題型12 5類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問(wèn)題、范圍與最值問(wèn)題）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型125類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問(wèn)題、范圍與最值問(wèn)題）技法01技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握知識(shí)遷移形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長(zhǎng)線上（2）已知在線段上，且，則例1-1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：答案：A例1-2．（2023江蘇模擬）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A．B． C． D．（全國(guó)·高考真題）在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．（2020·新高考全國(guó)1卷·統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．4．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．5．（江蘇·高考真題）設(shè)、分別是的邊，上的點(diǎn)，，.若（為實(shí)數(shù)），則的值是技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，往往要通過(guò)建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問(wèn)題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識(shí)遷移如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無(wú)交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長(zhǎng)線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖中，過(guò)作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍例2-1．（全國(guó)·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)故選.例2-2．（衡水中學(xué)二模）邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.例2-3．已知為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________【解析】如圖,取中點(diǎn)為,顯然,當(dāng)與重合時(shí),取最小值1.將平行移動(dòng)至與相切處,為切點(diǎn)時(shí),取最大值.延長(zhǎng)交于,易知.由等和線及平行截割定理,.所以的最大值為.故的取值范圍是.在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是____________如圖在直角梯形中，，，，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)則的取值范圍是____________若點(diǎn)在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為_(kāi)_____（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問(wèn)題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問(wèn)題可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題，從而用極化恒等式解決利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問(wèn)題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問(wèn)題可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題，從而用極化恒等式解決，需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)遷移極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對(duì)角線交于點(diǎn),則對(duì)于三角形來(lái)說(shuō):例3-1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5由極化恒等式可得：，故選A．例3-2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn)，由極化恒等式可得：故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是.

如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為_(kāi)_______（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．，則技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧平面向量問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題平面向量問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本技法我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識(shí)，同時(shí)也是加強(qiáng)對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)遷移奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則奔馳定理的推論及四心問(wèn)題推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對(duì).④若為的垂心，則，或例4-1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心因?yàn)?，所以到定點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點(diǎn)為的垂心，故選C.

例4-2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【詳解】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，故選：B例4-3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．1．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谀┤羰莾?nèi)一點(diǎn)，，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)H是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧平面向量中的平面向量中的范圍與最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活?；绢}型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。例5-1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點(diǎn)的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．例5-2．（四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B.例5-3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，1．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A．