計量經(jīng)濟學(xué)（第2版）課件：向量自回歸

ECONOMETRICS

教學(xué)目的和要求了解向量自回歸模型的基本概念掌握向量自回歸模型的應(yīng)用方法掌握向量自回歸的EVIEWS軟件實現(xiàn)掌握向量自回歸模型的檢驗方法了解向量自回歸模型的估計原理0304050102課

程

內(nèi)

容向量自回歸模型概述向量自回歸模型的應(yīng)用向量自回歸模型的檢驗向量自回歸模型的估計03040102文化產(chǎn)業(yè)是第三產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，具有知識密集性強、經(jīng)濟附加值高、資源消耗性低等特征。理論研究和發(fā)達國家的經(jīng)驗表明，大力發(fā)展文化產(chǎn)業(yè)，不僅可以直接拉動經(jīng)濟增長，而且它又可以通過優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、提高整體經(jīng)濟效率進而間接促進經(jīng)濟增長；反過來，經(jīng)濟增長迅速、經(jīng)濟規(guī)模擴大，既可以為文化產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供雄厚資金、又可以為文化產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供需求動力。目前，文化產(chǎn)業(yè)作為戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)各地都在加快推進發(fā)展。在我國區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展，文化產(chǎn)業(yè)與經(jīng)濟增長之間是否存在相互促進、相互制約關(guān)系？兩者之間存在著怎樣的動態(tài)聯(lián)系？等等，這些問題需要從定量角度進行測度分析，以便為政府制定相關(guān)政策提供依據(jù)。引子：文化產(chǎn)業(yè)與經(jīng)濟增長存在相互促進關(guān)系嗎？410.1.1

模型基本形式假設(shè)存在一個時序系統(tǒng)內(nèi)包含k個時序變量，分別為y1t

，y2t

，…，ykt

。每個時序變量都受其自身的滯后項以及系統(tǒng)其它變量滯后項的影響，于是一個包含k元變量、

滯后期為p階的VAR(p)模型的基本形式為：y1t

=

y10

+

y111y1,t

?

1

+

.

.

.

+

y11py1,t

?p

+

.

.

.

+

y1k1yk,t

?

1

+

.

.

.

+

y1kpyk,t

?p

+

c1tykt

=

yk0

+

yk11y1,t

?

1

+

.

.

.

+

yk1py1,t

?p

+

.

.

.

+

ykk1yk,t

?

1

+

.

.

.

+

ykkpyk,t

?p

+ckt其中，yit表示第個方程的內(nèi)生變量；yi0表示第i個方程的常數(shù)項；yijk表示第i個方程第j個內(nèi)生變量滯后k期的系數(shù)；cit表示VAR(p)模型中第i個方程的隨機擾動項且滿足經(jīng)典假定，但各個方程之間的隨機擾動項可以存在同期相關(guān)性，即當(dāng)t=q時，Cov

(cqt,cpt)=G

；當(dāng)p

≠q時，Cov(cqt,cpt)=0。y2t

=

y20

+

y211y1,t

?

1

+

.

.

.

+

y2kpy1,t

?p

+

.

.

.

+

y2k1yk,t

?

1

+

.

.

.

+

y2kpyk,t

?p

+c2t10.1

向量自回歸

(VAR)

模型概述5...現(xiàn)記Y為內(nèi)生變量列向量，T為系數(shù)矩陣，c

為隨機擾動項列向量，于是上式可以表示為：

Yt

=

T0+T1Yt?

1

+

.

.

.

+

Tp

Yt

?p

+

ct

。

這就是ooo(o)模型的基本形式。?

y1,

?yk1ppp1121yy?y1,t

?p

+?+cktttccy12p

?y1kp???將同期的滯后內(nèi)生變量用矩陣反映：y22p

?y2kpyk2p

?

ykkp進一步將上式改寫成矩陣形式：模型基本形式y(tǒng)1,t

?p?y1,t?1?y1k1y2k1?ykk1y121y221?yk21y111y211?yk11y111y211?yk11y10y20

=

?y10y20

=

?+?+y1ty2t?ykty1ty2t?yktyk,t

?py2,t

?pyk,t?

1y2,t?1c1tc2t?ckt????yk1py11py21pyk0yk0??+++6?(1)它是基于時序變量的數(shù)據(jù)關(guān)系結(jié)構(gòu)而非經(jīng)濟理論為主導(dǎo)設(shè)定模型的，在模型設(shè)定時主要考慮包含哪些變量和滯后期長度。(2)它將每一個內(nèi)生變量視為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量滯后期值的函數(shù)來構(gòu)造模型，是將單變量自回歸模型推廣到多變量的情形，即一般自回歸模型的聯(lián)立形式，或者說相當(dāng)于簡化式的經(jīng)典聯(lián)立方程模型。(3)它對參數(shù)不施加零約束，即參數(shù)估計值無論顯著與否均被保留在模型中(不進行t檢驗)。(4)它不存在模型識別問題，每個方程均可看作獨立的方程進行估計。(5)由于假定不存在自相關(guān)，所以各個方程中的解釋變量均可視為前定變量，從而可以直接利用OLS法得到每個方程參數(shù)的一致估計量；實際應(yīng)用中，可以通過增加滯后變量階數(shù)來消除或弱化隨機擾動項的自相關(guān)性問題。(6)它反映變量之間的動態(tài)變化關(guān)系，可以方便地用于經(jīng)濟發(fā)展預(yù)測，避免利用一般回歸模型進行預(yù)測時需事先確定解釋變量在預(yù)測期數(shù)值的難題。(7)它可用以進行脈沖響應(yīng)分析和方差貢獻分析，以揭示當(dāng)對某一內(nèi)生變量施加沖擊時系統(tǒng)內(nèi)各內(nèi)生變量響應(yīng)的路徑及程度。(8)當(dāng)滯后階數(shù)較高時，由于待估計參數(shù)個數(shù)較多，為保證模型估計的穩(wěn)健性，所要求的樣本容量較大。7VAR模型的特點從VAR模型的特點可以看出，相對于經(jīng)典聯(lián)立計量經(jīng)濟模型，VAR模型具有較多的優(yōu)勢，但在建立模型時必須首先明確如下三個前提條件。10.1.2

VAR模型成立的前提條件81.變量平穩(wěn)性由于VAR模型是時間序列模型，為了避免出現(xiàn)偽回歸問題，應(yīng)該在建模之前考慮各個變

量的平穩(wěn)性，只有在各時序變量列具有平穩(wěn)性方可建立VAR模型。時序變量的平穩(wěn)性可以在建立VAR建模之前利用ADF

法進行單位根檢驗(具體參見第九章)，也可以在VAR模型進行估計后再對時序變量進行平穩(wěn)性檢驗。若時序變量非平穩(wěn)，則需采取差分后處理方式再建立VAR模型。變量平穩(wěn)性92.

因果關(guān)系在進行VAR模型設(shè)定時，雖然不是以經(jīng)濟理論為主導(dǎo)選擇內(nèi)生變量，但需要該基于變量間的相關(guān)性并利用格蘭杰因果關(guān)系檢驗法確定哪些變量可以作為內(nèi)生變量，且要求各內(nèi)生變量之間必須具有雙向因果關(guān)系(即統(tǒng)計上的相關(guān)關(guān)系)。當(dāng)然，在VAR模型的解釋變量中也可以添加外生變量，但外生變量必須與相應(yīng)方程中的內(nèi)生變量存在單向因果關(guān)系。因果關(guān)系103.滯后階數(shù)確定恰當(dāng)?shù)膬?nèi)生變量滯后階數(shù)是建立VAR模型重要條件之一。若滯后階數(shù)過小，則隨機

擾動項的自相關(guān)性就可能比較嚴(yán)重，則會導(dǎo)致參數(shù)估計值缺乏有效性；若滯后階數(shù)選擇過大，就會產(chǎn)生較多的待估參數(shù)，在有限樣本容量下就會產(chǎn)生較大的估誤差。滯后階數(shù)11當(dāng)確定好VAR模型的最優(yōu)滯后階數(shù)后(如何選擇合適的VAR模型滯后階數(shù)將在10.3.3節(jié)中介紹)，就可以采用OLS法或極大似然估計法對每個方程的參數(shù)進行估計。VAR模型中的第i個方程為：yit

=

yi0

+

yi11y1,t

?

1

+

.

.

.

+

yik1yk,t

?

1

+

.

.

.

+

yi1py1,t

?p

+

.

.

.

+

yikpyk,t?p

+

cit10.2

向量自回歸模型的估計12將其改寫為矩陣形式：yi0yi11Yi=1

y1,t?1y2,t?1.

.

.

yk,t?1.

.

.

yk,t?p

×

.

.

.+eit=Xiyi+

eityik1...yikp其中Yi表示第i個方程的被解釋變量，向量yi即為VAR模型第i個方程的待估計參數(shù)矩陣。對上述簡化方程Yi

=

Xiyi+

eit采用OLS方法進行估計，可得到一致的待估參數(shù)：yi

=向量自回歸模型的估計(X′

iXi)

?

1X′

iYi。yi121300…

Xk最終VAR模型的簡約形式可以表示為Y=X幾+bt

。當(dāng)樣本容量足夠大時，可以使用完全信息法對模型進行估計，最終得到參數(shù)的一致且有效估計量：幾=(X,X)-1X,Y。對于包含k個內(nèi)生變量p階滯后的簡約形式VAR模型而言，需要估計的參數(shù)個數(shù)為k+pk2個。當(dāng)滿足基本假設(shè)時，在大樣本下，yi是yi的一致估計量。利用單方程的簡化形式，可以將VAR模型的數(shù)據(jù)形式表述為：Yk

=Xkyk

+

ektY=[Y1

Y2

.

.

.

Yk],

X=l11：0X{Y2

=

X2y.2

+

e2t向量自回歸模型的估計幾

=[y1y2…

yk],Y1=X1y1+

e1te2t

…

ekt],

|：00bt

=[e1t0X2：0…1410.3.1平穩(wěn)性檢驗變量序列的平穩(wěn)性可以根據(jù)向量自回歸過程的特征根進行判別。為便于說明問題，下面先對一

階向量自回歸過程變量序列的平穩(wěn)性檢驗原理進行介紹。對于VAR(1)模型：y121

?y1k1y221

?y2k1??

?用y

陣形示yt

T1yYktk?11

+

，k,t

行移

并使用滯后算子表達，

則為

(

I

?

T1

L

)

Yt

=

t。不難發(fā)現(xiàn)，I?T1

L=0即為一階向量自回歸過程的特征方程，可根據(jù)其特征根的取值范圍來判斷變量序列的平穩(wěn)性。若所有特征方程的特征根均大于1(即所有特征根均位于單位圓外)，則該向量自回歸過程的變量序列是平穩(wěn)的，或者說VAR模型具有平穩(wěn)性；反之，變量序列是不平穩(wěn)的，或者說VAR模型不具有平穩(wěn)性。10.3

向量自回歸模型的檢驗y1,t?1?y2,t?1y111y211?y1ty2t?

1t

2t?×15+=實際應(yīng)用中，通常特征方程I?T1L=0轉(zhuǎn)換為T1

?入I=0。此時，若特征方程的所有特征根均小于1(即全在單位圓內(nèi))時，向量自回歸過程將上述一階向量自回歸過程推廣到高階，VAR(p)模型用滯后算子的形式表示為(I?此時暫時忽略T0，向量自回歸模型VAR(p)簡化為牽(L)Yt

=ct，繼續(xù)對VAR模型進行變換：的變量序列平穩(wěn)；反之，不平穩(wěn)。T1L?T1L2

?...?TpLp

Yt

=T0

+ct。令牽(L)=I?T1L?T1L2

?...?TpLp，若牽(L)可逆，那么可以將向量自回歸模型轉(zhuǎn)換為向量移動平均過程VMA(∞)

：

Yt

=

牽?

1

(L)ct。平穩(wěn)性檢驗16這樣可將p階向量自回歸模型轉(zhuǎn)換成了VAR(1)模型：Y=Y

?

1

+。因此，檢驗VAR(p)模型的平穩(wěn)性就范圍即可判斷VAR過程的平穩(wěn)性。t?t?t?Yt

=

T1Yt?

1

+

T1Yt?

1

+

.

.

.

+

T1Yt?

1

+

etYt?p+1=

Yt?p+1將上方程組改寫成矩陣形式：只相當(dāng)于檢驗一個高維的一階向量自回歸過程的平穩(wěn)性，此時只需要判斷特征方程?入I=0的所有根的取值

?0T2平穩(wěn)性檢驗Yt?1=

Yt?1T1I=?0YtYt?1?Yt?p+1Tp

0

?0Yt?1Yt?2?Yt

?pet0?0×17+I?無論是建立一般回歸模型還是建立向量自回歸模型，均要求解釋變量的變化是導(dǎo)致被解釋變量變化的原因。VAR模型的設(shè)定形式可以用于檢驗這種因果關(guān)系。

Granger

(1969)提出一種判斷變量間是否存在因果關(guān)系檢驗的方法——Granger因果檢驗

(Grangercausality

tests)，具體檢驗步驟見第9章；后Sims(1972)又進行了推廣，并借

助于VAR模型將“x是否為y的Granger原因”的檢驗假設(shè)轉(zhuǎn)換為“x的滯后項是否可以引入到y(tǒng)的方程中”的檢驗假設(shè)，兩者實質(zhì)上是一回事。對于二元VAR模型：10.3.2

因果關(guān)系檢驗yt?pyt?2yt?1xt?pxt?2xt?1y11py21py12py22py121y221y111y211y112y212y122y222y10y20e1te2t+…+ytxt18+++=當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)y12q

(q=1,2,?,p

)全部為0時，變量X就不是變量Y變H1:

y12q

中至少有一個不為0，q=1,2,?,pyt

=

y10+

y111yt?

1

+

y112yt?

2

+

?+y11pyt

p?

+vtRSSu

為下述無約束條件回歸方程式的殘差平方和：可以證明，統(tǒng)計量F=

~F(p,n?2p?1)。其中RSSr

為下述有約束條)p1/u/SrSSRS(Ryt

=

y10+

y111yt?

1

+

y112yt?

2

+

?+y11pyt

p?

+

y121xt?

1

+

y122xt?

2

+

?

+化的格蘭杰原因(Grangercause)。因此，可以進行假設(shè)：H0:

y12q

=0，q=1,2,?,p件回歸方程式的殘差平方和：y12pxt?p

+

e1t因果關(guān)系檢驗19判斷準(zhǔn)則：在給定顯著性水平a下，若F統(tǒng)計量大于臨界值F(p,n?2p?1)或者F統(tǒng)計量的伴隨概率小于顯著性水平，那么就拒絕原假設(shè)H0，X是Y的格蘭杰原因；反之，則接受原假設(shè)，X不是Y的格蘭杰原因。同樣原理，也可以檢驗Y是否為X的格蘭杰原因。上述檢驗進而可以推廣到多個內(nèi)生變量的

情形。因果關(guān)系檢驗20利用VAR模型無論是進行格蘭杰因果關(guān)系檢驗還是進行脈沖效應(yīng)分析和預(yù)測誤差方差分析，都要求事先確定適當(dāng)?shù)淖兞繙箅A數(shù)。若滯后階數(shù)過大，雖可以使模型更能完整反映變量的動態(tài)變化特征，但每增加一階滯后期，那么包含k個內(nèi)生變量的VAR模型就需要多估計k^2個參數(shù)，那么在樣本容量不充足的情況下就會損失更多的自由度；若滯后階數(shù)過小，則可能導(dǎo)致VAR模型各方程擾動項存在較強的自相關(guān)性。VAR模型滯后階數(shù)的選擇主要有似然比、最終預(yù)測殘誤差和信息準(zhǔn)則三種方法。10.3.3

滯后階數(shù)選擇21似然比(likelihoodratio，LR)法就是根據(jù)似然比LR統(tǒng)計量值判斷最佳滯后階數(shù)。似然比統(tǒng)計量的計算公式為：LR=?2(lnL(p)

?lnL(p+1)

)～X2

(k2)其中，k為內(nèi)生變量個數(shù)，LR統(tǒng)計量服從X2分布；lnL(p)

、lnL(p+1)分別表示VAR(p)、

VAR(p+1)模型的極大對數(shù)似然函數(shù)值。原假設(shè)H0為p為最佳滯后階數(shù)。這里選擇最佳滯后階數(shù)的原則是：滯后階數(shù)從1開始逐階增加，

使LR值達到最大的階數(shù)即為最佳滯后階數(shù)。具體判斷步驟為：給定顯著性水平a

，當(dāng)計算的LR統(tǒng)計量值大于X2臨界值時，拒絕H0原假設(shè)，接著應(yīng)進一步增大滯后階數(shù)，直至計算的LR統(tǒng)計量值小于X2臨界值時為止，此時的階數(shù)p即為最佳滯后階數(shù)。似然比檢驗22最終預(yù)測誤差(final

prediction

error，F(xiàn)PE)檢驗就是選擇使FPE達到最小的階數(shù)p為最佳滯后階數(shù)。FPE的計算公式為：FPE(p)

=

式中，為滯后p階時殘差的方差估計值；

n為樣本容量，m為待估計參數(shù)個數(shù)。p2mmnnp2最終預(yù)測誤差檢驗23在實證研究中，常根據(jù)不同滯后階數(shù)的信息準(zhǔn)則來選取VAR模型合適的滯后階數(shù)p，這里的信息準(zhǔn)則主要包括：AIC信息準(zhǔn)則、SC信息準(zhǔn)則和HQ準(zhǔn)則。信息準(zhǔn)則的作用是在模型的解釋能力與自由度之間尋找到最優(yōu)的平

衡點。信息準(zhǔn)則法選取VAR模型合適滯后階數(shù)的思路是：從滯后一階開始，按照下式分別計算不同滯后階數(shù)的AIC、SC

和HQ值，以AIC

、SC

或HQ取值最小的準(zhǔn)則確定模型的滯后階數(shù)。AIC=?2l/n+2m/nSC=?2l/n+mlnn/nHQ=?2l/n+2mln(ln(n))/n式中，m=k(d+pk)即為VAR模型需要估計的系數(shù)總和，k為內(nèi)生變量個數(shù)，d為外生變量個數(shù)，p為滯后階24數(shù)，n為樣本容量，l為對數(shù)似然值且l=?nk(1+ln2冗)/2?nln

Z/2。其中Z為根據(jù)殘差e計算的模型協(xié)方差矩陣的估計。信息準(zhǔn)則法10.4.1

脈沖響應(yīng)分析由于VAR模型反映的是變量間的動態(tài)變動關(guān)系，因而當(dāng)對VAR模型中的一個內(nèi)生變量隨機擾動項(又稱為新息)施加沖擊時，必然會對整個VAR系統(tǒng)所有內(nèi)生變量的當(dāng)期值與未來值產(chǎn)生影響，將這種影響路徑和程度用數(shù)學(xué)方法加以刻畫稱之為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Impulse

Response

Function,IRF)。注意的是，對隨機擾動項而言是沖擊(Impulse)，對內(nèi)生變量而言則是對沖擊的響應(yīng)(response)。利用脈沖響應(yīng)函數(shù)可以分析VAR模型受到某種沖擊時對系統(tǒng)的動態(tài)影響。下面簡要介紹脈沖響應(yīng)函數(shù)的推導(dǎo)過程。設(shè)VAR

(p)模型為：Yt

=

T0

+

T1Yt?

1

+

.

.

.

+

Tp

Yt

?p

+

ct其中，Yt包含k維變量,ct被稱為向量白噪聲過程(vector

white

noise

process)或者“新息(innovation)向量”。2510.4

向量自回歸模型的應(yīng)用其中Fs

第i行、j列元素記為Fijs

，

即Fijs

=i,j=1,2,…,

k26可以將VAR

(p)改寫成向量移動平均過程VMA

(∞)形式：其中，F(xiàn)i

為n維方陣。et對Yt+s的邊際效應(yīng)可以表示為：

=

FsFs

表示相隔s期的動態(tài)乘子，其矩陣形式為：Yt

=

w

+

et+

F1et?

1+

F2et?2

+

?

=

w

+

0

Fiet?

iaY1,t+s

ae1taY2,t+s

Fs

=

ae1t?aYn,t+sae1taY1,t+saentaY2,t+saent?aYn,t+saentaY1,t+sae2taY2,t+sae2t?aYn,t+sae2t脈沖響應(yīng)分析?

???上式即為脈沖響應(yīng)函數(shù)，表示在其他擾動項在任何時期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個內(nèi)生變量對應(yīng)的擾動項在t

期受到一個單位的沖擊后，第i個內(nèi)生變量在t+s期所做出的響應(yīng)。當(dāng)向量自回歸過程為平穩(wěn)時，隨著時間推移，

脈沖響應(yīng)函數(shù)的大小會逐漸衰減直至消失，即：e人?,才+S對于含有k個內(nèi)生變量的VAR模型，每個內(nèi)生變量都對應(yīng)著k個脈沖響應(yīng)函數(shù)，因此一個VAR模型系統(tǒng)共含

有才2個脈沖響應(yīng)函數(shù)。式(10-37)脈沖響應(yīng)函數(shù)是以不同方程的擾動項不存在同期相關(guān)性為前提的，但在實際經(jīng)濟生活中，不同方程的擾動項往往存在同期相關(guān)性，為此需要使用Cholesky法將其進行正交化分解，分期過程

為：以VAR模型第一個方程的擾動項為基礎(chǔ)，從第2個方程的擾動項中剔除掉與第一個方程擾動項的相關(guān)部分，得到正交化后的擾動項；從第3個方程的擾動項剔除掉與第1和第2個方程擾動項的相關(guān)部分，得到正交化后的擾動項。以此類推，從第k個方程的擾動項剔除掉與前k-1個方程擾動項的相關(guān)部分，得到正交化后的擾動項。進行Cholesky分解后的脈沖響應(yīng)函數(shù)被稱為正交化的脈沖響應(yīng)函數(shù)，記為J!!s。!,!=1,2,…,才27脈沖響應(yīng)分析1!w=0!,!=1,2,…,才e人才,才+S

e3!才J!!s

=s→∞e3!才其中，ε?為正交化后的擾動項，此時脈沖響應(yīng)函數(shù)表示在其他擾動項在任何時期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個內(nèi)生變量對應(yīng)的擾動項在t期受到一個標(biāo)準(zhǔn)差的沖擊后，第i個內(nèi)生變量在t+s期所做出的響應(yīng)。在利用正交化脈沖響應(yīng)函數(shù)進行分析變量間動態(tài)關(guān)系時需要注意：(1)脈沖響應(yīng)函數(shù)依賴于VAR模型中內(nèi)生變量的排序，變量順序不同所得到的脈沖響應(yīng)函數(shù)就不一樣，實際應(yīng)用中通常按照內(nèi)生變量的外生性程度由強到弱進行排序，或者根據(jù)因果關(guān)系檢驗的結(jié)果進行排序。(2)VAR模型平穩(wěn)是進行脈沖響應(yīng)函數(shù)分析的前提；若VAR模型非平穩(wěn)，則正交化脈沖響應(yīng)函數(shù)就不收斂。脈沖響應(yīng)分析28VAR模型的重要應(yīng)用之一在于進行內(nèi)生變量的動態(tài)預(yù)測。方差分解(variancedecomposition)是指把VAR模型

中每個內(nèi)生變量(k個)的l步預(yù)測均方誤差按其成因分解為與各方程隨機擾動項相關(guān)聯(lián)的k個組成部分，用以衡量每個內(nèi)生變量的擾動(新息)或沖擊對VAR模型系統(tǒng)各內(nèi)生變量產(chǎn)生影響的相對重要性程度。對于k維VAR模型：Yt

=

T0

+

T1

Yt

?

1

+

.

.

.

+

Tp

Y