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2025屆福建省福州市長(zhǎng)樂區(qū)長(zhǎng)樂高級(jí)中學(xué)高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.2.已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.3.設(shè)集合,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.6.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn),又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個(gè)照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時(shí),如圖:記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17647.已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面,那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()A. B. C. D.8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.9.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校共有師生1600人,其中教師有1000人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本,則抽取學(xué)生的人數(shù)為_____.14.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購買這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.15.若函數(shù)(R,)滿足,且的最小值等于,則ω的值為___________.16.某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人,高二年級(jí)有學(xué)生900人,高三年級(jí)有學(xué)生1500人,現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究,則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù),()有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(ⅰ)得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.19.(12分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.21.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.22.(10分)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,,若,,成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設(shè),設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫法的定義和三角形面積的計(jì)算,意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】
解對(duì)數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.6、A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理,考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析:通過對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知,只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn):三視圖8、C【解析】
畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.9、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,可得有解,令,則,對(duì)分類討論,得出時(shí),取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點(diǎn),即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.10、D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.11、D【解析】
先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,求出菱形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時(shí)有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡(jiǎn)單題目.12、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為,∴抽取學(xué)生的人數(shù)為6001.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.14、1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】
利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).16、1.【解析】
先求得高三學(xué)生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學(xué)生占的比例為,所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見解析;(3)【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:因?yàn)闀r(shí),所以,因?yàn)?所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn),由(1)可得時(shí),,即,故時(shí),,所以,由得,平方得,所以,因?yàn)?,所以在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn),綜上可知:函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).(3)記函數(shù),下面考察的符號(hào).求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)恒成立.當(dāng)時(shí),因?yàn)椋裕嘣谏虾愠闪?,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因?yàn)樵谏线B續(xù),所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的,使,∴,因?yàn)?所以∴因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時(shí),,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立.綜合(1)(2)知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零點(diǎn),從而求出函數(shù)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,利用公式計(jì)算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對(duì)稱性,求出對(duì)應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而得出分布列,之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據(jù)題意,可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機(jī)變量的分布列如下表所示:所以,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在解題時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)的周長(zhǎng)為,結(jié)合離心率,求出,即可求出方程;(2)設(shè),則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標(biāo),直接驗(yàn)證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)和三點(diǎn)共線,將點(diǎn)坐標(biāo)用表示,坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,的周長(zhǎng)為6,設(shè)橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設(shè),則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因?yàn)?,設(shè)所以,即.又因?yàn)槲挥谳S異側(cè),所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線,即應(yīng)與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論思想和計(jì)算求解能力,屬于較難題.20、(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】
(1)對(duì)求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到
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