2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：三角函數(shù)（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：三角函數(shù)（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?莆田模擬）集合M＝{y|y＝1+sinx}＝．2．（2024?大連模擬）函數(shù)f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為6π，則函數(shù)y＝f（x）的解析式為3．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，若f（x）在區(qū)間（﹣m，m）上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4．（2024?嶗山區(qū)校級(jí)二模）將函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象上的每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移π4得到函數(shù)y＝h（x）的圖象，若函數(shù)y＝g（x）與函數(shù)y＝h（x）+1的圖象交于點(diǎn)（α，g（α）），其中-π2＜α＜0，則sin5．（2024?廣州模擬）已知函數(shù)f（x）＝6sinx+sin3x的圖象y＝f（x）與直線y＝m在[0，2π]上有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．6．（2024?陜西模擬）已知α，β∈(0，π2)，若P＝sinαsin2β+cosαcos7．（2024?安徽模擬）已知cos(3π2+2α)+4sin2(π4-α-β)=(sinβ-cosβ)2+1，其中α+β≠kπ（k8．（2024?陜西模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）(ω＞0，-π2＜φ＜π2)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π39．（2024?西城區(qū)模擬）若函數(shù)f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[-2π3，2π3]10．（2024?城陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分圖象如圖所示，已知點(diǎn)A，D為f（x）的零點(diǎn)，點(diǎn)B，C為f（x）的極值點(diǎn)，AB

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：三角函數(shù)（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?莆田模擬）集合M＝{y|y＝1+sinx}＝[0，2]．【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】[0，2]．【分析】利用正弦函數(shù)的值域即可求解．【解答】解：集合M為函數(shù)y＝1+sinx的值域，所以M＝[0，2]．故答案為：[0，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?大連模擬）函數(shù)f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為6π，則函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝tan（12x【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】f（x）＝tan（12x-【分析】根據(jù)面積可確定周期，確定ω，又根據(jù)圖象過點(diǎn)(π6，【解答】解：如圖所示．﹣區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形ABCD的面積，可得|AB|＝3，設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為T，則|AD|＝T，由題意可得3T＝6π，解得T＝2π，故πω=2π，可得即f（x）=tan(12x+φ)，可知f（x）的圖象即tan(12×π所以π12+φ=-π4，解得φ=-π3．f（故答案為：f（x）＝tan（12x-【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，若f（x）在區(qū)間（﹣m，m）上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【考點(diǎn)】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】(5π【分析】由圖象對(duì)稱性可知，函數(shù)f（x）的圖象與x軸正半軸第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6，可知x=2π3為其對(duì)稱軸，進(jìn)而可求周期，利用周期公式可求ω的值，由Asin(π6+φ)=0，結(jié)合-π2【解答】解：由圖象對(duì)稱性可知，函數(shù)f（x）的圖象與x軸正半軸第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6由圖可知x=2π則T4=2πω?由于Asin(π故π6+φ=kπ，k∈則φ＝kπ-π6，k∈因?yàn)?π所以φ=-于是f(x)=Asin(x-由于f(0)=Asin(-故A＝1，因此f(x)=sin(x-易知f(-因?yàn)閒（x）在（﹣m，m）上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以5π6故答案為：(5π【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．4．（2024?嶗山區(qū)校級(jí)二模）將函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象上的每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移π4得到函數(shù)y＝h（x）的圖象，若函數(shù)y＝g（x）與函數(shù)y＝h（x）+1的圖象交于點(diǎn)（α，g（α）），其中-π2＜α＜0，則sin【考點(diǎn)】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】-2【分析】由題意及三角函數(shù)的圖象變換可得h（x）＝2sin2x，由已知條件可得cos2α＝2sin2α+1，結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求解即可．【解答】解：函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象上的每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到函數(shù)y＝2cos2x的圖象，再將所得圖象向右平移π4得到函數(shù)h（x）＝2cos2（x-π4）＝2sin2x因?yàn)楹瘮?shù)y＝g（x）與函數(shù)y＝h（x）+1的圖象交于點(diǎn)（α，g（α）），所以g（α）＝h（α）+1，即cos2α＝2sin2α+1，所以1﹣2sin2α＝4sinαcosα+1，因?yàn)棣痢剩?π2，0），所以sinα＜0，cosα＞所以﹣sinα＝2cosα，因?yàn)閏os2α+sin2α＝1，解得sinα=-255，故答案為：-2【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)圖象的變換，考查二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．5．（2024?廣州模擬）已知函數(shù)f（x）＝6sinx+sin3x的圖象y＝f（x）與直線y＝m在[0，2π]上有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(5，3【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)f′（x），聯(lián)系余弦函數(shù)在0，2π]上的單調(diào)性分析導(dǎo)函數(shù)f（x）的正負(fù)，由此得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝6sinx+sin3x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）＝6cosx+3cos3x＝6cosx+3cos（x+2x）＝12cos3x﹣3cosx＝3cosx（4cos2x﹣1），當(dāng)0≤x＜π3時(shí)，4cos2x-1＞0cosx＞0?f′（x）＞當(dāng)π3≤x＜π2時(shí)，cos2x-1＜0當(dāng)π2≤x＜2π3時(shí)，4cos2x-1＜當(dāng)2π3≤x＜π時(shí)，4cos2x-1＞0cosx＜0?f′（當(dāng)π≤x＜4π3時(shí)，4cos2x-1＞0cosx＜0?當(dāng)4π3≤x＜3π2時(shí)，4cos2x-1＜0cosx＜0?f當(dāng)3π2≤x＜5π3時(shí)，4cos2x-1＜0cosx＞0?f當(dāng)5π3≤x≤2π時(shí)，4cos2x-1＞0cosx＞0?f'(x)＞所以，在[0，π]上，當(dāng)x=π3，2π3時(shí)，f（x）取得極大值為33，當(dāng)在（π，2π]上，當(dāng)x=3π2時(shí)，f（x）取得極大值為﹣5，當(dāng)x=4π所以函數(shù)f（x）＝6sinx+sin3x的圖象y＝f（x）與直線y＝m在[0，2π]上有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(5，故答案為：(5，【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)應(yīng)用，屬于難題．6．（2024?陜西模擬）已知α，β∈(0，π2)，若P＝sinαsin2β+cosαcos【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】54【分析】P=sin22β+cos2β?sin(α+φ)，分別求sin【解答】解：將P＝sinαsin2β+cosαcosβ視為α的函數(shù)，故P=sin22β+cos所以當(dāng)α+φ=π2時(shí)，sin（α+φ）的最大值為設(shè)t=sin22β+cos2β所以P的最大值為54故答案為：54【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．7．（2024?安徽模擬）已知cos(3π2+2α)+4sin2(π4-α-β)=(sinβ-cosβ)2+1，其中α+β≠kπ（k【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】22【分析】由第一個(gè)已知條件得sin2α+sin2β＝2sin（2α+2β），結(jié)合二倍角公式進(jìn)一步得出tanαtanβ=13，結(jié)合第二個(gè)已知條件可得關(guān)于tan【解答】解：依題意，cos(3π（sinβ﹣cosβ）2+1＝2﹣sin2β，所以sin2α+sin2β＝2sin（2α+2β），所以sin2α+sin2β＝sin[（α+β）+（α﹣β）]+sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝2sin（α+β）cos（α﹣β），而2sin（2α+2β）＝4sin（α+β）?cos（α+β），因?yàn)棣?β≠kπ（k∈Z），故sin（α+β）≠0，則cos（α﹣β）＝2cos（α+β），則3sinαsinβ＝cosαcosβ，即tanαtanβ=1則tanα+2tan(α+β)+3tanβ=tanα+3tanβ+=4tanα+6tanβ=4tanα+2解得tanα=22，故故答案為：22【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的正余弦公式，兩角和差的正余弦和正切公式，是中檔題．8．（2024?陜西模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）(ω＞0，-π2＜φ＜π2)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π3【考點(diǎn)】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】π6【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離求出T和ω，再根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π18，【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π3所以T＝2×π所以ω=2πT又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π所以3×5π18+φ＝kπ，k解得φ＝kπ-5π6，k∈又因?yàn)?π2＜所以φ=π故答案為：π6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?西城區(qū)模擬）若函數(shù)f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[-2π3，2π3]【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】函數(shù)f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[-2π3，2π3]上單調(diào)遞增，就是在[【解答】解∵f（x）在[-T4故[-2π即T4∴ω≤3∴ωmax=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．10．（2024?城陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分圖象如圖所示，已知點(diǎn)A，D為f（x）的零點(diǎn)，點(diǎn)B，C為f（x）的極值點(diǎn)，AB【考點(diǎn)】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】f(x)=3【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求出周期，進(jìn)而可求ω，然后結(jié)合特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值可求φ，進(jìn)而可求函數(shù)解析式．【解答】解：由題意可知D（13，0），C（13+T4，-3），A（13-1所以AB→=（T4，3），DC因?yàn)锳B→所以T216-3=-解得T＝4，故ω=π2，f（x）=3sin（又π2×13+φ=kπ，k∈Z，且0所以φ=5π所以f(x)=3故答案為：f(x)=3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，還考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）解析式的求解，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．正弦函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）時(shí)，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+π2，k對(duì)稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對(duì)稱軸周期2π2ππ2．正弦函數(shù)的定義域和值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．3．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．4．正切函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：[2kπ-π2，2kπ+π2]（遞減區(qū)間：[2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+π2，k對(duì)稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對(duì)稱軸周期2π2ππ5．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是|φ|ω（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x【解題方法點(diǎn)撥】1．一個(gè)技巧列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為T42．兩個(gè)區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M-m（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是|φ|ω（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx3．三點(diǎn)提醒（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為|φ|ω，而不是|φ|6．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A=M-m2，k=M+m2，ω由周期T確定，即由2π7．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2+2?1+cos2x2=32+22cos故答案為：32+22cos（這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最