移動(dòng)機(jī)器人學(xué) 課件第五章 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院《移動(dòng)機(jī)器人學(xué)》

華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院第五章

移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)偏航角、俯仰角和翻滾角的定義圖中，Y軸與機(jī)器人的縱軸對(duì)齊，X軸指向右側(cè)，Z軸指向上方，形成一個(gè)右手系。這種類型的坐標(biāo)系定義通常用于機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域。

移動(dòng)機(jī)器人的坐標(biāo)系圖中，Y軸與機(jī)器人的縱軸對(duì)齊，X軸指向右側(cè)，Z軸指向上方，一個(gè)右手系。這種類型的坐標(biāo)系定義通常用于機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域。移動(dòng)機(jī)器人的偏航偏航角的旋轉(zhuǎn)矩陣現(xiàn)在求出基本旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣。對(duì)于偏航(見下圖)，坐標(biāo)軸下標(biāo)“1”代表旋轉(zhuǎn)前的機(jī)器人坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸下標(biāo)“2”代表正偏航旋轉(zhuǎn)量為θ后的機(jī)器人坐標(biāo)系。z軸方向是從紙上出來的。值得注意的是，圍繞z軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)被視為正偏航。求解目標(biāo)是在原坐標(biāo)系1中表達(dá)一個(gè)點(diǎn)的位置，如何將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在新坐標(biāo)系2中給出。對(duì)于z軸和y軸，有

因此，可以得到偏航角的旋轉(zhuǎn)矩陣為5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)俯仰角的旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)于俯仰(見下圖)，x軸方向?yàn)閺募堉谐鰜?。注意，前端向上?duì)應(yīng)的是正俯仰。求解目標(biāo)同樣是在原坐標(biāo)系中表達(dá)一個(gè)點(diǎn)的位置，如何將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在新的坐標(biāo)系中給出。對(duì)于x軸和z軸，有5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)

移動(dòng)機(jī)器人的俯仰因此，可以得到俯仰角的旋轉(zhuǎn)矩陣為翻滾角的旋轉(zhuǎn)矩陣最后處理翻滾。這是圍繞y軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其結(jié)果是左面朝上被定義為正翻滾如下圖所示，y軸方向?yàn)閺募堉谐鰜?。同樣將原坐?biāo)系中表達(dá)的一個(gè)點(diǎn)的位置，在新的坐標(biāo)系中給出。對(duì)于x軸和z軸，有5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)

移動(dòng)機(jī)器人的翻滾因此，可以得到翻滾角的旋轉(zhuǎn)矩陣為一般旋轉(zhuǎn)矩陣現(xiàn)在來定義一般的旋轉(zhuǎn)矩陣。在一個(gè)坐標(biāo)系被偏航、俯仰和翻滾之后，按照這個(gè)特定的順序，在新坐標(biāo)系中給出坐標(biāo)的點(diǎn)可以通過以下操作得到其在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo):5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)轉(zhuǎn)換回原坐標(biāo)是按照旋轉(zhuǎn)的相反順序進(jìn)行的。即翻滾是最后一次旋轉(zhuǎn)，因此，它是對(duì)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行操作的第一個(gè)矩陣。偏航是第一個(gè)旋轉(zhuǎn)，因此，它是對(duì)有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行操作的最后一個(gè)矩陣。將這三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣按照上面的順序相乘，就得到了一般的旋轉(zhuǎn)矩陣:齊次轉(zhuǎn)換在一些情況下，一個(gè)坐標(biāo)系不僅相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，而且還發(fā)生了平移。假設(shè)坐標(biāo)系2相對(duì)于坐標(biāo)系1既旋轉(zhuǎn)又平移，那么一個(gè)最初相對(duì)于第2坐標(biāo)系表示的向量相對(duì)于第1坐標(biāo)系可以表示如下:5.1機(jī)器人旋轉(zhuǎn)姿態(tài)對(duì)于一個(gè)包含平移和旋轉(zhuǎn)的單一變換:其中，5.2移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型非完整移動(dòng)機(jī)器人概述實(shí)際上，機(jī)器人的機(jī)械系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，通常會(huì)受到各種各樣的約束，包括穩(wěn)定與不穩(wěn)定約束、幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束、單邊約束與雙邊約束等。移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型是軌跡跟蹤研究的基礎(chǔ),但在機(jī)器人的數(shù)學(xué)建模過程中存在許多干擾問題，包括機(jī)器人的總質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、安裝精度誤差等。因此，在建立移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型前，本節(jié)對(duì)模型做以下規(guī)定:1)移動(dòng)機(jī)器人整體視為一個(gè)剛體。2)移動(dòng)機(jī)器人始終在地面上做二維平面運(yùn)動(dòng)。3)移動(dòng)機(jī)器人的兩個(gè)輪子為純翻滾運(yùn)動(dòng)。4)移動(dòng)機(jī)器人的輪子在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終與地面接觸，且接觸點(diǎn)與輪中心連線始終與地面垂直。5.2移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

所有輪子的翻滾約束可集合成

5.2移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型機(jī)器人坐標(biāo)系全局坐標(biāo)系：也稱為世界坐標(biāo)系，是一個(gè)固定的參考坐標(biāo)系，其他坐標(biāo)系中的變量統(tǒng)一變換到世界坐標(biāo)系中進(jìn)行描述。局部坐標(biāo)系：局部坐標(biāo)系基于移動(dòng)機(jī)器人構(gòu)建，其隨著移動(dòng)機(jī)器人的移動(dòng)而移動(dòng)，局部坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系之間的位姿描述也是變化的。假設(shè)機(jī)器人當(dāng)前在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x,y)，偏航角為θ，則此時(shí)機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的位姿向量可以表示為

移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系5.2移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型根據(jù)移動(dòng)機(jī)器人的非完整性約束，可以得到如下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

局部坐標(biāo)信息變換到全局坐標(biāo)系：5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型從幾何關(guān)系中可以得到前輪轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)模型前輪轉(zhuǎn)向的移動(dòng)機(jī)器人。在這里，車輛通常通過后輪提供動(dòng)力，而轉(zhuǎn)向是通過轉(zhuǎn)動(dòng)前輪的制動(dòng)器來實(shí)現(xiàn)的。

前輪轉(zhuǎn)向機(jī)器人原理圖機(jī)器人坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)的完整運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組為換算成世界坐標(biāo)系，即5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

從當(dāng)前機(jī)器人位置到目的地的方向可以表示為現(xiàn)在有可能出現(xiàn)的情況是機(jī)器人的速度超到預(yù)期。在這種情況下，可以修改指令速度的算法，使之成為控制策略采用飽和控制的方式。5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型前輪轉(zhuǎn)向機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制前輪轉(zhuǎn)向的后輪驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程。

動(dòng)態(tài)方程被看作非線性的，控制非線性系統(tǒng)的一種方法是，首先定義一個(gè)參考

5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型注意到：

解決方法變成注意，這里的系統(tǒng)沒有被近似為線性系統(tǒng)，而是在模型中保留了非線性。這個(gè)控制方程必須受制于最大轉(zhuǎn)向角率和最大轉(zhuǎn)向角的各自約束，即

5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型雙輪驅(qū)動(dòng)差速運(yùn)動(dòng)模型雙輪差速移動(dòng)機(jī)器人通常由其安裝在底部后方的兩個(gè)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)輪提供動(dòng)力。前方安裝隨動(dòng)輪起支撐作用。在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪以相同速率和方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)。以相同速率、不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)原地旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度為0°)。通過動(dòng)態(tài)修改角速度和線速度或者驅(qū)動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)方向就可以實(shí)現(xiàn)任意運(yùn)動(dòng)路徑。

移動(dòng)機(jī)器人差速運(yùn)動(dòng)模型5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

此時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人的線速度及角速度可以表示為由上式可知，小車的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)半徑可以表示為

5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型全向驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型常見的移動(dòng)機(jī)器人模型還有全向運(yùn)動(dòng)型，它可以實(shí)現(xiàn)在平面內(nèi)的任意方向移動(dòng)。常見的全向驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人有三輪全向型、四輪全向型和六輪全向型，此處以四輪全向型為例說明。假設(shè)小車當(dāng)前以v速度，向與x軸成α角的方向運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)小車的速度分量可以表示為

根據(jù)幾何關(guān)系可知，小車移動(dòng)速度與四個(gè)車輪之間的關(guān)系可以表示為5.3運(yùn)動(dòng)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為矩陣形式，可得其轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的位姿為則移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型可以表示為5.4運(yùn)動(dòng)控制開環(huán)控制：指給定系統(tǒng)的輸入序列，使機(jī)器人從初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到期望狀態(tài)。優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，無需反饋檢測(cè)裝置，缺點(diǎn)是控制精度較低，系統(tǒng)無法精準(zhǔn)跟蹤期望的輸出，適合對(duì)精度要求不高的場(chǎng)合。閉環(huán)控制：增加了系統(tǒng)的輸出反饋，對(duì)誤差進(jìn)行糾正，優(yōu)點(diǎn)是能精準(zhǔn)跟蹤系統(tǒng)期望的輸出，控制精度更高，缺點(diǎn)是增加了檢測(cè)裝置，使系統(tǒng)變得復(fù)雜且成本較高，適合精度要求高的場(chǎng)合。閉環(huán)控制策略中最經(jīng)典的算法是PID控制算法，其數(shù)學(xué)描述為：

移動(dòng)機(jī)器人最主要的運(yùn)動(dòng)控制是路徑跟蹤控制，其任務(wù)是控制移動(dòng)機(jī)器人使其運(yùn)動(dòng)軌跡漸進(jìn)收斂于期望軌跡。沒有時(shí)間上的約束,操作起來比較靈活。它強(qiáng)調(diào)首要的任務(wù)是到達(dá)空間位置,其次才考慮機(jī)器人本身的機(jī)動(dòng)性,所以它有很好的靈活性和魯棒性，在實(shí)際應(yīng)用中更加方便。5.5機(jī)器人里程計(jì)里程計(jì)是一種利用移動(dòng)機(jī)器人傳感器得到的數(shù)據(jù)來估計(jì)當(dāng)前移動(dòng)機(jī)器人位姿的裝置，一般是指在移動(dòng)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪上安裝的編碼器和陀螺儀。光電編碼器通過計(jì)數(shù)一定采樣時(shí)間內(nèi)光敏元件上接收到的脈沖數(shù)來測(cè)定速度。理論上的里程計(jì)分辨率為

5.5機(jī)器人里程計(jì)若以直線模型為主,同時(shí)在位姿偏航角差值的推測(cè)中使用圓弧模型,可描述如下:

2）直線模型直線模型假設(shè)機(jī)器人在極短時(shí)間內(nèi)偏航角的變化為零,是對(duì)圓弧模型的一種簡(jiǎn)化,適用于對(duì)機(jī)器人位姿要求不是很精確的情況,可有效降低計(jì)算的復(fù)雜度,利于計(jì)算機(jī)編程。直線模型因假設(shè)機(jī)器人在極短時(shí)間內(nèi)的