2）153【分析】（1）先結(jié)合余弦定理與勾股定理證明BC⊥AB，從而知BC⊥DC，再由EC⊥平面ABCD，得EC⊥DC，然后利用線面垂直的判定定理，即可得證；（2）過點(diǎn)F作FG∥EC，交BC于G，過點(diǎn)G作GH⊥AC于H，連接FH，根據(jù)三垂線定理，可知∠GHF＝45°，再利用△BCE是等腰直角三角形，找等量關(guān)系，求解即可．【解答】（1）證明：因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，DC＝2，所以AC＝2，∠ACD＝60°，因?yàn)锳B∥DC，所以∠BAC＝∠ACD＝60°，在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC＝1+4﹣2×1×2×12所以BC2+AB2＝AC2，即BC⊥AB，所以BC⊥DC，因?yàn)镋C⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以EC⊥DC，又BC∩EC＝C，BC、EC?平面BCE，所以DC⊥平面BCE．（2）解：過點(diǎn)F作FG∥EC，交BC于G，過點(diǎn)G作GH⊥AC于H，連接FH，因?yàn)镋C⊥平面ABCD，所以FG⊥平面ABCD，所以∠GHF就是二面角F﹣AC﹣B的平面角，即∠GHF＝45°，所以GH＝GF，設(shè)GH＝GF＝t，由（1）知，在Rt△ABC中，AC＝2AB，所以∠ACB＝30°＝∠HCG，在Rt△CHG中，CG＝2GH＝2t，所以BG＝BC﹣CG=3-2因?yàn)镃E⊥CB，CB＝CE，所以△BCE是等腰直角三角形，所以∠CBE＝45°，所以BG＝GF＝t，所以3-2t＝t，即t=所以CF=CG【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，二面角的定義與求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)無異面直線不同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)無2．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．3．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．4．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．5．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來說這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos6．空間向量法求解直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面所成角的求法：向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)積和模：計(jì)算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計(jì)算角度．【命題方向】﹣向量法計(jì)算：考查如何使用空間向量法計(jì)算直線與平面之間的夾角．7．二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條