2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專題04 基本不等式及其應(yīng)用 （解析版）

專題04基本不等式及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.基本不等式

如果a>0方>0,那么而4厘，當(dāng)且僅當(dāng)。二人時(shí)，等號(hào)成立.其中，區(qū)生叫作。方的算術(shù)平均數(shù)，&

22

叫作G”的幾何平均數(shù).即正數(shù)。2的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,bcR,則/+〃2之為人，當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,bwR*,則巴也（或a+bN2>/^）,當(dāng)且僅當(dāng)。二〃時(shí)取等號(hào).

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧與總結(jié)】

L幾個(gè)重要的不等式

（Da2>0（izGR）,>[a>0（6r>0）,|f/|>0（6FGR）.

（2）基本不等式：如果凡bwRj則”之瘋（當(dāng)且僅當(dāng)“。=人”時(shí)取“三）

2

特例：—22;—+—之2同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①笳+從之（溝通兩和。+人與兩平方和CT+從的不等關(guān)系式）

2

②abW心方（溝通兩積ab與兩平方和cr+b2的不等關(guān)系式）

2

z?\2

③（溝通兩積次?與兩和。+人的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：拓《等《月譽(yù)（。力￡/?+）即

ab

調(diào)和平均值《幾何平均值《算數(shù)平均值0平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2,均值定理

已知A,yeR+.

/\2q2

（1）如果x+y=S（定值），則初V二二（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y"時(shí)取"="）.即"和為定值，積有最大值”.

<2/4

(2)如果孫=P(定值),則x+yN2而=2赤(當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：mx+—>2y[mn(fn>0,n>0)?當(dāng)且僅當(dāng)x=JE時(shí)等號(hào)成立；

模型二：/nx+——=m(x-a)+——+ma>2y[mn+fna(m>0,n>0)?當(dāng)且僅當(dāng)=J2時(shí)等號(hào)成立；

x-ax-aVm

模型三：—=—!—w/(\>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)吟歸時(shí)等號(hào)成立；

ax-+bx+c瑟+6+上24ac+bV。

x

班刑nn/、mx(n-mx)1,mx+n-mxn2、八八,斗門內(nèi)必〃m?生旦

模型四：x(n-mx)=---------<—?(----------)2=——(m>0,?>0,0<x<—)?當(dāng)且僅當(dāng)％=——時(shí)等萬

mtn24〃itn2m

成

立.

【題型歸納目錄】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

題型二：直接法求最值

題型三：常規(guī)湊配法求最值

題型四：消參法求最值

題型五：雙換元求最值

題型六：“1”的代換求最值

題型七：齊次化求最值

題型入：利用基本不等式證明不等式

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【典例例題】

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

例1.(2022.寧夏?銀川一中二模(理))下列不等式恒成立的是()

A.x+一22B.a+b>2\[ab

x

C.(學(xué))之^^D.a2+b2>2ab

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x<0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，a+bN2而成立的條件為口20力之0,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)a=-1/（）時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，lhfa2+b2-2ab=（a-b）2>0,i^a2+b2>2ab?正確.

故選：D

例2.（2022?黑龍江?哈九中三模（理））已知x,y都是正數(shù)，且行乙則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

A.B.—+—>2

2'yx

C.^~<向D.xy+^->2

x+yxy

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式判斷.

【詳解】

x,y都是正數(shù)，

由基本不等式，中之而，上+土之2,至石苧=而，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)％=^時(shí)等號(hào)成

2xyx+y2Qxy

立，而題中工工九因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；

孫+,22中當(dāng)且僅當(dāng)孫=1時(shí)取等號(hào)，如x=[y=2即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立.

xy2

故選：D.

例3.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A8上，且。尸設(shè)AC=a,BC=b,

則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.>0)B.?2+/?2>2\[ab(a>0,b>0)

C.^-<4ah（a>0,h>0）D.等/>o)

a+b

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)AC"得到。。=一，在直角中,利用勾股定理，求得尸G苧'

結(jié)合尸OWFC,即可求解.

【詳解】

設(shè)AC=a,BC=6,可得圓。的半徑為r=O尸

22

又由OC=OB-5C=上一8=i,

22

在直角AOCF中，可得FC?=OC2+OFi=（生土尸+（"2尸=,

222

因?yàn)槭琌WFC,所以等當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)取等號(hào).

故選：D.

例4.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））下列不等式中一定成立的是（）

'?￡>1(XWR)

B.sinx+——>2(x^k7r,keZ)

sinx

C.Infx2+^-J>Inx(x>0)

D.x2+1>2|A](xeR)

【答案】D

【解析】

【分析】

由丁+1之1得出的范圍可判斷A：利用基本不等式求最值注意滿足.正二定三相等可判斷B；作差比較

與”的大小可判斷c；作差比較_?_1與2國(guó)的大小可判斷D.

【詳解】

所以。（號(hào),

因?yàn)閤eR,所以/+121故A錯(cuò)誤;

sinx+」一N2只有在sinx>0時(shí)才成立，故B錯(cuò)誤;

sinx

因?yàn)?卜一;jzo,所以爐+：之工，所以ln—+；>inx,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)楦?]_2崗=（兇一ifNO,所以』+整2兇，故D正確.

故選：D

（多選題）例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為6的是（）

A.y=\nx+—B.y=6|sin.v|4-3

Inx2|sinx|

X2+25

C.y=3A+32-r

D.y=-T==

VX2+16

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).

【詳解】

o

解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)xe（0,l）時(shí)，lnx<U,此時(shí)lnx+—<0,故A不止確.

Inx

33

22d=6,當(dāng)且僅當(dāng)6卜出乂=:不一，即而R=〈時(shí)取“="，故B正確.

對(duì)于B選項(xiàng),y=6|sinx|+-....：

,112|sinx|乙isin.x*!

對(duì)于C選項(xiàng),丁=3"32-'之2出^=6，當(dāng)且僅當(dāng)3T=32-3即x=l時(shí)取"=",故C正確.

y=1產(chǎn)6吧=&+16+—2=22次=6,

對(duì)于D選項(xiàng),

VX2+16VX2+16

當(dāng)且僅當(dāng)代+16=^==,即V=_7無解，故D不正確.

故選：BC.

（多選題）例6.（2022?江蘇.揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)。>0,人>0,下列結(jié)論中正確的是（）

A.（4+2人）（：+￡）之9B.cr+b2>2（a+b+\）

b-a2cr+trr-r

Cn.—4-->a+hDn.------>y/ab

aha+b

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

2=5+絲+以5+2

對(duì)于A選項(xiàng)，（

bab

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí).，等號(hào)成立，A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，取。=0=1,則/+從<2（〃+〃+1）,B錯(cuò);

所以，—+a+—+b^2a+2b,^—+—^a+b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；

abab

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?+從22"，則2（/+從）之/+從+皿=（。+人）2,

所以，上里之””=孚之而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，D對(duì).

a+b2（a+b）2

故選：ACD.

【方法技巧與總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

題型二：直接法求最值

例7.（2022.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））若實(shí)數(shù)小〃滿足。+6=1,則必的最大值為（）

A.2B.1C.；D.-

24

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式求解積的最大值.

【詳解】

Vab<，a+b=\,

,即abV，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=!時(shí)等號(hào)成立，

⑴42

???（嘰=：.

故選：D.

例8.（2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測(cè)（理））若x,y為實(shí)數(shù)，且x+2y=6,則3,+9'的最小值為（）

A.18B.27C.54D.90

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得答案.

【詳解】

由題意可得3,+9,=3、+32y>2\lr^=2x27=54,

當(dāng)且僅當(dāng)3、=32,時(shí)，即％=2），等號(hào)成立.

故選：C.

例9.（2022?河南河南?三模（理））己知二次函數(shù)，（力=奴2+標(biāo)+。（xeR）的值域?yàn)椋?,+8）,則J+：的

最小值為（）

A.TB.4C.8D.-8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)的值域求得的=1，結(jié)合基本不等式求得3的最小值.

ca

【詳解】

由于二次函數(shù)了（力=加+2^+。（xeR）的值域?yàn)椋?,+8）,

fa>0

所以《A4/八，所以"=l,C>0,

A=4-4ac=0

所以*之2、眨=4,

ca\ca

14I

當(dāng)且僅當(dāng)上=二即4=2,c=：時(shí)等號(hào)成立.

ca2

故選：B

例10.（2022?湖北十堰?三模）函數(shù)/（力=16'!+9的最小值為（）

A.4B.2S/5C.3D.4^2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用不等式性質(zhì)以及基本不等式求解.

【詳解】

因?yàn)棰?卜2停=2x2'，當(dāng)且僅當(dāng)⑹=/，即工=0時(shí)等號(hào)成立，

2x2'+白=2x2'+1之2"=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x2，=,，即％=0時(shí)等號(hào)成立,

所以""）的最小值為4.

故選：A

（多選題）例11.（2022?廣東?汕頭市潮陽(yáng)區(qū)河溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知。，b是兩個(gè)正數(shù)，4是2“與16A的

等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（)

A.而的最小值是IB.而的最大值是I

I|9D的最大值是羨

c￡+%的最小值是I

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)整理得〃+41,直接由基本不等式可得而的最大值，可判斷AB；由+砌/開

后使用基本不等式可判斷CD.

【詳解】

因?yàn)?a」6&=42,所以21r2=24，

所以a+助=4..2屈，可得她,1,當(dāng)且僅當(dāng)4時(shí)等號(hào)成立,

所以的最大值為I,故A錯(cuò)誤，B正確.

110

故/Z的最小值為“無最大值，故C衛(wèi)確，D錯(cuò)誤.

故選：BC

例12.（2022?四川?廣安二中二模（文））若a,bwR.,且2+b=l,則”的最大值是,

aa

【答案】^##0.5.

【解析】

【分析】

利用基本不等式可直接求得結(jié)果.

【詳解】

vab&R*,>0,b>0,:.—+b=\>

yaa

即（當(dāng)且僅當(dāng)十血即V時(shí)取等號(hào)）,

弓弓’艮吟的最大值為幺

故答案為:

例13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)“、y滿足“+；=2,則上的最小值是___________.

4yx

【答案】7

4

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求得上的最小值.

x

【詳解】

因?yàn)閄、y為正數(shù)，由基本不等式可得2=X+，-22,國(guó)=、但，所以，上之5，

4yV4yyyx4

4xy=\

當(dāng)且僅當(dāng)|,1）時(shí)，即當(dāng)x=4y=l時(shí)，等號(hào)成立，故￡的最小值為工

x+—=2x4

4y

故答案為：--.

4

【方法技巧與總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））若-ivxvl,則廣廠一21+2有（）

2x-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】

【分析】

將給定函數(shù)化簡(jiǎn)變形，再利用均值不等式求解即得.

【詳解】

因T<xvl,則0<l-X<2,

于是得y=±l=—=當(dāng)且僅當(dāng)1-%=」一，即x=0時(shí)取

2l-x2]-x2V\-x1-x

“一=，，,

所以當(dāng)工=0時(shí)，-="2124：2有最大值-]

故選：A

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=3x+—L（x>l）的最小值是（）

x-1

A.4B.25/3-3

C.2萬D.2萬+3

【答案】D

【解析】

由y=3（x-l）+￡+3,利用基本不等式求最小值即可.

【詳解】

因?yàn)槿?gt;1,所以y=3（x—l）n----卜3之2、［（工-l）x+3=2\/^+3,當(dāng)且僅當(dāng)3（x—1）=,U|J

X-1\X-1X—1

X=1+立時(shí)等號(hào)成立.

3

所以函數(shù)y=3%+—^（XAI）的最小值是2石+3.

x-1

故選；D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若x>0,y>0^.x+y=xyt則」+々的最小值為（）

x-Iy-1

A.3B.1+\/6C.3+?D.3+2及

【答案】D

【解析】

【分析】

利用給定條件確定變形一1十工彳并借助均值不等式求解即得.

x-ly-\

【詳解】

因x>0,y>0^x+y=xy,則召=x+j>y,即有x>l,同理y>l,

由1+,=孫得：（x-lXy-D=i,

￡!

于是得一7+々=1+-^+2+義=3+（-~;+2）23+2^^^=3+2夜，

x-ly-\x-lj-1x-ly-1yx-lj-1

當(dāng)且僅當(dāng)」7=二7,即x=l+立,y=l+&時(shí)取“=”，

x-ly-12

所以^^+后1的最小值為3+2JI.

故選：D

例17.(2022?上海?高三專題練習(xí))若x>l,則函數(shù)y="的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】

由尸/7+1=1+-!-+1，及%>1,利用基本不等式可求出最小值.

X-]X-1

【詳解】

由題意，/7+l=《-2X+1)安-1)+14上1國(guó)土1也=_]+，+],

x-1x-1x-1x-1

因?yàn)獒?gt;1,所以)，=%-1+」一+122)(1-1)—!-+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-l=」7,即X=2時(shí)等號(hào)成立.

x-1Vx-1x-\

所以函數(shù)-”+1的最小值為3.

x-1

故答案為：3.

例18.(2021?江蘇?常州市北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))己知到=1,且0<y<g,則舌蒜■最大值為

【答案】*

【解析】

【分析】

111y______!______

由孫=1且0<y<；,可得y=：(x>2),可得A4)，>0,再將JT言化為S45)18后利用基本不

等式求解即可.

【詳解】

114

解：由不，=1且0vy<一,可得y=-(x>2),代入x_4y=x__>0,

2xx

4_4y_1_4)，_______1______〈________1________夜

又3+16]—+8盯一*_4y)+上一?.上一三，

x-4y寸x-4y

Q

當(dāng)且僅當(dāng)％—4丁二^-,即x—4)，=2&,

又孫=1,可得]=近+?，)，="_應(yīng)時(shí),不等式取等，

4

即x：+常16y2的最大值為8名,

故答案為：烏.

8

例19.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)求函數(shù))，=4+'7(%>1)的最小值及此時(shí)x的值；

X—1

(2)已知函數(shù)y=*+5”+M),xe(-2,收)，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值.

'x+2

【答案】(1)函數(shù)y的最小值為5,此時(shí)“3；(2)函數(shù)y的最小值為5,此時(shí)x=0.

【解析】

(1)My=x+—=x-l+—+1,利用基本不等式求解即可：(2)令f=x+2(/>0),將x=i-2代入

x-\x-\

4

整理得y=r+—+l，利用基本不等式求解即可；

t

【詳解】

(1)Vx>l,

44I4―

y=x+-----=x-\+----+1>2.(x-1)----+1=4+1=5?

x-1x-1T7x-1

4

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=——即x=3時(shí)，等號(hào)成立.

X-1

故函數(shù)y的最小值為5,此時(shí)x=3：

(2)令f=x+2(f>0),

將x="2代入得：

24

_(Z2)+5(/-2)+10+7+

V/>0,

4

y=/+—+1>4-1=44-1=5,

4

當(dāng)且僅當(dāng)￡=上，

t

4

即x+2=-^-,

x+2

即x=0時(shí)，等號(hào)成立.

故函數(shù)y的最小值為5,此時(shí)x=o.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用基本不等式求最值的問題.屬于中檔題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2.注意驗(yàn)證取得條件.

題型囚：消參法求最值

例20.（2022.浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）若直線雙-勿-3=0（a>0/>0）過點(diǎn)（1,-1）,則。7T+標(biāo)I的最大值

為.

【答案】2百

【解析】

【分析】

將點(diǎn)（LT）代入直線方程可得。+方=3,將而T+振工I平方，結(jié)合均值不等式可得答案.

【詳解】

直線權(quán)一分—3=0過點(diǎn)則。+〃=3

又a>0力>0,設(shè),=L+I+J6+2,則/>0

t2=a+\+h+2+2J（4+l）（〃+2）=6+2J（a+1）（力+2）

由（。+1）（6+2）《（竺等上2=9,當(dāng)且僅當(dāng)〃+1=6+2,即。=2力=1時(shí)等號(hào)成立.

所以*=6+2j（a+l）（匕+2）412,即

所以&TT+⑨工的最大值為26，當(dāng)且僅當(dāng)。=2,6=1時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：26

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)”,z滿足/一3孫+4y2—z=0,則當(dāng)&取得最大值時(shí)，

z

2I2

一+----的最大值為（）

xyz

9

A.0B.3C.-D.1

4

【答案】D

【解析】

【分析】

xy_1

利用犬-39+4y2-=0可得工=二+”_3,根據(jù)基本不等式最值成立的條件可得x=2y,z=2），2,代入

yx

212

一+—+—可得關(guān)于y的二次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可.

xyz

【詳解】

由正實(shí)數(shù)”,y?z滿足f-3孫+4y2_z=0,

/.z=x2-3xy+4y2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y>0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z=2r.

2122121

——=—+一一0二一（一一i）2+L，i,當(dāng)且僅當(dāng)y=i時(shí)取等號(hào)，

xyz2yy2yy

212

即一+--一的最大值是1.

xyz

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了最值取得時(shí)等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)內(nèi)匕滿足"+2。—2=0,則3+〃的最小值是（）

A.2B.442-2C.462D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)"+2。-2=0變形得。=三，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為公+八三十匕，

b+2b+2

用湊配方式得出搐+S+2）-2,再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

2

由"+2。-2=0,得〃="；--,

b+2

OO/O

所以44+6=，一+。=，一+（6+2）-2..2］，一仍+2）-2=4&-2,

b+2。十2V。十2

當(dāng)且僅當(dāng)，￡=方+2,即。=立/=2&-2取等號(hào).

b+2b+22

故選：B.

例23.（2022.浙江.高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)〃，b滿足力+3。=加，則中的最大值為______.

ab-

【答案】g

【解析】

【分析】

b?b

由已知得〃=，，代入塔=—等口=-2+]=?2（!-工）2+；,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可

9b-3ab1bh2hhi.2

2b-3

求.

【詳解】

因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,6滿足H3a=2他,

所以『總

b

b+

a+b2b-322八

則(11「J

~a^~R廠(廠力+5'

2b-3

當(dāng)!=!，即b=2時(shí)取得最大值;.

b22

故答案為：,j.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：b+3a=2ab,可解出。，采用二元化一元的方法減少變量，轉(zhuǎn)化為■的一元二次函數(shù)，利用一元

b

二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

例24.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）若%,ywR+,*->）2=（劃兒則,+’的最小值為

xy

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)題中所給等式可化為d」）2=個(gè)，再通過平方關(guān)系將其與聯(lián)系起來，運(yùn)用基本不等式求解最小

值即可.

【詳解】

因?yàn)閍-y）?=（個(gè)了且x,ywR二則兩邊同除以（xyf,得（一一3：孫，

yx

又因?yàn)閐+，）2=d-++4-!-=到+4,221.4-!-=4,當(dāng)且僅當(dāng)孫=4，，即％=2+四,丁=2-立時(shí)

xyyxx）,xy\9

等號(hào)成立，所以，+，24=2.

xy

故答案為:2

22

例25.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）^a>^b>0Aa+b-2ab=2f則手斗的取值范圍是__________.

2a+b

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可得h二（2〃+,）2―2>0,求得2a+b>Q,再將條件變形（2n+b）2=2+6"結(jié)合基本不等式可求

得0<2a+H2&，由此將半斗變形為6+采用換元法，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果.

2a+b612a+bJ

【詳解】

由題意a>0力>0,4°2+/一24匕=2得：ab=^2a+b)2~2>0，則2a+b>淄，

6

2

2a+b

又(2。+力)2=2+6ab<2+3x|，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=&時(shí)取等號(hào),

2

故0<2。十Z?K2&，故近<2a+b￡2近、

所“…以M京+Tl在1(.a+H,4

2a+b

令f=2a+b/e(&,2&],則/?)=；(，/),//(/)=1(1-A)=4^

6/6r6r

則當(dāng)、￡<f<2時(shí)，r(o<o,加)遞減，

當(dāng)2<Y2夜時(shí)，r(0>0,/⑴遞增,

故/⑺min=f(2)=:，而/(◎)=4，"2夜)=4，

故演嗚當(dāng)即瑞嗚爭(zhēng)

【方法技巧與總結(jié)】

消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題

過程中要注意“一正，二定，三相等“這三個(gè)條件缺一不可！

題型五：雙換元求最值

例26.（2022?浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)。>0,力>0,若/+〃一石時(shí)=],貝]?2一〃力的最大值為（）

A.3+石B.2百C.l+y/3D.2+君

【答案】D

【解析】

【分析】

法一：設(shè)c=a-b,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為已知/+d—島。=],求ac的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解

即可；

'土一小所左百212、HHI日業(yè)一缶十名一出J"=cose+6singa5乃國(guó)工日七也一缶？混旦

法..：由題知（°8了+—Zr=1進(jìn)而根據(jù)二角換兀得｛.,（0<^<--）,再根據(jù)二角函數(shù)最

值求解即可.

【詳解】

解：法一：（基本不等式）

2

設(shè)c=6a-b，W'Jyfia-ab=a（\f3a-b）=acf

條件a2+b2-6ab=1<=>a2+c2-y/5ac=1，

所以75訛+1=/+°2224，即〃cY2+石.

故選：D.

法二：（三角換元）由條件5-也加2+_[/=],

24

a------b=cos0

故可設(shè)《ja=cos6+。3sin0

力=2sin。

—=sin6

2

,十八,八jcos?+百sin6>0?口c八5兀

由于a>0,Z?>0,故｛,解得Ov〃v二

2sin6>06

a=cos4-V3sin/八八5乃、

所以，,(0<^<—),

b=2s\n06

所以、怎2一而=石+2sin26K2+石，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

4

故選：D.

例27.（2022?天津南開?一模）若〃>0,b>0,c>0,a+b+c=2,則'7+土吆的最小值為______.

a+bc

【答案】2+2&

【解析】

【分析】

4a+b42

令2-。=6了=〃,（巾>0,〃>0）,則帆+〃=2,由此可將二：+土吆變形為二+±-1,結(jié)合基本不等式，即

a+bcinn

可求得答案。

【詳解】

由題意，。>0,b>0,c>0,。+b+c=2得：a+b=2-c,

設(shè)2-。=見。=〃,(機(jī)>0,〃>0),則〃?+〃=2,

工+小=±+三=-+2_1，+2

a+hc2-cc2—ccin

="&(±+2)_I=3+即+竺少2+2,叵1=2+2正，

2inntnn、inn

當(dāng)且僅當(dāng)>二2",即m=4-2x/5,〃=c=2>/^-2時(shí)取得等號(hào),

故‘T+S的最小值為2+2a，

a+bc

故答案為：2+2立

例28.(2022?天津市薊州區(qū)第一中學(xué)一模)已知x+y=l,y>0,x>0,則左的最小值為

【答案】7##1.25

4

【解析】

【詳解】

將x+y=i代入主鼎中,喈+忐++?哀+〉。,則原式=空品r筌需

=：(】+設(shè)曹H+TKi+2t)+含+u*da+2t)系T=￡當(dāng)且僅當(dāng)t=M即x

=|,y=l|H,取"=”.

例29.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知。>0">0,。+力=1,則h匚+」7取到最小值為.

【答窠】七羋.

【解析】

【詳解】

32+//=1

試題分析：a+2b=A(3a+4b)++3Z?)=(3Z+p)a+(4Z+3ju)b,/.{=>[,

4%+3〃=22

+砌+為+3西、+早些也+生當(dāng)

3a+劭a+3b3a+4ba+3b55553a+4〃a+3b

a+2b=\

〉3+工p(a+3b)3a=3+2夜

-5+5V3a+4b,a+3b~~5~當(dāng)且僅當(dāng)｛2(a+3b)3a+4b時(shí),等號(hào)成立,

3a+4ba+3b

即一!—+」一的最小值是史亞

3a+4ba+3b

考點(diǎn)：基本不等式求最值.

【思路點(diǎn)睛】用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式

求出最值.在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值：另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，

然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在月基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)

證等號(hào)成立的條件.

例30.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若且x+2y=l,則二十工\的最小值為__________

x+1y+2

【答案】7

O

【解析】

【分析】

令相=x+l,〃=y+2,可得m+2〃=6,化簡(jiǎn)可得'+—=—+--4,再結(jié)合基本不等式可求解.

x+1y+2ntn

【詳解】

令？n=x+l,〃=y+2,則x==〃-2,

則x+2y=〃?一l+2(〃-2)=l,Bpm+2n=6,

222

rIllx2y(zw-l)2(〃-2)218八

x+ly+2mnmn

181c8、)、，

=—H---47=1——+—(/n+2n)-4

inn6\mnJ

1/2〃Sin)if\2nSni|1

=-——+—+17-4>-2.------+17-4=-,

61陰n)61Vw?〃I6

當(dāng)且僅當(dāng)a=如，即機(jī)=&〃=?時(shí)等號(hào)成立，

mn55

故」7+工+的最小值為。.

x+ly+26

故答窠為：7-

6

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令m=*+l,〃=y+2,叱簡(jiǎn)得出三+^='+g-4

x+1y+2mn

利用基本不等式求解.

4x2y2

例31.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=2,則「+/_^的最小值是___________.

y+\2x+2

【答案】|4

【解析】

【詳解】

2222

根據(jù)題意，若"+），=2,則m4x+冊(cè)y(2-y),(2-2x)

y+l2(x+l)

22

[(y+i)-3][2[(X+I)-2]916916八

=(j+l)+-----+2(x+l)+--------14=------+T7-r-9；又由2x+y=2,

y+lx+1y+l2(x+l7)y+l2(x+l)人口」」

則有2（x+D+（y+D=5,則冬+盧=（白+王竺不）包”刊4