題型12 5類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）-高考數(shù)學必考模型歸納

題型125類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）技法01技法01“爪子定理”的應用及解題技巧技法02系數(shù)和（等和線）的應用及解題技巧技法03極化恒等式的應用及解題技巧技法04奔馳定理與三角形四心的應用及解題技巧技法05范圍與最值的應用及解題技巧技法01“爪子定理”的應用及解題技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學們重點學習掌握“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學們重點學習掌握知識遷移形如條件的應用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點共線當，則與位于同側(cè)，且位于與之間當，則與位于兩側(cè)時，當，則在線段上；當，則在線段延長線上（2）已知在線段上，且，則例1-1．（全國·高考真題）設為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A.B.C.D.解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：答案：A例1-2．（2023江蘇模擬）如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A．B． C． D．（全國·高考真題）在中，，．若點滿足，則（）A． B． C． D．（2020·新高考全國1卷·統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（

）A． B． C． D．4．（全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．5．（江蘇·高考真題）設、分別是的邊，上的點，，.若（為實數(shù)），則的值是技法02系數(shù)和（等和線）的應用及解題技巧近年，高考、?？贾杏嘘P“近年，高考、模考中有關“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用知識遷移如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則，不妨設與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關。我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍例2-1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當?shù)群途€與圓相切時，最大，此時故選.例2-2．（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內(nèi)部的動點，設向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.例2-3．已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________【解析】如圖,取中點為,顯然,當與重合時,取最小值1.將平行移動至與相切處,為切點時,取最大值.延長交于,易知.由等和線及平行截割定理,.所以的最大值為.故的取值范圍是.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設，則的取值范圍是____________如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運動，設則的取值范圍是____________若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．技法03極化恒等式的應用及解題技巧利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。知識遷移極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:例3-1．（全國·高考真題）設向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5由極化恒等式可得：，故選A．例3-2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5設CD中點為O點，由極化恒等式可得：故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是.

如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．，則技法04奔馳定理與三角形四心的應用及解題技巧平面向量問題是高中數(shù)學中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題平面向量問題是高中數(shù)學中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本技法我們繼續(xù)學習另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學們可以將這個內(nèi)容當成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認識，加深對數(shù)學的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學習。知識遷移奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或例4-1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

例4-2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B例4-3．（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【詳解】延長交于點P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設，其中．，，解得．當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學?？计谀┤羰莾?nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心2．（2023·江蘇·高三專題練習）在中，若，則點H是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學校聯(lián)考期末）（多選）如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則技法05范圍與最值的應用及解題技巧平面向量中的平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點和重難點，綜合性強，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活?；绢}型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復習過程中要注重對基本方法的訓練，把握好類型題的一般解法。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學習。例5-1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．例5-2．（四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.例5-3．（2023·全國·高三專題練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，1．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A．