2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面解析集合（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面解析集合（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠A．23 B．12 C．13 2．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（）A．x22+y2＝1 B．C．x24+y233．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與yA．13 B．12 C．23 4．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxA．63 B．33 C．23 5．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（）A．5 B．2 C．3 D．26．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓A．x245+y2C．x227+y7．設(shè)A，B是橢圓C：x23+y2m=1長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)MA．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，3]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，3]∪[4，+∞）8．直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[2，32] D．[22，32]9．已知圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直線x+y+2＝0所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣810．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．-43 B．-34 C．3二．填空題（共5小題）11．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若F1A→=12．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN13．直線y＝x+1與圓x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝．14．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E15．設(shè)直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝23，則圓C的面積為．三．解答題（共5小題）16．已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為32的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若AP→=3PB→，求|17．已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2＝1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG→?GB→=8．P為直線x＝6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點(diǎn)A（2（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．19．設(shè)圓x2+y2+2x﹣15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．20．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若OM→?ON→=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面解析集合（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠A．23 B．12 C．13 【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=36（x+由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，則P（2c，3c），代入直線AP：3c=36（2c+a），整理得：a＝4∴題意的離心率e=c故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．2．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過點(diǎn)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（）A．x22+y2＝1 B．C．x24+y23【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得a=3，b=【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|=a∴|AF2|＝a，|BF1|=32∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y軸上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(根據(jù)cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得1a+4-2a22a=0，解得b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以橢圓C的方程為：x23故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與yA．13 B．12 C．23 【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y＝k（x+a），分別令x＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)直線AE的方程為y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，ka2由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH＝kBM，即為ka2化簡可得a-ca+c=可得e=c另解：由△AMF∽△AEO，可得a-由△BOH∽△BFM，可得aa即有2(a-c)a=可得e=c故選：A．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxA．63 B．33 C．23 【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab＝0相切，可得原點(diǎn)到直線的距離2aba【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab＝0相切，∴原點(diǎn)到直線的距離2aba2+b2=a，化為：∴橢圓C的離心率e=c故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（）A．5 B．2 C．3 D．2【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】設(shè)M在雙曲線x2a2-y2b2=1的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，【解答】解：設(shè)M在雙曲線x2a且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，則M的坐標(biāo)為（﹣2a，3a），代入雙曲線方程可得，4a2可得a＝b，c=a2即有e=c若M在雙曲線x2a2-y故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓A．x245+y2C．x227+y【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，利用“點(diǎn)差法”可得x1+x2a2+y1-y2x1-x【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得x1相減得x1∴x1∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，kAB∴2a化為a2＝2b2，又c＝3=a2-b2，解得a2＝18，∴橢圓E的方程為x2故選：D．【點(diǎn)評】熟練掌握“點(diǎn)差法”和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵．7．設(shè)A，B是橢圓C：x23+y2m=1長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)MA．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，3]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，3]∪[4，+∞）【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】分類討論；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】分類討論，由要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，當(dāng)假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，tan∠AMO=3m≥tan60°，當(dāng)即可求得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，m＞3，tan∠AMO=m3≥【解答】解：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則0＜m＜3時，設(shè)橢圓的方程為：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），設(shè)A（﹣a，0），B（a，0），M則a2﹣x2=a∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα=yx+a，則tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=-∴tanγ=-2ab2c2y，當(dāng)∴M位于短軸的端點(diǎn)時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=3m≥tan60解得：0＜m≤1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，m＞3，當(dāng)M位于短軸的端點(diǎn)時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=m3≥tan60°=3，解得：∴m的取值范圍是（0，1]∪[9，+∞）故選A．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，特殊角的三角函數(shù)值，考查分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．8．直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[2，32] D．[22，32]【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【答案】A【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝22，設(shè)P（2+2cosθ，2sinθ），點(diǎn)P到直線x+y+2＝0的距離：d=|2+2cosθ+【解答】解：∵直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=4+4=2∵點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，∴設(shè)P（2+2cosθ，∴點(diǎn)P到直線x+y+2＝0的距離：d=|2+∵sin（θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d=|2sin∴△ABP面積的取值范圍是：[12×22×2，12故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角形面積的取值范圍的求法，考查直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．9．已知圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直線x+y+2＝0所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【答案】B【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出弦心距，再由條件根據(jù)弦長公式求得a的值．【解答】解：圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0即（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣a，故弦心距d=|-1+1+2|再由弦長公式可得2﹣a＝2+4，∴a＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．-43 B．-34 C．3【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓．【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離方程，解得答案．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心坐標(biāo)為：（1，4），故圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離d=|a解得：a=-故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是圓的一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．二．填空題（共5小題）11．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若F1A→=【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；向量與圓錐曲線．【答案】2．【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得OB＝F1O＝c，設(shè)B（x1，y1），A（x2，y2），由點(diǎn)B在漸近線y=bax上，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再由A為F1B的中點(diǎn)，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，把A代入漸近線y=【解答】解：如圖，∵F1A→=AB→，∴A為F1B的中點(diǎn)，且O∴AO為△F1F2B的中位線，又∵F1B→?F2B→=0，∴F1B⊥F2B設(shè)B（x1，y1），A（x2，y2），∵點(diǎn)B在漸近線y=b∴x12+又∵A為F1B的中點(diǎn)，∴x2∵A在漸近線y=-∴b2=-ba?a-c2故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．12．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離，推出a，c的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcos30°=3可得：|ab|a2+b故答案為：23【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．13．直線y＝x+1與圓x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝22．【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出圓的圓心與半徑，通過點(diǎn)到直線的距離以及半徑、半弦長的關(guān)系，求解即可．【解答】解：圓x2+y2+2y﹣3＝0的圓心（0，﹣1），半徑為：2，圓心到直線的距離為：|0+1+1|2所以|AB|＝222-(故答案為：22．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長的求法，考查計算能力．14．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為x【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出B（-53c，-13b2），代入橢圓方程，結(jié)合1＝b2【解答】解：由題意，F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），AF2⊥x軸，∴|AF2|＝b2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，b2），設(shè)B（x，y），∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→=∴（﹣c﹣c，﹣b2）＝3（x+c，y），∴B（-53c，-1代入橢圓方程可得(-∵1＝b2+c2，∴b2=23，c2=13，∴x故答案為：x2+32【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．15．設(shè)直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝23，則圓C的面積為4π．【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圓心坐標(biāo)為（0，a），半徑為a2+2，利用圓的弦長公式，求出【解答】解：圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圓心坐標(biāo)為（0，a），半徑為a2∵直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝23，∴圓心（0，a）到直線y＝x+2a的距離d=|即a22+3＝a解得：a2＝2，故圓的半徑r＝2．故圓的面積S＝4π，故答案為：4π【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．三．解答題（共5小題）16．已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為32的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若AP→=3PB→，求|【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線的定義可得．（2）若AP→=3PB→，則y1＝﹣3y2，?x1＝﹣3x2+4t，再結(jié)合韋達(dá)定理可解得t＝1，x1＝3，x【解答】解：（1）設(shè)直線l的方程為y=32（x﹣t），將其代入拋物線y2＝3x得：94x2﹣（92t+3）x+9設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=92t+394=2t+43，①，x由拋物線的定義可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t+43+32直線l的方程為y=32x（2）方法一：若AP→=3PB→，則y1＝﹣3y2，∴32（x1﹣t）＝﹣3×32（x2﹣t），化簡得x1＝﹣3由①②③解得t＝1，x1＝3，x2=1∴|AB|=1+方法二：由AP→=3PB→可得y1＝﹣由y=32x+my2=3x可得所以y1+y2＝2，從而﹣3y2+y2＝2，故y2＝﹣1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2∴|AB|=（也可利用|AB【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬中檔題．17．已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2＝1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG→?GB→=8．P為直線x＝6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出AG→?GB→=a2﹣1＝8，解出a（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程求出C，D的坐標(biāo)，求出直線CD的方程，判斷即可．【解答】解：如圖所示：（1）由題意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴AG→=（a，1），GB→=（a，﹣1），AG→?GB→=a2﹣1故橢圓E的方程是x29+y2（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），設(shè)P（6，m），則直線PA的方程是y=m9（x聯(lián)立x29+y2=1y=m9(x+3)?（9+m2）x由韋達(dá)定理﹣3xC=9m2-81代入直線PA的方程為y=m9（xyC=6mm2+9，即C直線PB的方程是y=m3（x﹣聯(lián)立方程x29+y2=1y=m3(x-3)?（1+m2）x由韋達(dá)定理3xD=9m2-9代入直線PB的方程為y=m3（x﹣3）得yD即D（3m2-則①當(dāng)xC＝xD即27-3m29+m此時xC＝xD=32，即CD為直線x②當(dāng)xC≠xD時，直線CD的斜率kCD=y∴直線CD的方程是y--2m1y=4m3(3-m2)（x-綜合①②故直線CD過定點(diǎn)（32，0【點(diǎn)評】本題考查了求橢圓的方程問題，考查直線和橢圓的關(guān)系以及直線方程問題，是一道綜合題．18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點(diǎn)A（2（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的綜合．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可得a＝2，b＝1，則c=a2-b2（2）方法一、設(shè)P（x0，y0），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|．由SABNM=12?|AN方法二、由題意設(shè)P（2cosθ，sinθ），其中θ∈（π，3π2），分別寫出PA、PB所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，再求出|BM|、|AN【解答】（1）解：∵橢圓C：x2a2+y2b2=1過點(diǎn)A（2∴a＝2，b＝1，則c=∴橢圓C的方程為x24+y（2）證明：方法一、如圖，設(shè)P（x0，y0），則kPA=y0x0取x＝0，得yMkPB=y0-取y＝0，得xN∴|AN|=2-|BM|＝1-y∴S=-=1∴四邊形ABNM的面積為定值2．方法二、由題意設(shè)P（2cosθ，sinθ），其中θ∈（π，3π則PA：y-0sinθ=x-22cosθ-2同理求得N（2cosθ∴S四邊形ABNM=12|AN=12【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題．19．設(shè)圓x2+y2+2x﹣15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）求得圓A的圓心和半徑，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB＝ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：x＝my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y＝﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．（Ⅱ）另解：設(shè)∠MBA＝θ（θ∈（0，π）），利用余弦定理結(jié)合|MA|+|MB|＝4，可解得|MB|=32-cosθ，同理|NB|=32+cosθ，從而可得|MN【解答】解：（Ⅰ）證明：圓x2+y2+2x﹣15＝0即為（x+1）2+y2＝16，可得圓心A（﹣1，0），半徑r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即為∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，則|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4＞|AB|，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b=a則點(diǎn)E的軌跡方程為x24+y23（Ⅱ）橢圓C1：x24+y23=1，設(shè)直線由PQ⊥l，設(shè)PQ：y＝﹣m（x﹣1），由x=my+13x2+4y2=12可得（3m2+4設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=-6m3m2+4則|MN|=1+m2?|y1﹣y2|=1+m2?36(4mA到PQ的距離為d=|-|PQ|＝2r2-d則四邊形MPNQ面積為S=12|PQ|?|MN|=12?4＝24?1+m23當(dāng)m＝0時，S取得最小值12，又11+m2＞0，可得S＜24?即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，83）．第二問另解：設(shè)∠MBA＝θ（θ∈（0，π）），則在△MAB中，應(yīng)用余弦定理有|MA|2＝|MB|2+|AB|2﹣2|MB||AB|cosθ，結(jié)合|MA|+|MB|＝4，可解得|MB|=3類似的|NB|=3從而|MN|＝|MB|+|NB|=3此時直線PQ的方程為xcosθ＝y(tǒng)sinθ+cosθ，于是圓的弦長|PQ|＝242-(于是可得四邊形MPNQ的面積S=12|MN|?|PQ|于是四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，83）．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．20．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若OM→?ON→=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】開放型；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．（2）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y＝kx+1，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解．【解答】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R＝1．故由|2k-故當(dāng)4-73＜k＜4+73，過點(diǎn)A（0，1）的直線與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝（2）設(shè)M（x1，y1）；N（x2，y2），由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y＝kx+1，代入圓C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，∴x1+x2=4(1+k)1+k2，x∴y1?y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1=71+k2?k2+k?由OM→?ON→=x1?x2+y1?y2=12k2+4故直線l的方程為y＝x+1，即x﹣y+1＝0．圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．所以|MN|＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長公式的計算，考查學(xué)生的計算能力．

考點(diǎn)卡片1．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=e（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=a即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?【命題方向】本知識點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c(diǎn)，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．2．點(diǎn)到直線的距離公式3235137:點(diǎn)到直線的距離公式3．直線與圓相交的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與圓的關(guān)系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼?dāng)圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；②當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；③當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．【解題方法點(diǎn)撥】例：寫出直線y＝x+m與圓x2+y2＝1相交的一個必要不充分條件：解：直線x﹣y+m＝0若與圓x2+y2＝1相交，則圓心（0，0）到直線的距離d＜1，即d=|∴|m|＜2即-2∴滿足-2故答案為：滿足-2這是一道符合高考命題習(xí)慣的例題，對于簡單的知識點(diǎn)，高考一般都是把幾個知識點(diǎn)結(jié)合在一起，這也要求大家知識一定要全面，切不可投機(jī)取巧．本題首先根據(jù)直線與圓的關(guān)系求出滿足要求的m的值；然后在考查了考試對邏輯關(guān)系的掌握程度，不失為一道好題．【命題方向】本知識點(diǎn)內(nèi)容比較簡單，在初中的時候就已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以大家要熟練掌握，特別是點(diǎn)到直線的距離怎么求，如何判斷直線與圓相切．4．直線與圓的位置關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點(diǎn)撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由Ax+①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．5．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x2b中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點(diǎn)在長軸長上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a6．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．直線與橢圓的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線