題型16 11類數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造解題技巧-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型1611類數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造解題技巧技法01技法01用與關(guān)系求通項(xiàng)公式的解題技巧技法02已知用累加法求通項(xiàng)公式的解題技巧技法03已知用累乘法求通項(xiàng)公式的解題技巧技法04已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法05已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法06已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法07已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法08已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法09已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法10已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式的解題技巧技法01用與關(guān)系求通項(xiàng)公式的解題技巧用用與關(guān)系求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點(diǎn)，難度不大，需要同學(xué)們按公式解題即可.知識遷移例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．（1）因?yàn)椋储?，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．1．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，求.技法02已知用累加法求通項(xiàng)公式的解題技巧累加法求累加法求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點(diǎn)，難度不大，需要同學(xué)們注意累加的類型，需強(qiáng)化練習(xí).知識遷移例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，，，求通項(xiàng)公式．原遞推式可化為，則，，…，，逐項(xiàng)相加，得，故．1．（2023上·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．（2023·江蘇南京·校考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．技巧技法03已知用累乘法求通項(xiàng)公式的解題技巧累乘法求累乘法求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中經(jīng)常考查的知識點(diǎn)，難度不大，需要同學(xué)們注意累乘的類型，需強(qiáng)化練習(xí).知識遷移例3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.技法04已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解，是高考的常考題型，需強(qiáng)化練習(xí)知識遷移例4．1．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且，為其前項(xiàng)的和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求滿足不等式的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，，其中，若對任意，，總有成立，求的取值范圍．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足不等式的的最大值.技法05已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)，可以套模板來靈活解題，其本質(zhì)是待定系數(shù)，需強(qiáng)化練習(xí).例5．（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2022下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.技法06已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以一個(gè)指數(shù)式，是高考中的高頻考題，可靈活運(yùn)用模板解題例6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.（1）由題意，兩邊同時(shí)除以，將其變形為，即，由等差數(shù)列的定義可知是以首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，所以，即.1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．2．（2022下·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，.(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng).技法07已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法，是高考中的高頻考題，可靈活運(yùn)用模板解題例7．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1），．已知，，得，可得，數(shù)列為以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列1．（2024上·河北保定·高二保定一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．（2023下·吉林白城·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023上·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，對任意的時(shí)，都有成立.(1)令，，求證：，都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.技法08已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以，是高考中的高頻考題，可靈活運(yùn)用模板解題例8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.（1）因?yàn)?，，所以，所?所以，所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，所以，所以1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求k的最小值．技法09已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取到數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運(yùn)用模板解題例9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列中，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.（1）由，可得.因?yàn)?，所?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.2．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.技法10已知用求通項(xiàng)公式的解題技巧已知已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取對數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運(yùn)用模板解題例10．1．（2023·浙江寧波·浙江省寧波市鄞州中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足，下列說法正確的是（

）A．存在正整數(shù)，使得 B．存在正整數(shù)，使得C．對任意正整數(shù)，都有 D．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3．（江西撫州·高一統(tǒng)考期中）已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中.（1）求的值；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式的解題技巧構(gòu)造常數(shù)列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標(biāo)的一種風(fēng)向，能替代部分累加累乘構(gòu)造常數(shù)列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標(biāo)的一種風(fēng)向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.例11．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和（1）由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，從而，即數(shù)列是