2025屆北京市十二中高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析

2025屆北京市十二中高考臨考沖刺數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．2．“”是“函數(shù)的圖象關于直線對稱”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復平面內(nèi)點表示復數(shù)，則表示復數(shù)的點是（）A．E B．F C．G D．H4．已知角的終邊經(jīng)過點P()，則sin()=A． B． C． D．5．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或6．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．8．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．9．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．10．設是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．211．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________14．已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_______15．函數(shù)的定義域為__________．16．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若是的極值點，求的極大值；（2）求實數(shù)的范圍，使得恒成立.18．（12分）已知分別是的內(nèi)角的對邊，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面積．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的值．19．（12分）已知數(shù)列和滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．22．（10分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．（1）證明：AP∥平面EBD；（2）證明：BE⊥PC．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.2、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關于直線對稱的等價條件，得到，分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件．故選：A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學生邏輯推理，概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.3、C【解析】

由于在復平面內(nèi)點的坐標為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由，所以，對應點.故選：C【點睛】此題考查的是復數(shù)與復平面內(nèi)點的對就關系，復數(shù)的運算，屬于基礎題.4、A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知：，，則：本題選擇A選項.5、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據(jù)題意有，即，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.6、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質．7、B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調(diào)遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關系，可得，故選B．8、D【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設焦點為，，，∴.故選：D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質，兩點間的距離等基礎知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應用意識.9、D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.10、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.11、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于容易題.12、A【解析】

結合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先把零點問題轉化為方程問題，等價于有三個零點，兩側開方，可得，即有三個零點，再運用函數(shù)的單調(diào)性結合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點，即零點有，顯然，則有，可得，即有三個零點，不妨令，對于，函數(shù)單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解，對于函數(shù)，，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當時，，當時，，此時函數(shù)若有兩個零點，則有，綜上可知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)零點的零點，恰當?shù)拈_方，轉化為函數(shù)有零點問題，注意恰有三個零點條件的應用，根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍，屬于難題.14、【解析】

先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：【點睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎題.15、【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.16、【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質，熟練運算是關鍵，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）先對函數(shù)求導，結合極值存在的條件可求t，然后結合導數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可求極大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，構造函數(shù)g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，結合導數(shù)及函數(shù)的性質可求.【詳解】（1），x＞0，由題意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，當x＞2，0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故當x＝1時，函數(shù)取得極大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0時恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，則，（i）當t≥0時，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）當﹣2＜t＜0時，g（x）在（）上單調(diào)遞減，在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝t﹣1＜﹣1不合題意，舍去；（iii）當t＝﹣2時，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝﹣3不合題意；（iv）當t＜﹣2時，g（x）在（1，）上單調(diào)遞減，在（0，1），（）上單調(diào)遞增，此時g（1）＝t﹣1＜﹣3不合題意，綜上，t≥1時，f（x）≥2恒成立.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值，利用導數(shù)與函數(shù)的性質處理不等式的恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）由已知結合正弦定理先進行代換，然后結合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后結合三角形的面積公式可求；（Ⅲ）結合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）因為，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因為，所以；（Ⅲ）由于，．所以．【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．19、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，判斷出，由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）所以數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴為常數(shù)列，且，∴，∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關系式證明等比數(shù)列，考查裂項求和法，屬于中檔題.20、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，由得出或，分兩種情況討論，結合余弦定理解三角形，進行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，或，或，，，又，，即.①當時，即，則由，，得，則，此時，的面積為；②當時，則，即，則由，解得，，.綜上，的面積為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積的計算，涉及余弦定理解三角形的應用，考查計算能力，屬于中等題.21、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【點睛】本題主要考查根據(jù)的關系式求通項公式以及利用等比數(shù)列的前n項和公式求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.22、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）連結AC交BD于點O，連結OE，利用三角形中位線可得AP∥OE，從而可證AP∥平面EBD；（2）先證明BD⊥平面PCD，再證明PC⊥平面BDE，從而可證BE⊥PC．【詳解】證明：（1）連結AC交BD于點O，連結OE因為四邊形ABCD為平行四邊形∴O為AC