浙江省浙大附中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省浙大附中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P22．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米4．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．47．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．38．某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．10．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．11．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度12．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列（公差不為0），其中，，成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比為_____.14．的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為______，常數(shù)項(xiàng)為______.15．設(shè)函數(shù)，若對于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.18．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．（1）求,的值：（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求△的面積．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.22．（10分）如圖，是正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當(dāng)，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.3、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實(shí)際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題5、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．6、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.8、B【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時(shí)，有種，當(dāng)人臉識別方向有1人時(shí)，有種，∴共有360種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)時(shí)，再次循環(huán)輸出的,，此時(shí)，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.11、B【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可．詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度得到故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12、A【解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系，用首項(xiàng)和公差表示出，解出首項(xiàng)和公差的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，涉及等比中項(xiàng)，考查基本計(jì)算能力.14、3-260【解析】

(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和；(2)先求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù)，再求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為，的展開式中含常數(shù)項(xiàng)，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：3；-260【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析：由題意得函數(shù)在[2，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在[2，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性16、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，，所以.又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．18、(1)(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，分類討論把不等式化為等價(jià)不等式組，即可求解．(2)由絕對值的三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，分類討論，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，不等式可化為或或，解得不等式的解集為．(2)由絕對值的三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對值不等式的解法，以及合理應(yīng)用絕對值的三角不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出，；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積．【詳解】（1）焦點(diǎn)為F（1，0），則F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），，解得，＝1，＝1，（Ⅱ）由已知，可設(shè)直線方程為，，聯(lián)立得，易知△＞0，則＝＝＝因?yàn)?，所以?，解得聯(lián)立，得，△＝8＞0設(shè)，則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題．意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．21、（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）①點(diǎn)的極角為，代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.②解法1：直線的普通方程為.曲線上