河南省開封市五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

開封五校2024~2025學(xué)年上學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章~第三章第2節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線和直線的位置關(guān)系為（）A.垂直 B.平行C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】由兩直線的斜率關(guān)系即可判斷.【詳解】直線和直線的斜率分別為，因，所以．故選：A．2.已知雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可解題.【詳解】由題意可知，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D.3.已知向量，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意先求，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，若，則，解得．故選：B．4.已知離心率為3的雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（）A.13 B.21 C.29 D.31【答案】C【解析】【分析】由雙曲線離心率為3可得，根據(jù)雙曲線與橢圓焦點(diǎn)相同，得，求解可得.【詳解】由題意解得，所以．故選：C．5.已知圓及圓，則與圓都相切的直線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)圓的一般方程得出圓心和半徑，再判斷圓與圓的位置關(guān)系得出兩圓內(nèi)切即可得出切線個(gè)數(shù).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，所以，圓內(nèi)切，所以與圓都相切的直線只有1條．故選：A．6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在軸下方），若，則的周長與的比值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義得到的周長為,運(yùn)用橢圓對稱性可得，作比，結(jié)合離心率公式得到答案.【詳解】設(shè)，由橢圓定義易得的周長為，由對稱性可得，所以，所以的周長與的比值為．故選：B．7.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計(jì)算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對應(yīng)點(diǎn).設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以.又喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為.由題意可知，代入雙曲線方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.8.已知橢圓：()的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，的延長線交橢圓于點(diǎn)，且，的面積為，記與的面積分別為，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由橢圓的定義，幾何性質(zhì)，余弦定理解焦點(diǎn)三角形得出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，，焦距，由的面積為，得，由余弦定理，得，則，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，由橢圓定義知，所以，所以，所以，，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓的定義，性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形的面積計(jì)算等知識，計(jì)算量較大.具體做法可畫出圖形，輔助理解；由橢圓的定義，幾何性質(zhì)，余弦定理解焦點(diǎn)三角形得出結(jié)果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線（其中為常數(shù)），則曲線可能為（）A.平行于軸的兩條直線B.單位圓C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圓，雙曲線，橢圓的方程特征，依次分析各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，當(dāng)，即時(shí)，，表示平行于軸的兩直線，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，故B正確；對于C，當(dāng)，即或時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；對于D，當(dāng)，且時(shí)，則，所以，因此曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知雙曲線與直線無公共點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】由題意可得：漸近線方程為，分析，，進(jìn)而可得，再結(jié)合漸近線結(jié)合性質(zhì)可得，即可得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則的右焦點(diǎn)到的距離，即，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)榕c直線無公共點(diǎn)，則，所以的離心率．故選：BC．11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線經(jīng)過點(diǎn)，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件求出曲線方程，再運(yùn)用曲線的對稱性、放縮解決曲線所圍圖形面積以及整點(diǎn)的概念，分別分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項(xiàng)正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖形的信息，求出曲線方程，后運(yùn)用性質(zhì)，如對稱性，整點(diǎn)，面積借助放縮成半圓即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線與間的距離為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得兩條直線平行，由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】將直線化為，所以兩直線之間的距離．故答案為：.13.已知橢圓的離心率為，若橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離不小于，則長半軸長的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先判斷橢圓在上方，與平行且距離為的直線方程，聯(lián)立與橢圓方程，由根的判別式得到不等式，結(jié)合離心率，得到.【詳解】過第二，三，四象限，由題意得橢圓與直線沒有公共點(diǎn)，故在橢圓下方，設(shè)直線在上方，與平行，且它們之間距離為，設(shè)直線方程為，故，解得或7，時(shí)，直線在下方，不合要求，當(dāng)時(shí)，直線在上方，則的方程為，由整理得，因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線的最短距離不小于，所以，整理得，由橢圓的離心率為，可知，所以，所以，則，所以．故答案為：14.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是底面、側(cè)面的中心，點(diǎn)分別是棱，所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)探索兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，確定最小時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè),則，因?yàn)?所以,即，所以,又,則，當(dāng)時(shí),取得最小值，此時(shí),即，所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即,令,解得,所以,則點(diǎn)到平面距離為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.根據(jù)所給條件求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)；（2）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且過點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)得到左焦點(diǎn)，也得到c，再根據(jù)定義求得a，再得到b，即可.（2）所求雙曲線的方程為，代入定點(diǎn)可解.【小問1詳解】由題意知的右焦點(diǎn)為，則其左焦點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)所求雙曲線的方程為，又過點(diǎn)，所以，解得，所以所求雙曲線的方程為，即標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知圓.（1）直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積S的最大值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分類討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)垂徑定理求弦長，結(jié)合圓的性質(zhì)求面積最大值.【小問1詳解】由題意得，圓的半徑，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，所以直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，顯然與圓相切；綜上，直線的方程為或.【小問2詳解】由題意得圓心到直線的距離，所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，則面積的最大值.17.如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直先證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解即可．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．【小?詳解】因?yàn)?，所以，則．由（1）可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可知，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量n1=則即令，解得，，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．18.已知雙曲線的漸近線上一點(diǎn)與右焦點(diǎn)的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，與漸近線交于、兩點(diǎn)，與在軸的上方，與在軸的下方．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）設(shè)、分別為的面積和的面積，求的最大值．【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線距離求出，再求出即可得解；（2）（?。┲本€與雙曲線方程聯(lián)立消元后由根與系數(shù)關(guān)系及直線與右支相交可得；（ⅱ）根據(jù)弦長公式及點(diǎn)到直線的距離分別求出三角形面積，根據(jù)面積表達(dá)式換元后利用不等式性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，且，因?yàn)榈街本€的距離為，故，則，故雙曲線的方程為：．【小問2詳解】如圖，（?。┰O(shè)Ax1,y1消元得，則，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，故，則，故的取值范圍為?1,1．（ⅱ）由（?。┲?，，原點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，，聯(lián)立，則，，，，則，而，令，則，當(dāng)即時(shí)取到等號．綜上所述，的最大值為．19.由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，過分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計(jì)算可得；（2）①設(shè)，則直線的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進(jìn)而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進(jìn)而得其對應(yīng)的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式得、，進(jìn)而得．【小問1詳解】對于橢圓：，則長軸長為，短軸長為，焦距為，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.【小問2詳解】①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以．