《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第3章

第3章恒定電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)3.1恒定電場(chǎng)的基本概念3.2恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件3.3恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬3.4磁場(chǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度3.5恒定磁場(chǎng)的基本方程3.6矢量磁位3.7磁偶極子3.8磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程3.9恒定磁場(chǎng)的邊界條件3.10標(biāo)量磁位3.11電感3.12恒定磁場(chǎng)的能量3.13磁場(chǎng)力

3.1恒定電場(chǎng)的基本概念

3.1.1電流強(qiáng)度和電流密度

電流是電場(chǎng)推動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，是產(chǎn)生磁場(chǎng)的原因。電流強(qiáng)度是描述電流強(qiáng)弱的物理量，電流密度是描述電流分布狀態(tài)的物理量。電流強(qiáng)度、電流密度與電場(chǎng)、磁場(chǎng)的大小及分布密切相關(guān)。

為描述電流的強(qiáng)弱，提出電流強(qiáng)度的概念,定義是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過某橫截面的電荷量稱為通過該橫截面的電流強(qiáng)度。

在導(dǎo)體中取一截面S，若在時(shí)間Δt內(nèi)流過該截面的總電荷為Δq，則通過該截面的電流強(qiáng)度定義為

(3-1)對(duì)恒定電流，式(3-1)可簡(jiǎn)化為(3-2)電流強(qiáng)度通常簡(jiǎn)稱為電流。電流強(qiáng)度是一個(gè)標(biāo)量，單位是A(安培)。線電流：在電路分析中總認(rèn)為電流沿著一根橫向尺寸可忽略的導(dǎo)線流動(dòng)，這種電流稱為線電流。對(duì)于線電流用電流強(qiáng)度來描述就足夠了。體電流：但當(dāng)導(dǎo)體的橫向尺寸不能忽略時(shí)，應(yīng)該認(rèn)為電流分布在整個(gè)導(dǎo)體的截面上，這種電流稱為體電流，如圖3-1所示。圖3-1體電流密度圖3-2面電流密度面電流：如果電流在一個(gè)厚度可忽略的導(dǎo)體表面上流動(dòng)，則稱之為面電流，如圖3-2所示。對(duì)于體電流和面電流，電流強(qiáng)度不能確切地描述電流在導(dǎo)體中的分布情況，故引入電流密度。設(shè)n表示導(dǎo)體中r(r為坐標(biāo)o點(diǎn)到所討論的電荷所在點(diǎn)的矢徑)處正電荷運(yùn)動(dòng)的方向,取垂直與n的小面積元ΔS，通過ΔS的電流為ΔI,則定義

(3-3)為r處的體電流密度，體電流密度的單位是A/m2(安培/平方米),流過截面S的電流就是J對(duì)S的通量，即(3-4)如果所取的面積元的法線方向n與電流方向不平行，而成任意角θ，如圖3-1(b)所示，則通過該面積的電流是所以通過導(dǎo)體中任意截面S的電流強(qiáng)度為

對(duì)于面電流，以n(r)表示曲面上r處正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，取一與n(r)垂直的線元Δl，通過Δl的電流為ΔI，則定義(3-5)為r處的面電流密度，面電流密度的單位是A/m(安培/米)。一般情況下，通過任意一段曲線l的面電流為(3-6)與上述傳導(dǎo)電流概念對(duì)應(yīng)的運(yùn)流電流，它是在氣態(tài)媒質(zhì)中形成的電流。運(yùn)流電流密度可表示為(3-7)式中，ρ為討論點(diǎn)的電荷密度，V為電荷運(yùn)動(dòng)速度。

例3-1

導(dǎo)體表面有JS=yex+xey(A/m)的面電流分布，試計(jì)算通過點(diǎn)M(3，2)與點(diǎn)N(5，3)之間的面電流Is。

解通過點(diǎn)M和N兩點(diǎn)的直線方程為y=1/2(x+1)。

通過點(diǎn)M和N兩點(diǎn)的直線上的線元矢量dl=ndl，其中，線元矢量方向的單位矢n和長(zhǎng)度dl分別為

因此將其代入有3.1.2歐姆定律和焦耳定律

導(dǎo)體內(nèi)電流是由電場(chǎng)引起的，因而，電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E之間必然存在著某種聯(lián)系，形式上表示為J=J(E)，具體的函數(shù)形式由導(dǎo)體的特性決定。工程中常遇到的導(dǎo)體的特點(diǎn)是：當(dāng)E=0時(shí)，J=0；當(dāng)時(shí)J≠0，J與E同方向，且在一個(gè)很寬的數(shù)值范圍內(nèi)，J與E成正比，因而，二者之間的函數(shù)關(guān)系可寫為

J=σE

(3-8)

式中的比例系數(shù)σ稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，單位為S/m，其值由導(dǎo)體的性質(zhì)決定。如果在導(dǎo)體中σ不隨坐標(biāo)而變，則稱為均勻?qū)w，否則稱為非均勻?qū)w。通常，σ隨溫度而變，但在常溫范圍內(nèi)這一變化可以忽略。表3-1給出了幾種常用金屬導(dǎo)體在常溫下的電導(dǎo)率。在電流場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可由式(3-8)表示，稱式(3-8)為歐姆定律的微分形式，與之相應(yīng)的積分形式是在電路分析中的歐姆定律。

U=IR

(3-9)

式中，U為加在導(dǎo)體兩端的電壓，I為通過導(dǎo)體的電流，R為導(dǎo)體的電阻。值得說明的是，導(dǎo)體材料的電阻率ρ與電導(dǎo)率σ互為倒數(shù)，即ρ=1/σ。需要說明的是，在微分形式的歐姆定律中，J和E描述的是同一點(diǎn)的量，表述的是同一點(diǎn)上J與E的函數(shù)關(guān)系；而在積分形式的歐姆定律中，電壓U與電流I描述的是整個(gè)系統(tǒng)中的總量。表述的是在整個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的區(qū)域中總電壓U與總電流I間的函數(shù)關(guān)系。在導(dǎo)體中，電場(chǎng)力推動(dòng)電子運(yùn)動(dòng)使其獲得動(dòng)能，而電子在運(yùn)動(dòng)的過程中又不斷地與晶格點(diǎn)陣上的原子碰撞，把獲得的能量傳遞給原子，使晶格點(diǎn)陣的熱運(yùn)動(dòng)加劇，導(dǎo)體溫度升高，這就是電流的熱效應(yīng)，這種由電能轉(zhuǎn)換來的熱能稱為焦耳熱。由于導(dǎo)體在傳導(dǎo)電流的過程中消耗電能，故稱導(dǎo)體為有耗媒質(zhì)。一般說來，在導(dǎo)體內(nèi)不同點(diǎn)處產(chǎn)生焦耳熱的多少不同，從而形成一種損耗分布，通常，用焦耳定律的微分形式描述這種分布，推導(dǎo)如下：在固態(tài)導(dǎo)體中取一長(zhǎng)為Δl，橫截面積為ΔS的體積元ΔV=ΔlΔS，因?yàn)殡娏魇呛愣ǖ?，故在Δt時(shí)間內(nèi)從體積元一端流入ΔV的電量等于從另一端流出的電量，設(shè)該電量為Δq，在電荷流動(dòng)的過程中，電場(chǎng)力做的功就是把Δq由一端移到另一端所做的功，其值為

ΔW=ΔqEΔl式中，E為體積元ΔV內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度，由于ΔV很小，故可視E為常數(shù)，因而，體積元ΔV內(nèi)消耗的功率為

式中，ΔI是通過體積元截面ΔS的電流。當(dāng)ΔV→0時(shí)，上式變?yōu)?/p>

P便是電場(chǎng)中任意一點(diǎn)處單位體積內(nèi)的消耗功率，稱為損耗功率密度。在各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E方向一致，故上式可寫為(3-10)損耗功率密度的單位為W/m3。式(3-10)就是焦耳定律的微分形式。無論是對(duì)于恒定電流還是對(duì)于時(shí)變電流，焦耳定律都是成立的，對(duì)于體積為V的有耗媒質(zhì)，其總的損耗功率為(3-11)例如，對(duì)于長(zhǎng)為l，橫截面積為S的一段導(dǎo)線，上式可寫為(3-12)這便是電路中常見的焦耳定律，是焦耳定律的積分表述形式。應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因?yàn)閷?duì)于運(yùn)流電流而言，電場(chǎng)力對(duì)電荷所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭?dòng)能，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.3電流連續(xù)性方程、恒定電場(chǎng)的散度

在電流密度為J的空間里任取一閉合曲面S，由電荷守恒定律得知，通過該閉合面的凈電流等于單位時(shí)間內(nèi)曲面所包圍的體積V中電荷的減少量，用數(shù)學(xué)式表示為

(3-13)該式為電流連續(xù)性方程的積分形式。因?yàn)樯鲜接叶说姆e分是對(duì)坐標(biāo)變量進(jìn)行的，而微分是對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行的，它們是相互獨(dú)立的變量，故積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的順序可以交換，且在一般情況下電荷密度ρ是空間位置r和時(shí)間t的函數(shù)，因而式(3-13)可改寫為

對(duì)上式左端應(yīng)用高斯散度定理可將其改寫為由于封閉曲面S是任意選取的，因而它所包圍的體積V也是任意的，對(duì)于在任意體積上的積分為零的條件是被積函數(shù)恒為零，故有或(3-14)這便是電流連續(xù)性方程的微分形式。對(duì)于恒定電流而言，電流強(qiáng)度是不隨時(shí)間變化的，區(qū)域內(nèi)的電荷分布也是恒定的，因而，任意閉合曲面S內(nèi)的電荷量是不隨時(shí)間變化的，即有。恒定電流連續(xù)性方程的積分和微分形式可在式(3-13)和式(3-14)的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化為(3-15)(3-16)式(3-15)表明，單位時(shí)間內(nèi)流入任意一閉合曲面的電荷量等于從該閉合面流出的電荷量，與之相應(yīng)的情景是；恒定電流的電流線是閉合曲線。式(3-16)表明，在導(dǎo)體中的任一點(diǎn)，流入該點(diǎn)的電流一定等于從該點(diǎn)流出的電流，即恒定電流場(chǎng)是一個(gè)無源場(chǎng)(無源場(chǎng)的特定含義是指無散度源，無散度源的場(chǎng)可以有渦旋源，也可以無渦旋源)。將歐姆定律的微分形式J=σE代入式(3-15)和式(3-16)，同時(shí)假設(shè)導(dǎo)體是均勻媒質(zhì)，則有

(3-17)(3-18)恒定電流是指分布達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后的電流，而在建立恒定電流的過程中必然要經(jīng)過一段非穩(wěn)定的暫態(tài)過程，電流由非穩(wěn)定狀態(tài)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過程稱為弛豫過程。這一過程所經(jīng)歷的時(shí)間成為弛豫時(shí)間。弛豫時(shí)間的長(zhǎng)短由導(dǎo)電媒質(zhì)的電參量決定。弛豫過程可由電流的連續(xù)性方程描述，弛豫時(shí)間也可在描述弛豫過程中給出。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)是電導(dǎo)率為σ，介電常數(shù)為ε的均勻媒質(zhì)，將

代入式(3-14)得

設(shè)t=0的起始時(shí)刻討論點(diǎn)的電荷密度為ρ0，則有從而得到t時(shí)刻該點(diǎn)的電荷密度(3-19)式中，τ=ε/σ具有時(shí)間的量綱，稱為該導(dǎo)電媒質(zhì)的弛豫時(shí)間，單位是s(秒)，它表示某點(diǎn)的電荷密度達(dá)到起始值的e－1≈0.368倍時(shí)所需要的時(shí)間。在實(shí)際問題中，只要經(jīng)過幾個(gè)τ的時(shí)間便認(rèn)為導(dǎo)電媒質(zhì)中的電荷分布由非穩(wěn)定狀態(tài)達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)，這時(shí)的電流便是恒定電流。對(duì)于金屬導(dǎo)體而言，這一時(shí)間是很短暫的，比如銅，τ=1.5×10－19s。3.1.4電動(dòng)勢(shì)、恒定電場(chǎng)的旋度

圖3-3為一接有電源的導(dǎo)體導(dǎo)線。我們知道，導(dǎo)體中有恒定電流I，這個(gè)電流是導(dǎo)體中的恒定電場(chǎng)移動(dòng)電荷形成的。電源的正極A聚集著正電荷，而電源的負(fù)極B聚集有負(fù)電荷，假設(shè)電場(chǎng)將電源正極A上的一個(gè)電荷q通過導(dǎo)體搬到電源的負(fù)極B端，由于電源正極A端少了一個(gè)電荷，這將導(dǎo)致電源兩端的電壓下降，故導(dǎo)體中的電流會(huì)變化，這樣看來，似乎導(dǎo)體中的電流是不恒定的。事實(shí)上導(dǎo)體中的電流是恒定的，這是因?yàn)椋陔娫磧?nèi)，除了有電源的正極的電荷與電源的負(fù)極的電荷形成的電場(chǎng)E外，還有一個(gè)與E方向相反的電場(chǎng)E′，且有E′>E。正是這個(gè)電場(chǎng)E′會(huì)將電場(chǎng)E從電源正極A上搬到電源的負(fù)極B端的電荷q通過電源內(nèi)搬到電源的A端，維持電源兩端電壓穩(wěn)定和導(dǎo)體中的電流恒定。而這一過程是靠消耗電源內(nèi)部的能量完成的。圖3-3電源電動(dòng)勢(shì)為了定量描述電源的特性，引入電動(dòng)勢(shì)這一物理量。電場(chǎng)力移動(dòng)電荷形成電流做功，電場(chǎng)將電荷q由電源的A極通過導(dǎo)體移動(dòng)到B極，再由B極經(jīng)電源內(nèi)部移動(dòng)到A極所做的功為

(3-20)對(duì)于恒定電流而言與之相應(yīng)的電場(chǎng)E是庫(kù)侖場(chǎng)，它是不隨時(shí)間變化的恒定電場(chǎng)，它是由不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的(電荷的分布雖然是不平衡的但卻是穩(wěn)定的，電荷的分布不隨時(shí)間變化)，因而認(rèn)為恒定電場(chǎng)的性質(zhì)與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的性質(zhì)相同，即有(3-21)式中的積分路線l是指電源之內(nèi)或電源之外的任意閉合回路。而電源內(nèi)的電場(chǎng)E′為非庫(kù)侖場(chǎng)(非守恒場(chǎng))，將式(3-21)代入式(3-20)得

而電源電動(dòng)勢(shì)定義是：電源內(nèi)部的場(chǎng)E′將單位正電荷從電源的負(fù)極搬運(yùn)到正極電場(chǎng)力所做的功，以ε表示，數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-22)電動(dòng)勢(shì)的單位是V(伏特)。事實(shí)上，電源的電動(dòng)勢(shì)也可以用總電場(chǎng)(庫(kù)侖場(chǎng)與非庫(kù)侖場(chǎng)之和)的回路積分表示，分析如下：考慮到電源之外的導(dǎo)體中非庫(kù)侖場(chǎng)E′=0，同時(shí)考慮到庫(kù)侖場(chǎng)E的閉合回路積分式(3-21)為零，則電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式(3-22)可改寫為(3-23)式中，l指通過電源內(nèi)再通過外導(dǎo)體構(gòu)成的總體回路。由此可見，電動(dòng)勢(shì)又可理解為：搬運(yùn)單位正電荷繞總體回路一周電場(chǎng)力所做的功(這里的電場(chǎng)指庫(kù)侖場(chǎng)與非庫(kù)侖場(chǎng)的總電場(chǎng))。該定義的特點(diǎn)是用總電場(chǎng)(通常不加特殊說明的電場(chǎng)指的就是總電場(chǎng))表述電動(dòng)勢(shì)，而不必小心區(qū)分電場(chǎng)是指庫(kù)侖場(chǎng)還是非庫(kù)侖場(chǎng)。式(3-21)已經(jīng)表明恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)同樣都是守恒場(chǎng)，它的環(huán)量為零，對(duì)式(3-21)左端應(yīng)用斯托克斯定理，得相應(yīng)的微分形式為(3-24)這就是恒定電場(chǎng)的旋度。可見恒定電場(chǎng)的旋度處處為零。

3.2恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

3.2.1基本方程

前一節(jié)已對(duì)恒定電場(chǎng)的性質(zhì)及遵從的基本規(guī)律作了討論，已經(jīng)給出了導(dǎo)電媒質(zhì)中電流和電場(chǎng)強(qiáng)度(不包括電源)的基本方程，為清楚起見，歸納于下。

恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式為

(3-25)

與其相應(yīng)的微分形式為(3-26)以上各式中，電流密度J與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=σE。以上的電場(chǎng)是指庫(kù)侖場(chǎng)，因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中，非庫(kù)侖場(chǎng)為零。在研究恒定電場(chǎng)時(shí)，除依據(jù)上述的基本方程外，還可引入輔助位函數(shù)，即電位函數(shù)j對(duì)其進(jìn)行討論。電位函數(shù)是這樣引入的；對(duì)于恒定電場(chǎng)而言，×E=0，因而可依據(jù)矢量恒等式引入標(biāo)量位函數(shù)j，而E=－j，故有可知，在電源之外的均勻?qū)w中，電位函數(shù)j滿足拉普拉斯方程，即

(3-27)討論電源之外的導(dǎo)體中的恒定電場(chǎng)只是問題的一個(gè)方面，問題的另一個(gè)方面是，分布于導(dǎo)體上的恒定電荷在導(dǎo)體之外的介質(zhì)中也會(huì)產(chǎn)生恒定電場(chǎng)，由于該電場(chǎng)由不隨時(shí)間變化的恒定電荷產(chǎn)生，因而有理由認(rèn)為它所遵從的規(guī)律與靜電荷在介質(zhì)中產(chǎn)生的靜電場(chǎng)相同，故在導(dǎo)體之外的介質(zhì)中恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式和微分形式分別為(3-28)

(3-29)式中

D=εE

3.2.2邊界條件

在通過兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的邊界面時(shí)，由于媒質(zhì)的不連續(xù)性導(dǎo)致恒定電場(chǎng)E和電流密度J發(fā)生變化，其變化規(guī)律用恒定電場(chǎng)的邊界條件描述，而邊界條件可由恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式(3-25)導(dǎo)出，推導(dǎo)方法與靜電場(chǎng)中推導(dǎo)靜電場(chǎng)邊界條件式的方法相同，這里不再推導(dǎo)。可直接將恒定電場(chǎng)的邊界條件歸納如下：

(3-30)相應(yīng)的矢量形式為(3-31)式(3-30)和式(3-31)的第一個(gè)方程表明，電流密度J的法向分量Jn在邊界面上是連續(xù)的；第二個(gè)方程表明，恒定電場(chǎng)強(qiáng)度E的切向分量Et在邊界面上也是連續(xù)的，反言之，由于在邊界面兩側(cè)En=Jn/σ和Jt=σEt均成立，且界面兩側(cè)的電導(dǎo)率σ1≠σ2，因而可知，在邊界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量En和電流密度的切向分量Jt是不連續(xù)的，即

將上式與式(3-30)一并考慮可知，電場(chǎng)強(qiáng)度E和電流密度J在邊界面上都是不連續(xù)的，界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電流密度J無論是大小還是方向均不相同，即E1≠E2，J1≠J2。由式(3-30)還可導(dǎo)出邊界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度與其界面的法線夾角θ1和θ2的關(guān)系，如圖3-4所示。圖中，θ1和θ2分別是J1(E1)、J2(E2)與界面法向的夾角。將式(3-30)中的第一個(gè)方程寫為

σ1E1n=σ2E2n

進(jìn)而寫為

(3-32)式(3-30)中的第二個(gè)方程可寫為(3-33)兩式相除有(3-34)圖3-4邊界條件這表明分界面上電流線和電力線發(fā)生曲折。由式(3-34)可以看出，當(dāng)σ1σ2，則θ1>>θ2，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時(shí)，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時(shí)，只要θ1≠π/2，θ2總是很小，即在不良導(dǎo)體中，電力線和電流線近似地與良導(dǎo)體表面垂直。這樣，可以將良導(dǎo)體的表面看做等位面。

另外，當(dāng)有電流通過媒質(zhì)界面時(shí)，界面上會(huì)有面電荷堆積，其面密度為

(3-35)在3.1節(jié)中曾對(duì)恒定電場(chǎng)引入了電位函數(shù)j，以j表示的邊界條件為(3-36)例3-2

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖3-5所示，求同軸線間單位長(zhǎng)度的漏電電阻R。

解媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r，單位長(zhǎng)度的圓柱面的漏電電流為I(電流的方向?yàn)閺较?，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度為

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為圖3-5同軸線橫截面漏電阻為

例3-3

某導(dǎo)電媒質(zhì)中給定時(shí)刻的電流密度為J=M(x3ex+y3ey+z3ez)，式中M是大于零的常數(shù)。

(1)若給定長(zhǎng)度的單位為m，試確定M的單位；

(2)求此時(shí)在點(diǎn)(2，－1，4)處電荷的變化率。解

(1)依據(jù)J的單位為A/m2得知M的單位應(yīng)為A/m5；

(2)在點(diǎn)(2，－1，4)處電荷的變化率例3-4

內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c的無限長(zhǎng)同軸線內(nèi)填充兩種導(dǎo)電媒質(zhì)，其介電常數(shù)分別為ε1和ε2，導(dǎo)電率分別為σ1和σ2，兩導(dǎo)電媒質(zhì)分界面為r=b的圓柱面。若在內(nèi)外導(dǎo)體間加恒定電壓U。試求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E，電流密度J以及r=b界面上的自由面電荷密度ρS。

解設(shè)加電壓U后，內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的帶電量為ρl；由于加電壓U后有沿著徑向的漏電流，故在r=b的界面上有自由面電荷分布，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，故自由面電荷的分布是均勻的。設(shè)r=b柱面單位長(zhǎng)度上的總電量為ρlb，根據(jù)高斯定理可知內(nèi)、外導(dǎo)體間電場(chǎng)強(qiáng)度的形式解為

當(dāng)r=b時(shí)，邊界條件J1n=J2n成立，在此題中即有J1=J2，亦即σ1E1=σ2E2。將上述r=b時(shí)的E1和E2代入可得內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓所以代入電場(chǎng)強(qiáng)度的形式解中，并注意到，得

依據(jù)J=σE，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度的數(shù)學(xué)表示式為依據(jù)式(3-35)，r=b面上的自由面電荷密度為

3.3恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

如果把導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)與電介質(zhì)中(ρ=0區(qū)域)的靜電場(chǎng)比較便會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩種場(chǎng)的基本方程及遵從的邊界條件在數(shù)學(xué)形式上完全一致，為比較起見，將它們寫于表3-2中。

由表3-2看出，兩種場(chǎng)的基本方程、導(dǎo)出方程和邊界條件在數(shù)學(xué)形式上是相同的；J與D，σ與ε在兩組方程中所處的地位是相同的，因而，只要把J與D，σ與ε互換位置，那么便把一種場(chǎng)的方程變成了另一種場(chǎng)的方程。因此，在相同的邊界條件下，如果得到了一種場(chǎng)的解，那么，只要把J與D，σ與ε互換位置，便可得到另一種場(chǎng)的解，通常，稱這種方法為靜電比擬法：稱J與D，σ與ε為對(duì)偶量。在靜電場(chǎng)中，常遇到的一個(gè)重要問題是計(jì)算兩導(dǎo)體間的電容C，而在恒定電場(chǎng)中，遇到的一個(gè)重要問題是計(jì)算兩導(dǎo)體間的電阻R或電導(dǎo)G。

如對(duì)于圖3-6所示的兩導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)，若將其視為介質(zhì)中的靜電場(chǎng)問題，則兩導(dǎo)體間的電容為

(3-37)式中，S1是導(dǎo)體1的表面積，分母中的線積分是指從導(dǎo)體1表面上任意一點(diǎn)到導(dǎo)體2表面上任意一點(diǎn)間的曲線。若將圖3-6所示的系統(tǒng)視為導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)問題，則兩導(dǎo)體間的電導(dǎo)為

由以上兩式可看出，若求得了靜電場(chǎng)問題中的電容C，那么，只需將ε換成σ，便得到了相同邊界條件下的恒定電場(chǎng)問題中的電導(dǎo)G。G的倒數(shù)便是電阻R，即(3-38)(3-39)將式(3-37)與式(3-38)進(jìn)行比較可知，恒定電場(chǎng)中的電流強(qiáng)度I、電導(dǎo)G與靜電場(chǎng)問題中的電量q、電容C是相應(yīng)的對(duì)偶量。圖3-6兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)例3-5

計(jì)算如圖3-7所示，同軸線單位長(zhǎng)度間的電容C0和漏電阻R0，設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間的填充介電常數(shù)為ε，電導(dǎo)率為σ的媒質(zhì)。圖3-7例3-5圖解方法1：先認(rèn)為同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的帶電量為ρl。由高斯定理，則內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E及電壓U分別為

同軸線單位長(zhǎng)度的電容為用靜電比擬法，將對(duì)偶量置換：ε換成σ，電量ρl用電流I代替，則上述C0變?yōu)殡妼?dǎo)G0，即漏電阻為方法2：認(rèn)為同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的漏電媒質(zhì)，直接由同軸線的幾何參數(shù)和填充媒質(zhì)的電參數(shù)計(jì)算。由例3-2的計(jì)算結(jié)果，漏電阻為而電導(dǎo)為用靜電比擬法，將對(duì)偶量置換：σ換成ε，就得到同軸線兩導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的電容為例3-6

計(jì)算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻(如圖3-8所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ0。

解導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看做等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為

C=4πεa所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為

G=4πσa圖3-8例3-6圖

接地電阻為例3-7

試求如圖3-9所示半徑為a≤r≤b的扇形電阻片沿著Φ方向(即A，B間)的電阻RΦ，沿著r方向(即半徑方向)的電阻Rr和沿著h方向(即厚度方向)的電阻Rh。解要求沿著Φ方向的電阻RΦ，要先求沿著Φ方向的電導(dǎo)GΦ。如圖，截面積dS=hdr，長(zhǎng)度l=rα的一段媒質(zhì)的電導(dǎo)為圖3-9例3-7圖所以，電阻片的電導(dǎo)為因而沿著Φ方向的電阻沿著r方向的電阻Rr：沿著r方向的一段長(zhǎng)度為dr，截面積為S=αrh的媒質(zhì)的電阻因而沿著r方向的電阻

沿著h方向的電阻Rh：沿方向的一段長(zhǎng)度為l=h，截面積dS=αrdr媒質(zhì)的電導(dǎo)所以，沿h方向的電導(dǎo)和電阻分別為

3.4磁場(chǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度

3.4.1安培定律

安培定律是描述真空中兩個(gè)載流細(xì)導(dǎo)線回路間相互作用力的實(shí)驗(yàn)定律。在真空中，設(shè)有l(wèi)1和l2兩個(gè)載流線閉合回路，其線上電流分別為I1、I2。安培定律表明，這兩個(gè)載流線閉合回路具有相互作用力。如圖3-10所示，線回路l1對(duì)線回路l2的作用力為(3-40)式中μ0=4π×10－7H/m(亨利/米)是真空的磁導(dǎo)率，I1dl1

與I2dl2分別為回路l1和l2上的電流元矢量，R指電流元矢量間的距離，R=r2－r1是由I1dl1指向I2dl2的矢量；

eR是R的單位矢量。如式中的電流I1和I2的單位是A(安培)，R和dl的單位是m(米)，則力F12的單位為N(牛頓)。圖3-10安培定律示意圖顯然，只要將式(3-40)中各量的下標(biāo)1和2互換，并令R=r1－r2，就可得到回路l2對(duì)回路l1的作用力F21。如果將式(3-40)寫為下列形式則F12的被積函數(shù)可寫為該式表示的是電流元I1dl1給予電流元I2dl2的作用力。作用力的方向在兩電流元的連線方向。3.4.2磁感應(yīng)強(qiáng)度、畢奧—薩伐爾定律

安培定律只能說明載流回路間作用力的大小和方向，但卻無法說明力的傳遞方式，應(yīng)用場(chǎng)的觀點(diǎn)是解釋力傳遞方式最有效的方法。為了引出場(chǎng)的概念，我們將式(3-40)表示為

(3-42)可見，式(3-42)括號(hào)中的函數(shù)與載流回路l2及I2無關(guān)，而F12表示載流回路l1對(duì)回路l2的作用力，由于括號(hào)中量?jī)H是l1和I1的函數(shù)，因此F12可以看成載流回路l1在距回路l2為R處產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)載流回路l2的作用力。我們令這個(gè)磁場(chǎng)為(3-43)式中，B12稱為載流回路l1在電流元I2dl2所在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T(特斯拉)。應(yīng)該說明的是，載流回路l1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B12與是否存在電流元I2dl2無關(guān)，因而可將B12看做是載流為I1的回路l1在空間一點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

在直角坐標(biāo)系中，載流為I的回路l在空間一點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度如圖3-11所示。圖3-11載流回路的磁感應(yīng)強(qiáng)度示意圖其磁感應(yīng)強(qiáng)度的表示式為(3-44)稱該式為畢奧—薩伐爾定律。式中，R=r－r′，通常，用r′表示電流元Idl所在點(diǎn)的矢徑，該點(diǎn)稱為源點(diǎn)；用r表示討論點(diǎn)的矢徑，該點(diǎn)稱為場(chǎng)點(diǎn)。可將式(3-44)用源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為(3-45)

稱式(3-44)和式(3-45)為畢奧—薩伐爾定律，它描述了電流和由它產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度間的關(guān)系。顯然，該式是在極端理想化的線電流模型的基礎(chǔ)上歸納出來的定律。事實(shí)上，電流總是以體密度J(r′)的形式分布在某一區(qū)域V內(nèi)，一般情況下又不可能將其簡(jiǎn)化為線電流模型，這時(shí)，必須把簡(jiǎn)化了的線電流元模型Idl還原為分布于體積元dV′=dSdl內(nèi)的真實(shí)體電流分布模型，即(3-46)式中，dS和dl分別為體積元dV′的橫截面積和長(zhǎng)度。這樣，分布在體積V內(nèi)的、密度為J(r′)的體分布電流系統(tǒng)在r點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可寫為

(3-47)式中的積分是對(duì)源點(diǎn)坐標(biāo)r′進(jìn)行的。相應(yīng)的，分布在面積S內(nèi)的、面電流密度為JS(r′)的分布電流系統(tǒng)在r點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可寫為(3-48)式(3-45)、式(3-47)和式(3-48)分別為已知電流分布(線電流、面電流、體電流)求空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算式。在提出了磁感應(yīng)強(qiáng)度的概念之后，置于磁場(chǎng)中的、載流為I的線回路l受到的磁場(chǎng)(對(duì)回路l而言是外磁場(chǎng))力的表達(dá)式(3-42)可寫為

(3-49)回路上的電流元Idl所受外磁場(chǎng)的作用力可寫為dF=Idl×B

(3-50)同理，對(duì)于分布于V內(nèi)的、體密度為J(r′)的電流系統(tǒng)和分布于S內(nèi)的、面密度為JS(r′)的電流系統(tǒng)，受外磁場(chǎng)作用力的表達(dá)式分別為(3-51)(3-52)從物理本質(zhì)講，磁場(chǎng)對(duì)于電流的作用力就是磁場(chǎng)對(duì)于運(yùn)動(dòng)電荷的作用力?？梢杂蒙鲜接?jì)算各種形狀的載流回路在外磁場(chǎng)中受到的力和力矩。對(duì)以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q，其在外磁場(chǎng)B中受到的作用力表達(dá)式寫為

F=qv×B

(3-53)

稱該力為洛侖茲力。雖然式(3-53)是針對(duì)導(dǎo)體中的運(yùn)動(dòng)電荷而推導(dǎo)出來的，但卻具有普遍性，這是因?yàn)?，如果把電流元Idl=JdV中的J理解為運(yùn)流電流密度J=ρv=nqv(式中，ρ=nq

為電荷密度，n為單位體積內(nèi)帶電粒子的個(gè)數(shù)，q為一個(gè)粒子的帶電量，v為粒子的運(yùn)動(dòng)速度)，則

dF=Idl×B=JdV×B=(nqv)dV×B=qv×BndV

式中，dV為體積元，ndV是體積元內(nèi)的粒子總個(gè)數(shù)，顯然，單個(gè)帶電粒子所受的磁場(chǎng)力為

上式與式(3-53)的形式完全相同。可見，無論帶電粒子是在導(dǎo)體中運(yùn)動(dòng)還是在真空中運(yùn)動(dòng)，只要有磁場(chǎng)存在便會(huì)受到洛侖茲力作用，洛侖茲力的特點(diǎn)是既垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度B又垂直于粒子的運(yùn)動(dòng)速度v，它只作用于運(yùn)動(dòng)著的、帶電的粒子，且永不對(duì)帶電粒子做功，或者說，該力只改變粒子的運(yùn)動(dòng)速度方向而不改變速度的大小。

如果空間還存在外電場(chǎng)E，電荷q受到的力還要加上電場(chǎng)力。這樣，就得到帶電量為q以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷在外電磁場(chǎng)(E，B)中受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力為

F=q(E+v×B)

(3-54)例3-8

如圖3-12所示，真空中一半徑為a，通過電流I的細(xì)圓環(huán).求其軸線上任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

解采用圓柱坐標(biāo)系，取圓環(huán)的軸線為坐標(biāo)z軸，圓環(huán)在z=0平面，則場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，z)。由圖可知，源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)方向的單位矢及其兩點(diǎn)間的距離可分別寫為

eR=－ersinα+ezcosα

因dl=efadf，則有

dl×eR=ezasinαdf+eracosαdf這時(shí)圖3-12例3-8圖顯然，對(duì)于某一確定的場(chǎng)點(diǎn)(0，0，z)而言，sinα和cosα是常數(shù)，由場(chǎng)的對(duì)稱性可知，磁場(chǎng)沒有徑向的分量(即Br=0)。所以上式的計(jì)算第二項(xiàng)積分為零。從而求得圓環(huán)軸線上點(diǎn)(0，0，z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

3.5恒定磁場(chǎng)的基本方程

畢奧—薩伐爾定律是關(guān)于恒定磁場(chǎng)的基本定律，以它為基礎(chǔ)可推導(dǎo)出恒定磁場(chǎng)的基本方程。

3.5.1磁通連續(xù)性原理

為了求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度，將具有體電流分布系統(tǒng)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式(3-47)重寫如下

(3-55)上式右邊的被積函數(shù)可寫為由矢量恒等式×(uA)=u×A+u×A將上式寫為

式中×J(r′)=0，因?yàn)槭菍?duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)r進(jìn)行運(yùn)算的算符，而J(r′)卻只是源點(diǎn)坐標(biāo)r′的函數(shù)。將上式代入式(3-55)得(3-56)對(duì)式(3-56)兩邊取散度，并應(yīng)用矢量恒等式·×A=0可得(3-57)可見，磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為0，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B是一個(gè)無散度源的場(chǎng)。磁場(chǎng)的通量定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過曲面S的磁通量(或磁通)，單位為Wb(韋伯)。通過曲面S的磁通量可表示為(3-58)對(duì)式(3-57)兩端進(jìn)行體積分并利用高斯散度定理，有(3-59)該式表明，通過任意閉合曲面S的磁通量等于零，這意味著，磁力線是閉合的，磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，具有這種特征的場(chǎng)又稱為管量場(chǎng)。稱式(3-57)為磁通連續(xù)性原理的微分形式，而式(3-59)稱為磁通連續(xù)性原理的積分形式。3.5.2安培環(huán)路定律

磁通連續(xù)性原理表明了磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量和散度特性。那么，磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)量和旋度又是怎樣呢？為了說明這個(gè)問題，對(duì)式(3-56)兩邊取旋度

依據(jù)矢量恒等式可使上式變?yōu)?3-60)式中已將算符與積分號(hào)∫進(jìn)行了交換。將上式右第一項(xiàng)中的被積函數(shù)與第二項(xiàng)的被積函數(shù)分別改寫為

在上面兩式的改寫過程中已用到了恒等式和恒定電流的連續(xù)性方程，′是對(duì)源點(diǎn)坐標(biāo)r′(即對(duì)x′，y′，z′)進(jìn)行運(yùn)算的算符。將上兩式代入式(3-60)，借助高斯散度定理可使式右第一項(xiàng)積分變?yōu)樯鲜降扔诹愕脑蚴?，S為恒定電流分布區(qū)域的邊界面，而電流是不可能流出邊界面的，即電流密度J不可能有沿著界面法向方向的分量，亦即J(r′)·dS′=J(r′)·ndS′=0，n是邊界面S外法向的單位矢。綜上考慮，式(3-60)變?yōu)?/p>

(3-61)即(3-62)式(3-62)是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明產(chǎn)生磁場(chǎng)的渦旋源是電流。在已知磁場(chǎng)分布的情況下，可用此式計(jì)算該點(diǎn)的電流分布。將式(3-61)兩端在以l為周界的任一曲面S上積分對(duì)上式左端運(yùn)用斯托科斯定理有

(3-63)式中，周界l環(huán)行的正方向是指與曲面S的正法向n成右手關(guān)系的方向，I是穿過曲面s的電流強(qiáng)度的代數(shù)和，方向與周界l環(huán)行的正方向成右手關(guān)系的電流取正值，反之取負(fù)值。如電流是體密度J分布，則上式寫為(3-64)式(3-63)和式(3-64)稱為安培環(huán)路定律的積分形式，式中的電流是通過以l為邊界的曲面的凈電流。對(duì)于對(duì)稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場(chǎng)。3.5.3真空中恒定電場(chǎng)的基本方程

將恒定磁場(chǎng)在真空中遵從的上述基本規(guī)律加以總結(jié)，便得到恒定磁場(chǎng)在真空中的基本方程，其微分形式和積分形式分別為

(3-65)(3-66)稱式(3-65)和式(3-66)中的第一方程為磁通的連續(xù)性方程，第二方程為安培環(huán)路定律。利用安培環(huán)路定律的積分形式可方便地求解具有對(duì)稱分布的電流系統(tǒng)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。例3-9

一個(gè)半徑為a的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算該導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解采用圓柱坐標(biāo)系，取直導(dǎo)線的軸為坐標(biāo)z軸。由電流的對(duì)稱性可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B僅是r的函數(shù)而與f和z無關(guān)，且只有Bf分量。取沿半徑為r的一條磁感應(yīng)線為閉合積分路徑l，運(yùn)用安培環(huán)路定律，有

在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零當(dāng)r≤a時(shí)，包圍電流為Ir2/a2，上積分為故當(dāng)r>a時(shí)，積分回路包圍的電流為I，故有故

3.6矢量磁位

3.6.1矢量磁位的引入

因?yàn)榇艌?chǎng)的散度，根據(jù)矢量恒等式，一個(gè)矢量函數(shù)A的旋度的散度恒等于零，即，因而B可表示為某矢量函數(shù)A的旋度，即有(3-67)A稱為矢量磁位或簡(jiǎn)稱磁矢位。其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個(gè)物理意義不很明確的輔助量。雖如此，磁矢位A卻是與電流分布密切相關(guān)的矢量，而體電流分布系統(tǒng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度式(3-56)為將上式與式(3-67)比較，得到體電流分布系統(tǒng)的矢量磁位的表示式為(3-68)同理，面電流分布系統(tǒng)和線電流系統(tǒng)的磁矢位可分別寫為(3-69)(3-70)對(duì)于磁矢位A而言，也有如同電位f那樣的參考點(diǎn)選擇問題，以式(3-68)為例，它只適用于表達(dá)電流分布在有限區(qū)域并選取無限遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)的磁矢位，而對(duì)于分布在無限區(qū)域的電流系統(tǒng)，如果仍取無限遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)則勢(shì)必導(dǎo)致磁矢位為無限大這一沒有意義的結(jié)果，這時(shí)應(yīng)選取有限遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)，再用式(3-68)分別計(jì)算出參考點(diǎn)的磁矢位和討論點(diǎn)的磁矢位，兩點(diǎn)磁矢位之差并取無限區(qū)域的極限，便得到討論點(diǎn)的磁矢位，其值是有限的。應(yīng)該說明的是，一個(gè)確定的磁場(chǎng)的磁矢位并不是唯一的，事實(shí)上，如果A是某個(gè)確定磁場(chǎng)的磁矢位，則

(Ψ為任意標(biāo)量函數(shù))一定也是該磁場(chǎng)的磁矢位，關(guān)于這點(diǎn)可利用矢量恒等式給予證明：

磁矢位A與A′的上述變換稱為規(guī)范變換，在規(guī)范變換下磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變的特性稱為規(guī)范不變性。由于一個(gè)確定磁場(chǎng)的磁矢位A并不唯一，因而，由式(3-67)或式(3-68)求得的A并非唯一滿足需要的磁矢位，依據(jù)亥姆霍茲定理，一個(gè)矢量場(chǎng)需要由它的旋度和散度共同確定，而在上述討論中只對(duì)A的旋度提出了要求(×A=B)而并未對(duì)A的散度提出任何約定，意即A的散度并沒有被限定。為了有一個(gè)確定性的磁矢位A，通常的方法是人為地選定A的散度。對(duì)于恒定磁場(chǎng)而言，通常選取

稱這種規(guī)范為庫(kù)侖規(guī)范。事實(shí)上，由式(3-68)求得的A雖然是滿足要求的，但并不是唯一滿足要求的磁矢位。應(yīng)該說明的是，如果電流分布在有限區(qū)域，則由式(3-68)求得的A會(huì)自行滿足，而非人為規(guī)定。這里不作證明。(3-71)3.6.2矢量磁位的微分方程

將矢量磁位A的定義式

代入安培環(huán)路定律的微分形式，有

將庫(kù)侖規(guī)范·A=0代入上式，則有(3-72)這就是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對(duì)無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即(3-73)在直角坐標(biāo)系中可簡(jiǎn)寫為從而可將式(3-72)寫成如下三個(gè)分量方程(3-74)可知，A的每一個(gè)分量均滿足泊松方程。與靜電場(chǎng)的泊松方程對(duì)比，可以得到磁矢位解為(3-75)將其寫成矢量形式為(3-76)最后應(yīng)說明的是，在引入了矢量磁位A以后，磁通量亦可以用矢量磁位A來表示，利用斯托克斯定理可導(dǎo)出由A表示的穿過曲面S的磁通量為(3-77)例3-10

求長(zhǎng)度為l的載流為I的直導(dǎo)線的磁矢位。

解選如圖3-13所示的圓柱坐標(biāo)系，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(r，f，z)由式(3-68)知，A只有z分量

當(dāng)l>>z時(shí)，上式簡(jiǎn)化為圖3-13直導(dǎo)線的磁矢位該結(jié)果適用于描述在導(dǎo)線中點(diǎn)附近所作的與直導(dǎo)線垂直的平面上任何點(diǎn)的矢量磁位。上式中，若再取l>>r，則進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

簡(jiǎn)化過程中用了當(dāng)x<<1時(shí)，(1+x)1/2≈1+x/2的泰勒展開近似值。該結(jié)果適用于描述在導(dǎo)線中點(diǎn)附近所作的與直導(dǎo)線垂直的平面上，且距直導(dǎo)線很近的點(diǎn)的情況。當(dāng)l→∞時(shí)，空間任意一點(diǎn)r(不再有條件限制)磁矢位為顯然，磁矢位將趨于無窮大，原因是對(duì)于分布在無限區(qū)域的電流系統(tǒng)，不能取無限遠(yuǎn)處作為磁矢位的參考點(diǎn)，而只能任選一有限遠(yuǎn)點(diǎn)。如選r0點(diǎn)作為磁矢位的參考點(diǎn)，可以得出根據(jù)上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出

3.7磁偶極子

3.7.1磁偶極子的場(chǎng)

尺寸很小的小電流環(huán)稱為磁偶極子。因小電流環(huán)在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的磁場(chǎng)酷似電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的電場(chǎng)而得名。電流環(huán)

如圖3-14所示，圖中小電流環(huán)的電流為I，小電流環(huán)圍成的面積為S，面積面元的方向n與電流的方向成右手螺旋關(guān)系。

磁偶極子的磁偶極矩用m表示，單位為安培·平方米。

小電流環(huán)的磁矩定義為

m=IS

(3-78)

與載流導(dǎo)線一樣，磁矩在其周圍也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，為分析簡(jiǎn)單起見，我們以一個(gè)小電流環(huán)為例，討論小電流環(huán)在遠(yuǎn)區(qū)域的磁矢位和磁場(chǎng)。圖3-14磁偶極子設(shè)載流回路位于xoy平面，且中心在原點(diǎn)，如圖3-15所示，如果研究點(diǎn)P到坐標(biāo)o點(diǎn)的距離r>>a(a為小電流環(huán)的半徑)，則該小電流環(huán)就可以看做磁偶極子。因?yàn)殡娏鞣植缄P(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，所以磁矢位在球坐標(biāo)系中只有Af分量，Af僅是r和θ的函數(shù)，與f無關(guān)，所以可將場(chǎng)點(diǎn)選取在xoz平面，在此平面，Af與直角坐標(biāo)的Ay分量一致，故Idl1′的y分量為adfcosf產(chǎn)生的磁矢位為

其中圖3-15磁偶極子的場(chǎng)如果r>>a，則

由圖3-15可見式中，θ為r與z軸的夾角；而f為r′與x軸的夾角，所以式中，m=Iπa2，是圓環(huán)回路磁矩的模值。一個(gè)載流回路的磁矩是一個(gè)矢量，磁矩的方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積。上式用磁矩表示為

(3-79)可看出，對(duì)于不同的電流環(huán)，只要它們的磁偶極矩相同，則在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁矢位便相同。所以磁偶極矩m是描述電流環(huán)特性的特征量。磁感應(yīng)強(qiáng)度為(3-80)在遠(yuǎn)離場(chǎng)源處，比較電偶極子與磁偶極子的場(chǎng)會(huì)發(fā)現(xiàn)，磁偶極子產(chǎn)生的B與電偶極子產(chǎn)生的E有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。然而，在物理本質(zhì)上二者是有差別的，主要表現(xiàn)在磁偶極子與和電偶極子附近的場(chǎng)分布不同，且B線是閉合的而E線不是閉合線。3.7.2外場(chǎng)中的磁偶極子

磁偶極子自身會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，反之，置于外磁場(chǎng)中的磁偶極子會(huì)受到磁場(chǎng)力和(或)力矩的作用，用類似于推導(dǎo)電偶極子受外電場(chǎng)作用力和力矩的方法，可推導(dǎo)出磁偶極子受外磁場(chǎng)作用力F和力矩T的表達(dá)式，分別為(3-81)(3-82)T=m×B

3.8磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程

3.8.1磁介質(zhì)的磁化

物質(zhì)的磁性來源于分子中電子繞原子核的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和電子的自旋，電子的這兩種運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的磁效應(yīng)可用一個(gè)電流回路來等效，稱這個(gè)電流回路的磁矩為電子磁矩，稱一個(gè)分子中所有電子磁矩的總和為分子的固有磁矩。物質(zhì)分子的固有磁矩可以不為零也可以為零，稱固有磁矩不為零的物質(zhì)為順磁物質(zhì)，稱固有磁矩為零的物質(zhì)為抗磁物質(zhì)。綜上所述，一般情況下磁化媒質(zhì)的每一分子都有沿一定方向取向的分子磁矩m=iS，而整個(gè)媒質(zhì)可視為在真空中按不同方向排列的眾多磁偶極子的集合體，每一磁偶極子都會(huì)產(chǎn)生自己的磁場(chǎng)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，媒質(zhì)的磁化程度取決于媒質(zhì)內(nèi)的總磁場(chǎng)，即外加磁場(chǎng)與磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和。為了宏觀地定量描述媒質(zhì)的磁化程度,引入磁化強(qiáng)度M的概念,定義為

(3-83)式中，ΔV是點(diǎn)r處的體積元。式(3-83)的意義是，媒質(zhì)中某點(diǎn)r處單位體積內(nèi)分子磁矩m的矢量和。磁化強(qiáng)度M也稱為磁矩密度，單位是A／m。如果每一分子磁矩m的大小和方向都相同，則磁化強(qiáng)度M可簡(jiǎn)寫為M=Nm(3-84)3.8.2磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)

在外磁場(chǎng)作用下，媒質(zhì)磁化后會(huì)產(chǎn)生磁矩，這些磁矩會(huì)在其周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)?，F(xiàn)在讓我們討論磁矩產(chǎn)生的磁場(chǎng)。如圖3-16所示，設(shè)P為磁化介質(zhì)外任一點(diǎn)，在磁介質(zhì)內(nèi)部r′處體積元dV′內(nèi)的等效磁矩dm=MdV′產(chǎn)生的磁矢位為

其中算符表示對(duì)帶“r′”的坐標(biāo)的運(yùn)算?？偟拇攀肝粸?3-85)圖3-16磁化媒質(zhì)的場(chǎng)利用矢量恒等式將上式的被積函數(shù)寫為(3-86)再利用矢量恒等式則式(3-86)可表示為(3-87)將上式與體、面電流矢位公式比較可見，式(3-87)中第一項(xiàng)的分子部分相當(dāng)于體電流密度，而第二項(xiàng)分子部分相當(dāng)于面電流密度。由于式(3-87)是由磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位A，故稱該電流分別為體磁化電流密度和面磁化電流密度，表達(dá)式為

(3-88)所以，式(3-87)也可以寫為(3-89)對(duì)上式取旋度便得磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式為(3-90)應(yīng)該說明的是，式(3-89)和式(3-90)不僅適用于表述磁化媒質(zhì)外部任一點(diǎn)磁矢位和磁感應(yīng)強(qiáng)度，而且適用于表述在磁化媒質(zhì)內(nèi)部任一點(diǎn)的磁矢位和磁感應(yīng)強(qiáng)度。

上述討論結(jié)果表明，磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)實(shí)際是由分布在真空中的磁化電流產(chǎn)生的，下面簡(jiǎn)要分析磁化媒質(zhì)中存在磁化電流的物理本質(zhì)：媒質(zhì)被磁化之后，分子磁矩的有序排列使相應(yīng)的分子電流合成為媒質(zhì)內(nèi)部或媒質(zhì)表面的不為零的宏觀電流，由于這種電流是分子周圍束縛電子(而不是自由電子)的宏觀效應(yīng)，故稱為束縛電流(或磁化電流)，以

Im表示。為了說明磁化電流的形成本質(zhì)，討論如圖3-17所示的一塊磁化媒質(zhì)。圖3-17形成磁化電流示意圖磁介質(zhì)被磁化后，在外磁場(chǎng)的作用下，各分子磁矩指向同一方向，設(shè)分子電流在紙面內(nèi)(分子磁矩垂直于紙面)。不難看出，相鄰的兩個(gè)分子電流的方向總是相反的，因而，如果媒質(zhì)的磁化是均勻的，那么，圖中兩條虛線之間那部分的分子電流完全相互抵消，不會(huì)有磁化體電流；如果媒質(zhì)的磁化是非均勻的，那么，圖中兩條虛線之間那部分的分子電流不能完全相互抵消，從而形成不為零的磁化體電流。另外，無論是均勻磁化還是非均勻磁化，在媒質(zhì)表面，比如在圖3-17所示區(qū)域的左側(cè)邊緣，分子電流會(huì)匯聚成方向向上的宏觀面電流，即不為零的磁化面電流。磁化媒質(zhì)能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)的本質(zhì)就在于具有磁化電流，磁化媒質(zhì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)可由處在真空中的磁化電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)來等效。在此預(yù)先約定，在以后敘述中，電流就是指?jìng)鲗?dǎo)電流和運(yùn)流電流(有時(shí)稱之為自由電流)，而磁化電流則特指在磁化媒質(zhì)內(nèi)部或表面由分子電流形成的電流。3.8.3磁場(chǎng)強(qiáng)度

真空中恒定磁場(chǎng)遵從的基本規(guī)律用磁場(chǎng)的基本方程來描述，其中只涉及自由電流。而在磁化媒質(zhì)中除可能存在自由電流外，還可能存在磁化電流，且式(3-89)表明，磁化電流在產(chǎn)生磁場(chǎng)方面與自由電流有同樣的功效，因而，只要在真空中的基本方程式中加入磁化電流的貢獻(xiàn)，便自然得到磁介質(zhì)中磁場(chǎng)遵從的基本規(guī)律。

在磁介質(zhì)中，產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的電流除J之外，還應(yīng)有磁化電流Jm。所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度應(yīng)為

代入Jm=×M，從而有

可得(3-91)引入新矢量H，并令(3-92)稱H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位為A/m。這時(shí)式(3-91)變?yōu)?3-93)式(3-93)為磁介質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式；對(duì)兩邊取面積分，有值得說明的是，上式中通過S面的電流密度J是自由電流密度，而不是磁化電流密度。對(duì)上式應(yīng)用斯托克斯定理，就得到磁介質(zhì)中安培環(huán)路定律的積分形式為

(3-94)對(duì)于線電流，式(3-94)可表示為(3-95)式中的電流是通過以l為周界的曲面的自由電流的代數(shù)和。磁場(chǎng)強(qiáng)度H與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為或應(yīng)該說明的是，對(duì)式(3-95)取散度有3.8.4磁導(dǎo)率

如前所說，磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度M與它內(nèi)部的總磁場(chǎng)有關(guān)，這種關(guān)系稱為組成(或本構(gòu))關(guān)系，由磁介質(zhì)的固有特性決定。磁介質(zhì)的類型不同，則M與H間的關(guān)系也不同，有線性與非線性，均勻與非均勻，各向同性與各向異性之分。

對(duì)于工程上常使用的各向同性的線性磁介質(zhì)而言，組成關(guān)系為(3-96)式中，χm是一個(gè)無量綱常數(shù)，稱為磁化率。如果χm與磁場(chǎng)強(qiáng)度H的大小無關(guān)，則說明磁介質(zhì)是線性的，否則是非線性;如果χm與磁場(chǎng)強(qiáng)度H方向無關(guān)，則說明磁介質(zhì)是各向同性的，否則是各向異性的；如果χm與坐標(biāo)無關(guān)。則說明磁介質(zhì)是均勻的，否則是非均勻。將式(3-96)代入式(3-95)，有

(3-97)(3-98)式中，μ和μr分別稱為磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率和相對(duì)磁導(dǎo)率，磁導(dǎo)率的單位為H／m(亨利/米)，而相對(duì)磁導(dǎo)率無量綱。磁介質(zhì)的組成關(guān)系(也稱為本構(gòu)關(guān)系)為(3-99)B=μH鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級(jí)。3.8.5磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程

在引入了磁場(chǎng)強(qiáng)度H的概念，并得到了它遵從的方程式以及組成關(guān)系后，磁感應(yīng)強(qiáng)度無散度的性質(zhì)并沒有改變，因此參考真空中的磁場(chǎng)方程，很容易寫出磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)基本方程的微分形式和積分形式為

(3-100)(3-101)對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)有輔助方程(3-102)由于在磁介質(zhì)中同樣有，因而仍可引入磁矢位A，使B=×A。在各向同性的、均勻的線性磁介質(zhì)中，若采用庫(kù)侖規(guī)范條件，則磁矢位A遵從的微分方程為(3-103)該式為磁介質(zhì)中磁矢位的泊松方程，與真空中磁矢位A遵從的微分方程式相比可知。在有同樣的自由電流J分布情況下，磁介質(zhì)中磁矢位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B均為真空中的μr倍。如在無源區(qū)域，磁矢位A滿足拉普拉斯方程，即

例3-11

在a≤r≤b，0≤z≤L的圓柱殼內(nèi)填充磁化強(qiáng)度為(c為常數(shù))的磁化介質(zhì)，求該區(qū)域內(nèi)的磁化電流密度Jm和表面的磁化電流面密度JmS。

解依據(jù)式(3-88)，磁化媒質(zhì)中的磁化電流密度可見，媒質(zhì)為均勻磁化介質(zhì)。利用JmS=M×n計(jì)算磁化面電流密度時(shí)，應(yīng)注意不同表面外法向單位矢n的指向不同，且式中的磁化強(qiáng)度M在不同的表面有不同的值，因而在圓柱殼的內(nèi)側(cè)面：在圓柱殼的外側(cè)面：在圓柱殼的下底面：在圓柱殼的上底面：例3-12

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖3-18所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的H、B、M，并求磁介質(zhì)中的磁化電流密度Jm以及磁介質(zhì)表面的磁化電流面密度JmS。

解以后如無特別聲明，對(duì)良導(dǎo)體(不包括鐵磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無限長(zhǎng)，則其磁場(chǎng)沿軸線無變化，該磁場(chǎng)只有f分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律，求出各區(qū)域的磁場(chǎng)強(qiáng)度H，然后由H求出B和M。圖3-18例3-12圖當(dāng)r≤a時(shí)，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律，考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得

當(dāng)a<r≤b時(shí)，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)域磁導(dǎo)率為μ，可得當(dāng)b<r≤c時(shí)，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為

當(dāng)r>c時(shí)，這一區(qū)域的B、H、M為零。內(nèi)外導(dǎo)體間磁介質(zhì)中的磁化電流密度r=a和r=b面上的磁化面電流密度

3.9恒定磁場(chǎng)的邊界條件

3.9.1磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件

在場(chǎng)論中，凡用閉合面積分表述基本方程的場(chǎng)量，它的邊界條件一定以法向分量描述。由式(3-101)知，B的方程是用閉合面積分表述的，故它的邊界條件一定用法向分量Bn描述。如圖3-19所示，在磁介質(zhì)的分界面上作一很小的圓柱形閉合面，頂面和底面分別位于界面兩側(cè)且無限靠近界面，柱面的高度h→0。規(guī)定界面的法線方向由磁介質(zhì)1指向磁介質(zhì)2，以n表示法向的單位矢。將磁通的連續(xù)性原理式(3-101)中的第二式用于該柱形閉合面，注意到該柱面的頂面和底面的面積ΔS1=ΔS2=ΔS很小，可認(rèn)為在兩個(gè)面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B分別為常矢量；又因?yàn)橹娴母叨萮→0，因而側(cè)面積趨于零，從而穿過側(cè)面的磁通量可忽略不計(jì)，則有

圖3-19B的邊界條件第二個(gè)等號(hào)后的第二項(xiàng)之所以取負(fù)號(hào)，是因?yàn)閳A柱在該底面的外法向與界面的法向n的方向相反。從而有

B2n=B1n

(3-105)

寫成矢量形式

n·(B2－B1)=0

(3-106)

式(3-105)或式(3-106)便是磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件，它表明，在界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的法向分量是連續(xù)的。然而，磁場(chǎng)強(qiáng)度H的法向分量卻是不連續(xù)的，這是因?yàn)镠n=Bn/μ，在B2n=B1n，而μ1≠μ2時(shí)，自然有H2n≠H1n。3.9.2磁場(chǎng)強(qiáng)度H的邊界條件

在場(chǎng)論中，凡用閉合回路積分表述基本方程的場(chǎng)量，它的邊界條件—定以切向分量描述。由式(3-101)知，H的方程是用閉合回路積分表述的，故它邊界條件一定用切向分量描述。如圖3-20所示，在磁介質(zhì)的分界面上作一很小的矩形閉合回路abcda，它的兩條長(zhǎng)邊ab和cd分別位于界面兩側(cè)且無限靠近界面，另兩條邊bc和da垂直于界面且長(zhǎng)度h→0。設(shè)回路abcda圍定的面積矢量S=Sb，b為面積矢量方向的單位矢，與回路abcda成右手螺旋關(guān)系，設(shè)流過S的傳導(dǎo)電流與b的方向一致。由于同一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H與傳導(dǎo)電流密度J總是正交的，所以界面兩側(cè)的H2和H1與S是共面的。由于所取矩形閉合回路abcda

的兩條長(zhǎng)邊ab和cd的長(zhǎng)度Δl很小，以致可以認(rèn)為同一條Δl的H是常矢量，另兩條邊的長(zhǎng)度h→0，故H在這兩條邊上的線積分可忽略不計(jì)。同時(shí)，由于S=h·Δl很小，故可認(rèn)為S內(nèi)的電流密度J為常矢量。圖3-20H的邊界條件將安培環(huán)路定律式(3-101)中的第—式用于閉合回路abcda，當(dāng)h→0時(shí)，有從而得到磁場(chǎng)強(qiáng)度H的邊界條件是(3-107)可將式(3-107)寫成矢量形式(3-108)3.9.3H或B在界面兩側(cè)的方向關(guān)系

磁力線在越過邊界面后要發(fā)生方向的改變。分析如下：當(dāng)界面上JS=0時(shí),式(3-107)和式(3-105)可分別寫為H2sinθ2=H1sinθ1和B2cosθ2=B1cosθ1，兩式相除并注意到B2=

μ2H2和B1=μ1H1，則有

(3-109)這便是在無面電流界面兩側(cè)磁場(chǎng)的方向關(guān)系，容易看出，在高磁導(dǎo)率μ1介質(zhì)與低磁導(dǎo)率μ2介質(zhì)的界面兩側(cè)有θ2<<θ1，同時(shí)有B2<<B1。假如μ1=1000μ0，μ2=μ0，在這種情況下，當(dāng)θ1=87°時(shí)，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可見，高磁導(dǎo)率介質(zhì)內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)大于低磁導(dǎo)率介質(zhì)內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

3.10標(biāo)量磁位

對(duì)于恒定磁場(chǎng)，不管是否有電流分布，均可引入磁矢量位A，除此之外，對(duì)于無電流部分的區(qū)域或存在永久磁體的區(qū)域，還可引入磁場(chǎng)的標(biāo)量位jm。在此基礎(chǔ)上，可借助于求解靜電場(chǎng)的方法求解恒定磁場(chǎng)，或者在求得了同類靜電場(chǎng)邊值問題解的情況下比擬地寫出恒定磁場(chǎng)的解。

根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程式可知，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場(chǎng)強(qiáng)度。由矢量恒等式，一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。此時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，即

(3-110)jm稱為磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱為標(biāo)量磁位。上式中的負(fù)號(hào)是為了與靜電場(chǎng)的電位對(duì)應(yīng)而人為加入的。

對(duì)于均勻介質(zhì)，由恒定磁場(chǎng)的基本方程，有

將式(3-110)代入到上式中,可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程,即(3-111)所以用微分方程求磁標(biāo)位時(shí)，同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁標(biāo)位的邊界條件可表示為(3-112)(3-113)引入標(biāo)量磁位后，除能較方便地求解無源區(qū)域的磁場(chǎng)外，還為求解永久磁體周圍的磁場(chǎng)帶來極大方便(永久磁體內(nèi)無自由電流)。一般情況下，永久磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，如上節(jié)所說，此時(shí)，永久磁體的表面是一個(gè)(磁標(biāo)位)等位面，因而可用靜電比擬法求解。

對(duì)于非均勻介質(zhì)，在無源區(qū)(J=0)中有

故在引入等效磁荷ρm的概念后，磁標(biāo)位滿足泊松方程，即(3-114)式中，

。

3.11電感

在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用ψ表示。對(duì)于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等，從而有ψ=NΦ。

3.11.1自感

一個(gè)回路的自感定義為：穿過這個(gè)電流回路為周界的曲面的磁鏈ψ與回路電流I之比，用L表示，即

(3-115)

3.11.2互感

互感是互感系數(shù)的簡(jiǎn)稱，有兩個(gè)回路及兩個(gè)以上回路才涉及到互感，如圖3-21所示的兩個(gè)回路。

回路l1與回路l2之間的互感定義為：由載電流I1的回路l1產(chǎn)生磁場(chǎng)、穿過以回路l2為周界的曲面S2的磁鏈ψ12與電流I1之比，用M12表示為(3-116)互感的單位與自感相同。同樣,我們可以用載流回路l2的磁場(chǎng)在回路l1上產(chǎn)生的磁鏈ψ21與電流I2的比來定義l2與l1之間的互感M21,即圖3-21兩回路間的互感3.11.3電感的計(jì)算方法

首先討論如圖3-21所示的回路系統(tǒng)互感的計(jì)算。設(shè)兩個(gè)回路均為一匝，且周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。當(dāng)回路l1中的電流為I1時(shí)，穿過回路l2的磁鏈為

(3-117)式中，A12為電流I1在l2上一點(diǎn)的磁矢位，即將其代入式(3-117)，有故而得l1與l2之間的互感為(3-118)同理得l2與l1之間的互感為比較上兩式可知(3-119)可見，互感具有互易性，因而通常說兩回路間的互感M，而不必說明是回路l1與回路l2間的還是回路l2與回路l1間的互感。實(shí)際上，諾伊曼公式(3-118)不僅適用于計(jì)算兩回路間的互感M，同樣適用于計(jì)算單一回路的自感L。思路是將式(3-118)中的回路l1和回路l2重新理解：如圖3-22所示是一個(gè)單匝導(dǎo)線回路，無論導(dǎo)線粗細(xì)，其橫截面尺寸都要按照實(shí)際的不為零處理，取實(shí)際回路的中心軸線為回路l1且認(rèn)為電流I1集中于l1，再取實(shí)際回路的內(nèi)緣為回路l2；圖中的R12就是式(3-118)中的r2－r1，從而把求一個(gè)實(shí)際的單一回路的自感問題歸結(jié)為求上述所規(guī)定的回路l1和回路l2間的互感問題。

例3-13

求空氣中無限長(zhǎng)平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的外自感。如圖3-23所示，導(dǎo)線的截面半徑為a，兩導(dǎo)線中心距離為d。圖3-22用諾伊曼公式計(jì)算外自感圖3-23平行雙導(dǎo)線解設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由安培環(huán)路定律可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長(zhǎng)度上的外磁鏈為所以單位長(zhǎng)度的外自感為例3-14

求如圖3-24所示之半徑為a，磁導(dǎo)率為μ的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的內(nèi)自感Lin。

解導(dǎo)線的內(nèi)自感Lin是導(dǎo)線的內(nèi)磁鏈與導(dǎo)線的總電流之比。通過導(dǎo)線內(nèi)部半徑r(r<a)的橫截面的電流

,因而導(dǎo)線內(nèi)一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

相應(yīng)的穿過導(dǎo)體中寬度為dr，長(zhǎng)度為1的面元dS的磁通為應(yīng)該注意的是，穿過dS的磁力線并沒有與總電流I交鏈而僅與部分電流Ir交鏈，但在自感的定義式中，電流是指總電流I。圖3-24例3-14圖另一方面，在磁鏈ψ與磁通Φ的關(guān)系式ψ=NΦ中，匝數(shù)N的本質(zhì)就是磁力線與總電流I交鏈的次數(shù)，因而，這意味著在本題中匝數(shù)N=Ir/I=r2/a2(N<1)，所以與dΦin相應(yīng)的磁鏈為

在導(dǎo)體內(nèi)，穿過寬度為a，長(zhǎng)度為1的平面的磁鏈為因而單位長(zhǎng)度上的內(nèi)自感為

3.12恒定磁場(chǎng)的能量

3.12.1恒定電流系統(tǒng)的磁場(chǎng)能

首先討論兩個(gè)恒定電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能。設(shè)在真空中有兩個(gè)細(xì)導(dǎo)線回路l1和l2，在t=0時(shí)刻，兩個(gè)回路中的電流均為零，之后經(jīng)過中間值i1和i2逐漸而連續(xù)地增加到最終值I1和I2，相應(yīng)的，中間各點(diǎn)的磁場(chǎng)也由零逐漸而連續(xù)地增加到最終值。顯然，回路中電流的建立是外電源做功的結(jié)果，根據(jù)能量守恒定律，外電源所做的功等于恒定磁場(chǎng)所蘊(yùn)涵的能量。由于恒定磁場(chǎng)的能量與建立恒定電流的中間過程無關(guān)，因而可選取兩步完成建立過程：第一步先建立回路l1中的電流i1，在i1由零增至最終值I1的過程中，回路l2中的電流i2始終保持為零；第二步再建立回路l2中的電流i2,在i2由零增至最終值I2的過程中，回路i1中的電流始終保持為I1。

首先分析建立I1時(shí)外電源做的功。如圖3-25所示，當(dāng)回路l1中的電流i1在dt時(shí)間內(nèi)有一增量di1時(shí)，空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)也有相應(yīng)增加，從而使穿過回路l1和l2的磁鏈ψ11和ψ12都發(fā)生變化。由法拉第電磁感應(yīng)定律，ψ11的變化導(dǎo)致在l1中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為(3-120)式中，L1為回路l1的自感。ε11將阻止i1增加，要使i1增加，必須在l1中外加電壓U1=－ε11來抵消感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，以維持l1中在dt時(shí)間內(nèi)有一增量di1，這樣在dt時(shí)間內(nèi)外電源向l1做的功為(3-121)可知，回路l1中的電流i1由零增至最終值I1的過程中外電源向l1做的功為

(3-122)另一方面，當(dāng)l1在dt時(shí)間內(nèi)有一增量di1時(shí)，將引起ψ12的變化，從而在回路l2中產(chǎn)生互感電動(dòng)勢(shì)(3-123)ε12在l2中將產(chǎn)生一個(gè)感應(yīng)電流試圖改變i2為零的狀態(tài)，為使i2始終為零，必須在l2中外加電壓U2=－ε12來抵消感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。在dt時(shí)間內(nèi)外電源向l2做的功因i2始終為零而等于零，即(3-124)可知，回路l1中的電流i1由零增至最終值I1的過程中外電源向l2做的功為

W12=0

因而在完成第一步的過程中外電流所做的功為(3-125)圖3-25建立I1時(shí)外電源做的功現(xiàn)在完成第二步，即建立回路l2中的電流i2，在i2由零增至最終值I2的過程中，回路l1中的電流始終保持為I1，如圖3-26所示。在i2增加的過程中產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果：結(jié)果之一在l2中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)ε22，企圖阻止i2的增加，而要消除ε22的影響，需外加一電壓U2=－ε22的電源，采用在回路l1中建立I1的同樣分析方法，可知外電源對(duì)回路l2做的功為

(3-126)式中，L2為回路l2的自感。結(jié)果之二是，在i2由零增至最終