2024-2025學年福建省泉州一中九年級（上）月考數學試卷（12月份）

第1頁（共1頁）2024-2025學年福建省泉州一中九年級（上）月考數學試卷（12月份）一.選擇題（共10小題）1．若，則的值為（）A． B． C． D．2．從數學的觀點看，對以下成語或詩句中的事件判斷正確的是（）A．詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件 B．詩句“離離原上草，一歲一枯榮”是不可能事件 C．成語“守株待兔”是隨機事件 D．成語“水中撈月”是隨機事件3．已知⊙O的半徑為4，點P到點O的距離為3，則點P與⊙O的位置關系是（）A．在圓內 B．在圓上 C．在圓外 D．不確定4．下列關于拋物線y＝﹣5（x+2）2﹣6的結論，正確的是（）A．開口方向向上 B．對稱軸為直線x＝2 C．當x＝﹣2時，函數有最小值為﹣6 D．當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小5．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題（單位：尺），已知井的截面圖為矩形ABCD，設井深為x尺，正確的是（）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸 C．在同圓或等圓中，相等的弧所對弦相等 D．長度相等弧是等弧7．如圖，已知△A′B′C′與△ABC是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3（）A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′與△ABC周長比為2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：28．關于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有兩個相等的實數根，則銳角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為5的⊙O，AB＝BC＝BE，則AD的長為（）A．5 B． C． D．1010．如圖，矩形ABCD，AD＝6，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是（）A．﹣1 B．+1 C．3.2 D．3二.填空題（共6小題）11．已知⊙O中最長的弦為14厘米，則此圓半徑為厘米．12．已知兩個相似三角形的相似比是4：9，那么它們對應的角平分線之比是．13．若α為銳角，且tan（α+15°）＝1．14．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的周長為32．若⊙O與BC，AC，F，D，則DF的長為．15．已知實數m，n滿足10m2+12m+1＝0，n2+12n+10＝0，則＝．16．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OAx+1與y軸交于點D．求∠DBC﹣∠CBE＝．三.解答題（共9小題）17．計算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．18．解方程：（1）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）（2）4（x+3）2＝（x﹣1）2．（用因式分解法）19．如圖，在△ABC中，D是AC上一點．（1）求證：∠ABD＝∠C；（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度數．20．如今很多初中生喜歡購買飲品飲用，既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷，為此某班數學興趣小組對本班同學一天飲用飲品的情況進行了調查，B：瓶裝礦泉水，C：碳酸飲料，根據統計結果繪制如下兩個不完整的統計圖，根據統計圖提供的信息（1）這個班級有名同學；并補全條形統計圖；（2）若該班同學每人每天只飲用一種飲品（每種僅限一瓶，價格如表），則該班同學每天用于飲品的人均花費是多少元？飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料平均價格（元/瓶）0234（2）在飲用白開水的同學中有4名班委干部，為了養(yǎng)成良好的生活習慣，班主任決定在這4名班委干部（其中有兩位班長記為A，B，其余兩位記為C，D），請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到2名班長的概率．21．《義務教育數學課程標準》（2022年）規(guī)定，切線長定理由“選學”改為“必學”，王老師布置一題：已知，如圖所示，⊙O及⊙O外一點P．（1）按要求完成作圖步驟并準確標注字母．尺規(guī)作圖：作出線段OP的垂直平分線交OP于點A；以點A為圓心，AP為半徑作⊙A（點B位于直線OP上側），連接PB．（2）請問（1）中作圖得到的PB是⊙O的切線嗎？若是，請說明理由．（3）設（1）中所作垂直平分線交BP于點C，若⊙O半徑為3，求OP的長．22．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅減小傳送帶與地面的夾角，已知原傳送帶AB長為．（1）新傳送帶AC＝m；（2）如果需要在貨物著地點C的左側留出5m的通道，試判斷與B點距離為的貨物MNQP是否需要挪走23．根據背景素材，探索解決問題．測算石拱橋拱圈的半徑素材1某數學興趣小組測算一座石拱橋拱圈的半徑（如圖1），石拱橋由矩形的花崗巖疊砌而成，上、下的花崗巖錯縫連接（花崗巖的各個頂點落在上、下花崗巖各邊的中點，如圖2所示）．素材2通過觀察發(fā)現A，B，C三個點都在拱圈上，A是拱圈的最高點，B，C兩個點都是花崗巖的頂點（如圖3）．素材3如果沒有帶測量工具，那么可以用身體的“尺子”來測，比如前臂長（包括手掌、手指）（如圖4），利用該方法測得一塊花崗巖的長和寬（如圖5）．問題解決任務1獲取數據通過觀察、計算B，C兩點之間的水平距離及鉛垂距離（高度差）．任務2分析計算通過觀察、計算石拱橋拱圈的半徑．注：測量、計算時，都以“肘”為單位．24．如圖在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點B，二次函數的圖象經過B，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接DC，DB，求S的最大值及此時點D坐標；（3）點P在拋物線的對稱軸上，平面內是否存在一點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在；若不存在，請說明理由：（4）如圖2，過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，直接寫出點D的橫坐標；若不存在25．已知：四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，BD、AC相交于點E，AB＝AC．（1）如圖1，求證：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如圖2，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G，求證：CE＝CG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AO并延長交BD于點H時，求CD的長．

2024-2025學年福建省泉州一中九年級（上）月考數學試卷（12月份）參考答案與試題解析題號12345678910答案ACADDCDDBB一.選擇題（共10小題）1．若，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴．故選：A．2．從數學的觀點看，對以下成語或詩句中的事件判斷正確的是（）A．詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件 B．詩句“離離原上草，一歲一枯榮”是不可能事件 C．成語“守株待兔”是隨機事件 D．成語“水中撈月”是隨機事件【解答】解：A、詩句“清明時節(jié)雨紛紛”是隨機事件；B、詩句“離離原上草，故B不符合題意；C、成語“守株待兔”是隨機事件；D、成語“水中撈月”是不可能事件；故選：C．3．已知⊙O的半徑為4，點P到點O的距離為3，則點P與⊙O的位置關系是（）A．在圓內 B．在圓上 C．在圓外 D．不確定【解答】解：由題意，得d＝3，r＝4．由d＜r，得點在圓內，故選：A．4．下列關于拋物線y＝﹣5（x+2）2﹣6的結論，正確的是（）A．開口方向向上 B．對稱軸為直線x＝2 C．當x＝﹣2時，函數有最小值為﹣6 D．當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小【解答】解：拋物線y＝﹣5（x+2）3﹣6中，A．開口方向向下，不符合題意；B．對稱軸為直線x＝﹣2，不符合題意；C．當x＝﹣6時，故選項C錯誤；D．當x＞﹣2時，選項D正確．故選：D．5．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題（單位：尺），已知井的截面圖為矩形ABCD，設井深為x尺，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∵DF＝0.4，BC＝6，CD＝x，∴，故選：D．6．下列說法正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸 C．在同圓或等圓中，相等的弧所對弦相等 D．長度相等弧是等弧【解答】解：A、錯誤；B、錯誤，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；C、正確．D、錯誤，等弧的長度相等；故選：C．7．如圖，已知△A′B′C′與△ABC是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3（）A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′與△ABC周長比為2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：2【解答】解：∵△A′B′C′與△ABC是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，∴S△A′B′C′：S△ABC＝2：9，△BCO∽△B′C′O′，∴OB′：OB＝2：5，∴OB′：BB′＝2：1．故選項A、B、C說法正確，即選項A、B、C不符合題意．故選：D．8．關于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有兩個相等的實數根，則銳角α的余角等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝7有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣）2﹣7×1×sinα＝0，即7﹣4sinα＝0，解得：sinα＝，∴銳角α等于30°，則銳角α的余角等于60°，故選：D．9．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為5的⊙O，AB＝BC＝BE，則AD的長為（）A．5 B． C． D．10【解答】解：連接BD、OA，∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDA＝∠BDC，∵四邊形ABCD內接于半徑為5的⊙O，∴∠BAD+∠C＝180°，∵BC＝BE，∴∠BEC＝∠C，∵∠BEC+∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠BED，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（AAS），∴∠ABD＝∠EBD，∵AB⊥BE，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，OA＝OD＝5，∴AD＝2．故選：B．10．如圖，矩形ABCD，AD＝6，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是（）A．﹣1 B．+1 C．3.2 D．3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，∴AC＝＝＝10，設△AD的內切圓O的半徑為r，則×10r+×6r＝，解得：r＝2，連接BQ，∵P是BC邊上的中點，點M是CQ的中點，∴PM是△BCQ的中位線，∴PM＝BQ，當BQ經過圓心O時，BQ最長，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，則BF＝AB﹣AF＝8﹣5＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣4＝4，∴BO＝＝＝2，∴BQ＝BO+OQ＝6+2，∴PM＝BQ＝；故選：B．二.填空題（共6小題）11．已知⊙O中最長的弦為14厘米，則此圓半徑為7厘米．【解答】解：∵直徑是圓中最長的弦，⊙O中最長的弦為14厘米，∴⊙O的直徑是14厘米．∴⊙O的半徑是7厘米．故答案為：7．12．已知兩個相似三角形的相似比是4：9，那么它們對應的角平分線之比是4：9．【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是4：9，∴它們對應的角平分線之比是7：9．故答案為：4：4．13．若α為銳角，且tan（α+15°）＝1．【解答】解：∵α為銳角，tan（α+15°）＝1，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，∴tanα＝．故答案為：．14．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的周長為32．若⊙O與BC，AC，F，D，則DF的長為4．【解答】解：∵⊙O與BC，AC，F，D，∴BD＝BE，CF＝CE，∵BC＝12，∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝12，∵△ABC的周長為32，∴AB+AC+BC＝32，∴AD+AF＝32﹣12﹣12＝8，∴AD＝AF＝4，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF為等邊三角形，∴DF＝AD＝6，故答案為：4．15．已知實數m，n滿足10m2+12m+1＝0，n2+12n+10＝0，則＝．【解答】解：由題知，因為n滿足n2+12n+10＝0，則n≠8，所以．又因為m滿足10m2+12m+6＝0，所以m和可看成方程10x4+12x+1＝0的兩個根，所以m+，所以＝．故答案為：．16．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OAx+1與y軸交于點D．求∠DBC﹣∠CBE＝45°．【解答】解：由題意得：OC＝3則：以下各點的坐標分別為：A（﹣1，6），0），﹣3），直線y＝﹣x+1與y軸交于點D，4），易證△ACO≌△DBO（SAS），∴∠DBO＝∠ACO，而∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝∠ACB，則二次函數的表達式為y＝x2﹣2x﹣5，則頂點E的坐標為（1，由點B、E坐標可知BE＝2，過點C作CF∥BE，則∠FCB＝∠CBE，∴∠DBC﹣∠CBE＝∠ACF，則直線CF所在的方程的k＝kBE＝7，方程為y＝2x﹣3，∴點F的坐標為（，0），在△ACF中，由A、C則AC＝，CF＝，過點A作AH⊥CF，設：CH＝x，則根據AH2＝AC5﹣CH2＝AF2﹣FH3，解得：x＝，則cos∠ACH＝＝，∴∠ACH＝45°，∴∠DBC﹣∠CBE＝∠ACH＝45°，故答案為45°．三.解答題（共9小題）17．計算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．【解答】解：原式＝﹣2+﹣（3﹣＝﹣6+﹣2+＝﹣3．18．解方程：（1）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）（2）4（x+3）2＝（x﹣1）2．（用因式分解法）【解答】解：（1）a＝4，b＝3，Δ＝b6﹣4ac＝36﹣4×4×（﹣2）＝41＞0，∴，∴，；（2）4（x+3）3﹣（x﹣1）2＝5，[2（x+3）+（x﹣8）][2（x+3）﹣（x﹣4）]＝0，（3x+4）（x+7）＝0，5x+5＝0或x+8＝0，x1＝﹣8，．19．如圖，在△ABC中，D是AC上一點．（1）求證：∠ABD＝∠C；（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度數．【解答】（1）證明：∵＝，∠DAB＝∠BAC，∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠C；（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，由（1）知，∠ABD＝∠C＝40°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝80°．20．如今很多初中生喜歡購買飲品飲用，既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷，為此某班數學興趣小組對本班同學一天飲用飲品的情況進行了調查，B：瓶裝礦泉水，C：碳酸飲料，根據統計結果繪制如下兩個不完整的統計圖，根據統計圖提供的信息（1）這個班級有50名同學；并補全條形統計圖；（2）若該班同學每人每天只飲用一種飲品（每種僅限一瓶，價格如表），則該班同學每天用于飲品的人均花費是多少元？飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料平均價格（元/瓶）0234（2）在飲用白開水的同學中有4名班委干部，為了養(yǎng)成良好的生活習慣，班主任決定在這4名班委干部（其中有兩位班長記為A，B，其余兩位記為C，D），請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到2名班長的概率．【解答】解：（1）這個班級的學生人數為15÷30%＝50（人），故答案為：50；選擇C飲品的人數為50﹣（10+15+5）＝20（人），補全條形統計圖如下：（2）＝2.2（元），答：該班同學每天用于飲品的人均花費是4.2元；（3）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有12種等可能結果，其中恰好抽到2名班長的有7種結果，所以恰好抽到2名班長的概率為＝．21．《義務教育數學課程標準》（2022年）規(guī)定，切線長定理由“選學”改為“必學”，王老師布置一題：已知，如圖所示，⊙O及⊙O外一點P．（1）按要求完成作圖步驟并準確標注字母．尺規(guī)作圖：作出線段OP的垂直平分線交OP于點A；以點A為圓心，AP為半徑作⊙A（點B位于直線OP上側），連接PB．（2）請問（1）中作圖得到的PB是⊙O的切線嗎？若是，請說明理由．（3）設（1）中所作垂直平分線交BP于點C，若⊙O半徑為3，求OP的長．【解答】解：（1）如圖，PB即為所求，（2）PB是⊙O的切線，理由如下：如（1）圖，連接OB，∵OP是⊙A的直徑，∴∠OBP＝90°，即PB⊥OB于點B，∴PB是⊙O的切線．（3）如（1）圖，連接OC，∵AC為OP的垂直平分線，∴OC＝CP＝5，在Rt△BOC中，，∴BP＝2+5＝9，在Rt△BOP中，．22．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅減小傳送帶與地面的夾角，已知原傳送帶AB長為．（1）新傳送帶AC＝12m；（2）如果需要在貨物著地點C的左側留出5m的通道，試判斷與B點距離為的貨物MNQP是否需要挪走【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝2（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12（m），答：新傳送帶AC的長度為12m；故答案為：12；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC?cos∠ACD＝6（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝6（m），∴BC＝CD﹣BD＝（6﹣6）m，∴PC＝BP﹣BC＝6﹣（6，∵6＞5，∴貨物MNQP不需要挪走．23．根據背景素材，探索解決問題．測算石拱橋拱圈的半徑素材1某數學興趣小組測算一座石拱橋拱圈的半徑（如圖1），石拱橋由矩形的花崗巖疊砌而成，上、下的花崗巖錯縫連接（花崗巖的各個頂點落在上、下花崗巖各邊的中點，如圖2所示）．素材2通過觀察發(fā)現A，B，C三個點都在拱圈上，A是拱圈的最高點，B，C兩個點都是花崗巖的頂點（如圖3）．素材3如果沒有帶測量工具，那么可以用身體的“尺子”來測，比如前臂長（包括手掌、手指）（如圖4），利用該方法測得一塊花崗巖的長和寬（如圖5）．問題解決任務1獲取數據通過觀察、計算B，C兩點之間的水平距離及鉛垂距離（高度差）．任務2分析計算通過觀察、計算石拱橋拱圈的半徑．注：測量、計算時，都以“肘”為單位．【解答】解：任務1：根據素材3，觀察圖形可知一塊花崗巖的長為4肘，根據素材1、素材2，B，C兩點之間的水平距離有8塊花崗巖的長，B，C兩點之間的鉛垂距離（高度差）有4塊花崗巖的寬，答：B，C兩點之間的鉛垂距離（高度差）為4肘；任務4：如圖，作過點C的水平線，垂足為E，記圓心為O、BO，觀察圖形，CE＝6.5×5＝13（肘），DE＝4（肘），∴設OE＝a，則DO＝DE+OE＝4+a，∵OB3＝DB2+OD2，OC2＝OE2+EC2，OB＝OC，∴（5+a）2+112＝a8+132，解得：a＝4，∴OC＝＝＝，∴石拱橋拱圈的半徑為肘．答：石拱橋拱圈的半徑肘．24．如圖在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點B，二次函數的圖象經過B，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，連接DC，DB，求S的最大值及此時點D坐標；（3）點P在拋物線的對稱軸上，平面內是否存在一點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在；若不存在，請說明理由：（4）如圖2，過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，直接寫出點D的橫坐標；若不存在【解答】解：（1）∵一次函數的圖象與x軸交于點B，∴點B（4，0），﹣6），∵二次函數的圖象經過B，∴，解得：，∴拋物線的解析式；（2）如圖4所示：過點D作DF⊥x軸，交BC與點F．設D，則F，∴FD＝，∴，∵﹣1＜5，∴a＝2時，S最大．此時，點D坐標為（2；（3）存在，理由如下：∵，∴拋物線的對稱軸為直線：，設，以BC為對角線時，∴PC＝PB，∴，解得：e＝0，即，當BP為對角線時，∴PC＝CB，∴，解得：，，點P坐標為或；當CP為對角線時，∴PB＝CB，∴，解得：，，點P坐標為或；綜上：P的坐標為：或或或或．（4）如圖2所示：過點D作DR⊥y垂足為R，DR交BC與點G，∵A（﹣1，0），3），﹣2），∴，，AB＝5，∴AC4+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形．取AB的中點E，連接CE，∴∠OEC＝8∠ABC．∴．當∠MCD＝4∠ABC時，則．設，則DR＝x，．∴，解得：x＝7（舍去）或x＝2．∴點D的橫坐標為2．當∠CDM＝7∠ABC時，設M