《電路應(yīng)用基礎(chǔ)》課件第2章

第2章直流電路的分析2.1電阻器的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)

2.2電阻的星形、三角形連接及其等效變換

2.3含源串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路的等效化簡

2.4支路電流法

2.5節(jié)點電位法

2.6疊加定理第2章直流電路的分析2.7戴維南定理

2.8含受控源電路的分析

2.9最大功率輸出應(yīng)用與訓(xùn)練本章小結(jié)習(xí)題二電子電路中經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)電阻器串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)等各種組合形式，本章對這種串并聯(lián)組合的實例進(jìn)行分析。

通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)學(xué)會利用支路電流法和節(jié)點分析法分析電阻器組成的電路；能夠運用戴維南定理簡化復(fù)雜的電路；能夠運用疊加定理以簡單的步驟分析含有多個電壓源的電路；能夠掌握并應(yīng)用最大功率傳輸定理。

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)識別電阻器的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)的關(guān)系；

(2)應(yīng)用歐姆定律求解串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路的伏安關(guān)系；

(3)利用分壓公式和分流公式求解串并聯(lián)電路的電壓或電流。

2.1電阻器的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)

獲取能力：

(1)準(zhǔn)確判斷電路中電阻器之間的關(guān)系；

(2)正確利用歐姆定律求解串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路的電流、電壓和功率；

(3)通過對萬用表的電壓擋位和電流擋位的理解，熟悉萬用表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。2.1.1等效網(wǎng)絡(luò)的定義

在電路分析中我們可以把一組元件作為一個整體來看待，當(dāng)這個整體只有兩個端鈕與外電路相連接，且進(jìn)出這兩個端鈕的電流相等時，則這個由多個元件構(gòu)成的整體稱為二端網(wǎng)絡(luò)或單口(oneport)網(wǎng)絡(luò)。

單口網(wǎng)絡(luò)可用圖2-1-1(a)所示的方框符號表示，方框內(nèi)的字母“N”代表網(wǎng)絡(luò)(network)。若網(wǎng)絡(luò)內(nèi)含有電源，稱為含源(active)二端網(wǎng)絡(luò)，方框內(nèi)字母用“A”表示，如圖2-1-1(b)所示；若網(wǎng)絡(luò)內(nèi)未含電源，則稱為無源(passive)二端網(wǎng)絡(luò)，方框內(nèi)用字母“P”表示，如圖2-1-1(c)所示。

單端網(wǎng)絡(luò)端口上的電壓與電流的關(guān)系，稱為二端網(wǎng)絡(luò)的VCR(伏安關(guān)系)。如果一個二端網(wǎng)絡(luò)的VCR與另一個二端網(wǎng)絡(luò)的VCR完全一致，則稱這兩個二端網(wǎng)絡(luò)對同一個外電路作用是等效的，即互為等效網(wǎng)絡(luò)?？梢岳靡粋€結(jié)構(gòu)簡單的等效網(wǎng)絡(luò)代替原來較為復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，這樣可以簡化對電路的分析。

一個僅由電阻元件組成的無源網(wǎng)絡(luò)，總可以找到一個與之等效的電阻，這個電阻稱為該網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。由于二者的VCR一致，因此，無源電阻二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻等于關(guān)聯(lián)方向下端口電壓與端口電流的比值。

圖2-1-1用方框符號表示單口網(wǎng)絡(luò)2.1.2電阻器的串聯(lián)及分壓公式

幾個電阻器首尾相連，各電阻器上通過的電流相同的連接方式，稱為電阻器的串聯(lián)。識別串聯(lián)電路的法則：串聯(lián)電路在兩點之間只提供一條電流通路，使流過每個串聯(lián)電阻器的電流都相同。

圖2-1-2(a)所示為三個電阻器構(gòu)成的串聯(lián)電路。設(shè)流過各電阻的電流為I，由KVL和歐姆定律可知：

U＝U1＋U2＋U3＝R1I＋R2I＋R3I＝(R1＋R2＋R3)I (2-1-1)

則串聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(2-1-2)

從式(2-1-1)和(2-1-2)可得等效電阻為

R＝R1＋R2＋R3

(2-1-3)

其等效電路如圖2-1-2(b)所示。

式(2-1-3)表明：串聯(lián)的任意多個電阻器，其等效總電阻等于各個電阻器阻值之和。

串聯(lián)電路可以起到分壓器的作用，把每個電阻器編上號(1、2、3…)，根據(jù)歐姆定律，在圖2-1-2(a)中的任一個電阻器的電壓降可以用下式寫出：

(2-1-4)

圖2-1-2電阻器的串聯(lián)

說明：串聯(lián)電路中任何一個電阻器或電阻器組合上的電壓降等于其電阻值與總電阻值的比率乘以電源電壓。

例2-1-1

如圖2-1-3所示(萬用表的直流電壓擋的工作原理)，欲將量程為5V、內(nèi)阻為10kW的電壓表改裝成具有5V、25V、100V多量程的電壓表，求所需串聯(lián)電阻的阻值和額定功率。

解設(shè)25V量程需串聯(lián)電阻為Rx1，100V量程所需串聯(lián)電阻為Rx2。對25V量程，由式(2-1-1)得

圖2-1-3例2-1-1用圖

解得

同理，對于100V量程有

解得

表頭允許通過的電流

此時，電阻Rx1和Rx2的功率分別為

Px1＝I2Rx1＝(0.5×10－3)2×40×103＝10mW

Px2＝I2Rx2＝(0.5×10－3)2×150×103＝37.5mW

故Rx1和Rx2的的額定功率分別不應(yīng)小于10mW和37.5mW。2.1.3電阻器的并聯(lián)及分流公式

兩個或兩個以上的電阻接在相同的兩個節(jié)點上的連接方式，稱為電阻器的并聯(lián)。并聯(lián)的各電阻器處于同一電壓下。識別并聯(lián)電路的法則：如果兩點間有多條電流路徑，并且這兩點間的電壓也出現(xiàn)在每個分支上，則這兩點間有一個并聯(lián)電路。

圖2-1-4所示電路是兩電阻器并聯(lián)的電路。

圖2-1-4電阻器的并聯(lián)設(shè)兩電阻兩端的電壓為U，則由KCL和歐姆定律可知

(2-1-5)

并聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(2-1-6)

從式(2-1-5)和式(2-1-6)可得等效電阻為

(2-1-7)

式(2-1-7)表明，并聯(lián)的任意多個電阻器，其等效電阻的倒數(shù)等于并聯(lián)的各電阻器的倒數(shù)之和。

并聯(lián)電路可以起到分流器的作用，二分支并聯(lián)電路的分流器原理如圖2-1-4所示，總電流I的部分電流通過R1，部分電流通過R2。

各電阻上的電流分別為

(2-1-8)

說明：任一分支中的電流等于另一個分支的電阻除以兩個電阻之和，然后乘以總電流。

總電流在并聯(lián)電阻器間進(jìn)行分配，并且電流值與電阻值成反比。根據(jù)歐姆定律可知，分支的電阻越大，電流越??；分支的電阻越小，電流越大。如果所有分支具有相同的電阻，則分支電流都相等。

例2-1-2

如圖2-1-5所示(萬用表的直流電流擋的工作原理)，若將內(nèi)阻為1kW、滿偏電流為1mA的表頭改裝成量程為500mA的電流表，應(yīng)并聯(lián)一個多大的電阻？這個電阻的額定功率以多大為宜？

解設(shè)待求電阻為Rx，IA＝1mA，RA＝1kW，I＝500mA，則通過分流電阻Rx的電流為

IR＝I－IA＝500－1＝499mA

由分流公式可得

圖2-1-5例2-1-2用圖

解得

所并聯(lián)電阻Rx的功率為

故選用額定功率為0.5W的電阻即可。2.1.4電阻的混聯(lián)

當(dāng)電路中電阻器的連接方式既有串聯(lián)又有并聯(lián)時，稱為電阻器的混聯(lián)。掌握了電阻串、并聯(lián)的識別法則，就能方便地對電阻混聯(lián)電路進(jìn)行分析和計算。

例2-1-3

用滑線變阻器接成的分壓器電路如圖2-1-6(a)所示。已知電源電壓Us＝9V，負(fù)載電阻RL＝30W，滑線變阻器的總阻值為60W。試計算變阻器的滑動觸頭滑至：(1)變阻器中間位置，(2)變阻器最下端，(3)變阻器最上端時，輸出電壓U2及變阻器兩段電阻中的電流I1和I2。根據(jù)計算結(jié)果，變阻器的額定電流以多大為宜？

圖2-1-6例2-1-3用圖

解圖2-1-6(b)中，電阻R2與RL并聯(lián)，再與R1串聯(lián)。

(1)滑動觸頭滑至變阻器中間位置時，變阻器兩段電阻R1＝R2＝30W，并聯(lián)部分的等效電阻為

輸出電壓為

變阻器兩段電阻中的電流分別為

I1＝I2＋I(xiàn)L＝0.1＋0.1＝0.2A(2)滑動觸頭滑至變阻器最下端時，R1＝60W，R2＝0W，負(fù)載電阻RL被短路，并聯(lián)部分的等效電阻R2￠＝0W，因此，輸出電壓U2＝0V。負(fù)載電流IL＝0A。此時，變阻器兩段電阻中的電流為

I2＝I1＝0.15A(3)滑動觸頭滑至變阻器最上端時，R1＝0W，R2＝60W，并聯(lián)部分的等效電阻為

輸出電壓為

負(fù)載電流為

變阻器兩段電阻中的電流分別為

I1＝I2＋I(xiàn)L＝0.15＋0.3＝0.45A

滑動觸頭滑至最上端時，變阻器上通過的電流接近0.45A，故變阻器的額定電流不得小于0.45A，否則，電流過大電阻絲可能被燒斷。有些比較復(fù)雜的混聯(lián)電路，電路中各元件的串、并聯(lián)關(guān)系不一定能一目了然地看出，如圖2-1-7所示。要判別這樣的混聯(lián)電路，一般應(yīng)掌握以下三點：

一看電路的結(jié)構(gòu)特點。若兩電阻首尾相連，那就是串聯(lián)；若首與首、尾與尾相連，那就是并聯(lián)。

二看電壓電流關(guān)系。若流經(jīng)兩電阻的電流是同一電流，那就是串聯(lián)；若兩電阻上電壓是同一電壓，那就是并聯(lián)。

三是對電路連接變形。如將左邊的支路扭到右邊，上面的支路翻到下面，彎曲的支路可以拉直等。

圖2-1-7和圖2-1-8就是利用上面介紹的一些方法判別電阻元件串、并聯(lián)關(guān)系，從而達(dá)到簡化電路的。

圖2-1-7復(fù)雜電路簡化方法

圖2-1-8利用電路結(jié)構(gòu)特點簡化電路

2-1-1兩個單口網(wǎng)絡(luò)滿足怎樣的條件才能彼此等效？等效的概念對電路計算有什么實際意義？

2-1-2串聯(lián)電路和并聯(lián)電路最基本的特點是什么？

2-1-3圖2-1-8所示電路的計算過程中哪些屬于電路的整理，哪些屬于等效化簡，二者的區(qū)別在哪里？

2-1-４圖2-1-9所示電路中10kW電位器的活動端位于其中點，通過它的電流是否超過其額定值？如果將它的活動端下移，那么最多能下移到什么位置？思考與練習(xí)

2-1-5計算圖2-1-10所示電路中ab端口的等效電阻。

2-1-6計算圖2-1-11所示兩電路中的電壓Uab和電流I1。

圖2-1-9題2-1-4圖

圖2-1-10題2-1-5圖

圖2-1-11題2-1-6圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)熟悉電阻器的星形、三角形連接方式；

(2)利用星形和三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效關(guān)系進(jìn)行互換。

獲取能力：

(1)準(zhǔn)確判斷電阻器連接方式是星形還是三角形；

(2)正確利用星形和三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效互換化簡電阻網(wǎng)絡(luò)；

(3)利用若干個電阻構(gòu)成星形、三角形電阻器，并使用萬用表來測量等效關(guān)系。2.2電阻的星形、三角形連接及其等效變換2.2.1電阻的星形連接和三角形連接

上節(jié)討論了無源二端網(wǎng)絡(luò)用串聯(lián)、并聯(lián)方法化簡為一個等效電阻。這種電路不論有多少電阻，結(jié)構(gòu)有多復(fù)雜，都能用串聯(lián)、并聯(lián)方法化簡為一個等效電阻的電路，稱之為簡單電阻電路。但是，在實際應(yīng)用的某些電路中的電阻既不是串聯(lián)也不是并聯(lián)，如圖2-2-1所示，電路中的電阻看不出串并聯(lián)特點，這種類型的電路稱為復(fù)雜電阻電路。因此，用電阻串、并聯(lián)的公式無法對其進(jìn)行分析計算。電路除了串聯(lián)和并聯(lián)以外，還有什么別的連接方式呢？圖2-2-1混聯(lián)電路圖2-2-2(a)所示電路中，R1、R2、R3三個電阻的一端連接在一起，另一端分別與外電路連接，這種連接方式為Ｙ形連接(星形連接)，也稱為Ｔ形連接。

圖2-2-2(b)所示電路中，R12、R23、R31三個電阻依次首尾相連，然后三個連接點分別與外電路相連，這種連接方式稱為△形連接(三角形連接)，也稱為Π形連接。

圖2-2-2電阻的Ｙ形連接和△形連接2.2.2星形和三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效互換

在電路分析中，為了簡化電路的分析與計算，需要將電阻的星形與三角形連接進(jìn)行等效變換，可以將電路化簡為電阻的串、并聯(lián)的簡單形式。

Ｙ形網(wǎng)絡(luò)和△形網(wǎng)絡(luò)都有三個端子，稱為三端網(wǎng)絡(luò)。與單口網(wǎng)絡(luò)等效原理一樣，如果它們之間對應(yīng)端口的VCR一致，即當(dāng)流入端子的電流對應(yīng)相等時，端子間的電壓也對應(yīng)相等，它們對外電路的作用等效。根據(jù)等效原理，可以推導(dǎo)出Ｙ形網(wǎng)絡(luò)與△形網(wǎng)絡(luò)等效變換的公式(公式的推導(dǎo)可參閱李瀚蓀所編《電路分析基礎(chǔ)》一書的有關(guān)章節(jié))。由已知Ｙ形網(wǎng)絡(luò)的電阻R1、R2、R3，求等效△形網(wǎng)絡(luò)的電阻R12、R23、R31的公式為

由已知△形網(wǎng)絡(luò)的電阻R12、R23、R31，求等效Ｙ形網(wǎng)絡(luò)的電阻R1、R2、R3的公式為

注意：等效是對外電路等效，變換時對外相連的三個端子其對應(yīng)的位置不能改變。為了便于記憶，可將Ｙ形網(wǎng)絡(luò)與△形網(wǎng)絡(luò)等效變換的關(guān)系歸納為如下通式：

特別是當(dāng)Ｙ形網(wǎng)絡(luò)的三個電阻相等，即R1＝R2＝R3＝RY時，則R△＝3RY；當(dāng)△形網(wǎng)絡(luò)的三個電阻相等，即R12＝R23＝R32＝R△時，則RY＝13R△。

例2-2-1

電路如圖2-2-3(a)所示，求該二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Rab。

解1

將圖2-2-3(a)中虛線框內(nèi)的Ｙ形網(wǎng)絡(luò)等效變換成△形網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)公式得到等效△形網(wǎng)絡(luò)的三個電阻均為3R，如圖2-2-3(b)所示。利用串并聯(lián)關(guān)系求出二端網(wǎng)絡(luò)等效電阻

圖2-2-3例2-2-1用圖1

解2

將圖2-2-3(a)電路中的虛線框改為圖2-2-4(a)所示。將圖中虛線框內(nèi)的△形網(wǎng)絡(luò)等效變換成Ｙ形網(wǎng)絡(luò)，可得到Ｙ形網(wǎng)絡(luò)的三個電阻均為R/3，如圖2-2-4(b)所示。利用電阻串并聯(lián)關(guān)系求出二端網(wǎng)絡(luò)等效電阻

圖2-2-4例2-2-1用圖2

2-2-1Ｙ形連接也稱為Ｔ形連接，△形連接也稱為Π形連接。觀察Ｔ-Π變換公式，能否發(fā)現(xiàn)其他有規(guī)律性的應(yīng)用公式的方法？

2-2-2試計算圖2-2-5所示電路中的電流I。

思考與練習(xí)圖2-2-5題2-2-2圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)理解電壓源與電流源的等效變換的目的，理解等效變換的概念；

(2)結(jié)合無源二端網(wǎng)絡(luò)、含源二端網(wǎng)絡(luò)等效變化分析復(fù)雜電路。

獲取能力：

(1)正確利用等效互換化簡含源二端網(wǎng)絡(luò)；

(2)學(xué)會區(qū)分實際電源和理想電源模型的區(qū)別。2.3含源串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路的等效化簡2.3.1實際電源兩種模型的等效變換

第1章中已經(jīng)介紹了實際電源的兩種模型，一個實際電源可以用電壓源模型來等效代替，也可以用電流源模型來等效代替。圖2-3-1(a)所示為實際電源的串聯(lián)模型，由一個電壓源與一個電阻串聯(lián)組成，簡稱電源串聯(lián)模型。根據(jù)KVL可寫出串聯(lián)模型的VCR為

U＝Us－RsI

(2-3-1)

圖2-3-1(b)所示為實際電源的并聯(lián)模型，由一個電流源與一個電阻并聯(lián)組成，簡稱為電源并聯(lián)模型。根據(jù)KCL可寫出并聯(lián)模型的VCR為

圖2-3-1兩種電源模型的等效變換

(2-3-2)

上式整理后為

U＝Rs￠Is－Rs￠I

(2-3-3)

比較式(2-3-1)和式(2-3-3)可得等效變換的公式為

或

(2-3-4)

在進(jìn)行電源模型的等效變換時，應(yīng)U注意兩個問題：

(1)等效變換僅對外電路成立，電源模型內(nèi)部并不等效。

(2)變換時電壓源電壓的極性與電流源電流的方向的關(guān)系，即串聯(lián)模型中電壓源的電壓參考正極在哪一端，等效并聯(lián)模型中電流源電流的參考方向就指向哪一端；反之亦然。

總之，對外電路而言，任何一個實際電源都可以有兩種模型，這就使我們在解決電路問題時，方法更靈活，思路更開闊，這在以后分析電路問題時會體會到這一點。2.3.2幾種含源支路的等效變換

對任何二端網(wǎng)絡(luò)來說，如果其端口VCR一致，即彼此等效。根據(jù)這個特點，任何一個二端網(wǎng)絡(luò)均可等效變換為一個簡單電路。

1．電壓源與電壓源串聯(lián)及電流源與電流源并聯(lián)

圖2-3-2(a)所示為電壓源Us1與Us2串聯(lián)的電路，根據(jù)KVL得 U＝Us1－Us2＝Us

該電路可等效為圖2-3-2(b)所示的電壓源電路，二者對外電路的作用完全相同。依此類推，若干個電壓源串聯(lián)的電路，其等效電壓源電壓等于各串聯(lián)電壓源電壓的代數(shù)和。求代數(shù)和時，與等效電壓源參考方向相同的串聯(lián)電壓源取正號，反之取負(fù)號。

圖2-3-2電壓源與電壓源串聯(lián)等效為一個電壓源圖2-3-3(a)所示為電流源Is1與Is2并聯(lián)的電路，根據(jù)KCL可得 I＝Is1－Is2＝Is

該電路可等效為圖2-3-3(b)所示的電流源電路，二者對外電路的作用完全相同。依此類推，若干個電流源并聯(lián)的電路，其等效電流源電流等于各并聯(lián)電流源電流的代數(shù)和。求代數(shù)和時，與等效電流源參考方向相同的并聯(lián)電流源取正號，反之取負(fù)號。

圖2-3-3電流源與電流源并聯(lián)等效為一個電流源

2．電壓源與任意元件(或單口)并聯(lián)及電流源與任意元件(或單口)串聯(lián)

圖2-3-4(a)所示為電壓源Us與任一單口網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)的電路，可等效為圖2-3-4(b)所示的一個電壓源Us，即凡是與電壓源并聯(lián)的電路元件，對外等效時可省去。

圖2-3-5(a)所示電流源Is與任一單口網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)的電路，可等效為圖2-3-5(b)所示的一個電流源Is，即凡是與電流源串聯(lián)的電路元件，對外等效時可省去。

注意：兩個電壓不等的電壓源并聯(lián)時，因不滿足KVL，因而無意義。同樣，兩個電流不相等的電流源串聯(lián)，因違背KCL，也無意義。

圖2-3-4電壓源與任意元件(或單口)并聯(lián)等效為一個電壓源

圖2-3-5電流源與任意元件(或單口)串聯(lián)等效為一個電流源2.3.3含源混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的等效變換

在一般的含源網(wǎng)絡(luò)中，我們可以根據(jù)電路等效變換的原則將電路化簡。在化簡過程中，可以根據(jù)電路的具體結(jié)構(gòu)靈活運用各種等效關(guān)系。下面根據(jù)具體例題加以說明。

例2-3-1

將圖2-3-6(a)所示電路等效化簡為一個串聯(lián)模型。

解圖2-3-6(a)所示電路局部為并聯(lián)，整體為串聯(lián)關(guān)系，先將電流源模型等效變換成電壓源模型，然后再進(jìn)行合并化簡，化簡過程如圖2-3-6(b)、(c)所示。

圖2-3-6例2-3-1用圖

例2-3-2

將圖2-3-7(a)所示電路等效化簡為一個串聯(lián)模型。

解圖2-3-7(a)所示電路局部為串聯(lián)，整體為并聯(lián)關(guān)系，先將電壓源模型等效變換為電流源模型，然后再進(jìn)行合并化簡，化簡過程如圖2-3-7(b)、(c)、(d)所示。

圖2-3-7例2-3-2用圖

例2-3-3

電路如圖2-3-8(a)所示，用等效化簡的方法求2W電阻中的電流I。

解把ab端左邊部分電路逐步等效化簡，等效變換的過程如圖2-3-7(b)、(c)、(d)所示，最后等效化簡為一個串聯(lián)模型，如圖2-3-8(ｅ)所示，可求出

圖2-3-8例2-3-3附圖

2-3-1電壓源和電流源這兩種理想元件能否彼此等效？為什么？

2-3-2電壓源與任意單口網(wǎng)絡(luò)(只要不是電壓不等的另一電壓源)并聯(lián)、電流源與任意單口網(wǎng)絡(luò)(只要不是電流不等的另一電流源)串聯(lián)，可以如何等效化簡？

2-3-3化簡圖2-3-9所示各含源混聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)。思考與練習(xí)

圖2-3-9題2-3-3圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)掌握用支路電流法分析電路的具體步驟、計算方法和優(yōu)缺點；

(2)理解支路電流法是建立在KVL和KCL上的分析方法。

獲取能力：

(1)正確判斷電路圖中的支路、節(jié)點、網(wǎng)孔，假設(shè)各支路的支路電流；

(2)正確列舉獨立節(jié)點電流方程、網(wǎng)孔電壓方程，并能正確求解方程；

(3)根據(jù)支路電流正確分析電路中各元器件的電壓和功率。2.4支路電流法電路分析的基本方法是在給定電路結(jié)構(gòu)和電路元件參數(shù)的條件下，求出電路中某些支路或所有支路的電流或電壓。因此，根據(jù)求解的不同目的，就會有不同的分析方法。下面將介紹線性電路的一般分析方法。

以支路電流為電路待求變量，列出獨立的KCL和KVL方程，聯(lián)立求解支路電流，再利用支路的伏安關(guān)系等來求解其他電路物理量的電路分析方法稱為支路電流法(branchcurrentmethod)。

現(xiàn)以圖2-4-1所示電路為例，說明用支路法求解電路的基本步驟。

圖2-4-1支路電流法第一步，設(shè)每條支路電流的參考方向和回路的繞行方向，該電路有2個節(jié)點3條支路。

第二步，根據(jù)KCL列出兩節(jié)點電流方程。

在節(jié)點a：

－I1－I2＋I(xiàn)3＝0 (2-4-1)

在節(jié)點b：

I1＋I(xiàn)2－I3＝0 (2-4-2)

可以發(fā)現(xiàn)，節(jié)點b的KCL方程可由節(jié)點a的KCL方程兩邊同乘以－1得到，即兩個KCL方程中只有一個是獨立的。一般情況下，對于具有n個節(jié)點的電路，只能列出n－1個獨立的KCL方程。第三步，根據(jù)KVL列出各回路的電壓方程。

對adbca回路：

R1I1－R2I2＋Us2＋Us1＝0 (2-4-3)

對abda回路：

R2I2＋R3I3－Us2＝0 (2-4-4)

對abca回路：

R1I1＋R3I3＋Us1＝0 (2-4-5)可以發(fā)現(xiàn)，上面三個方程中的任何一個方程都可以從其余兩個方程導(dǎo)出，如將式(2-4-3)和式(2-4-4)相加即得到式(2-4-5)，即只有兩個方程是獨立的。一般對于具有n個節(jié)點、b條支路的電路，只能列出b－(n－1)個獨立的KVL方程。對于平面電路，通常選用網(wǎng)孔作為獨立回路來列KVL方程。

第四步，聯(lián)立求解由式(2-4-1)、式(2-4-3)、式(2-4-4)組成的方程組，求得各支路電流。

支路電流法能解決各種復(fù)雜電路的分析計算問題，但當(dāng)電路支路數(shù)較多時，求解的方程數(shù)多，計算顯得繁瑣。然而，通過方程的建立過程，我們發(fā)現(xiàn)其具有一定規(guī)律性，我們可以通過對方程的整理，找出規(guī)律，便于編排程序，借助計算機進(jìn)行分析計算。因此，作為基本分析方法，其應(yīng)用還是很廣泛的。

例2-4-1

用支路電流法求圖2-4-2所示電路各支路電流及各電源的功率。

解各支路電流的參考方向和獨立回路的繞行方向如圖所示。根據(jù)KCL列出a節(jié)點電流方程：

I1＋I(xiàn)2－I3＝0

列網(wǎng)孔(獨立回路)的KVL方程：

15I1－I2＋9－15＝0

I2＋1.5I3＋4.5－9＝0

圖2-4-2例2-4-1用圖

聯(lián)立上述三個方程，并整理，得

I1＋I(xiàn)2－I3＝0

15I1－I2＝6

I2＋1.5I3＝4.5

解上述方程組，得

I1＝0.5A，I2＝1.5A，I3＝2A

15V電壓源功率：P1＝－15×0.5＝－7.5W(生產(chǎn)功率)

9V電壓源功率：P1＝－9×1.5＝－13.5W(生產(chǎn)功率)

4.5V電壓源功率：P1＝4.5×2＝9W(吸收功率)

2-４-1電路如圖2-4-3所示，列出用支路電流法求解的方程式。

2-４-2用支路電流法求圖2-4-4所示電路中各支路的電流。

2-４-3閱讀選學(xué)內(nèi)容，了解什么是網(wǎng)孔電流法。思考與練習(xí)

圖2-4-3題2-4-1圖

圖2-4-4題2-4-2圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)掌握節(jié)點電位法分析電路的具體步驟、計算方法和優(yōu)缺點；

(2)深入理解根據(jù)節(jié)點電位法所列寫的電路方程式中各項的物理意義。

獲取能力：

(1)正確判斷電路圖中的節(jié)點，選定合適參考點，設(shè)出節(jié)點電位；

2.5節(jié)點電位法

(2)正確列寫節(jié)點電位方程，并能正確求解方程；

(3)根據(jù)節(jié)點電位正確分析電路中各元器件的電壓和功率。

節(jié)點電位法(nodeelectricpotentialmethod)簡稱節(jié)點法，是著眼于減少方程個數(shù)的一種改進(jìn)的分析方法。該方法比較適合對大網(wǎng)絡(luò)作計算機輔助分析。2.5.1節(jié)點電位方程

節(jié)點電位法實質(zhì)上是求解以節(jié)點電位為未知量的一組KCL方程。通過求出電路中各節(jié)點的電位，由節(jié)點間的電壓求出各支路的電流。

下面通過圖2-5-1所示的電路為例來看方程的推導(dǎo)過程。

首先選定參考點，各支路電流如圖2-5-1所示，根據(jù)KCL列出1、2兩節(jié)點的電流方程為

－I1－Is1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)s2＝0 (2-5-1)

－I2－Is2－I3＋I(xiàn)4＋I(xiàn)s3＝0 (2-5-2)

圖2-5-1有3個節(jié)點的電路以兩節(jié)點的電位j1、j2表示出各支路電流：

將以上各支路電流的表示式代入式(2-5-1)、(2-5-2)，得

整理后為

用電導(dǎo)來表示上面的方程，得

(G1＋G2)j1－G2j2＝Is1－Is2

－G2j1＋(G2＋G3＋G4)j2＝Is2－Is3

上式可寫為

G11j1＋G12j2＝Is11

G21j1＋G22j2＝Is22

這就是節(jié)點電位方程的一般形式。其中，G11＝G1＋G2稱為自電導(dǎo)，為節(jié)點1所連接的所有支路的電導(dǎo)之和；同樣，G22＝G2＋G3＋G4為節(jié)點2的自電導(dǎo)。G12＝G21＝－1/R2稱為互電導(dǎo)，為連接于1、2兩節(jié)點之間(公共支路)電導(dǎo)之和，并總?cè)∝?fù)號。Is11、Is22分別為流入節(jié)點1、2的各支路電流源電流的代數(shù)和，流入的取正號，流出的取負(fù)號。依此類推，對于有3個獨立節(jié)點的電路，節(jié)點電位方程的一般形式為

G11j1＋G12j2＋G13j3＝Is11

G21j1＋G22j2＋G23j3＝Is22

G31j1＋G32j2＋G33j3＝Is33

(2-5-3)

有了方程的一般形式，就可以直接寫出方程，使電路的求解變得方便。

例2-5-1

用節(jié)點電位法計算圖2-5-1電路中各支路的電流。

解(1)選定參考點如圖中所示。

(2)按式(2-5-3)列出節(jié)點電位方程。

整理后為

(3)解方程組，得

j1＝3V，j2＝2V

(４)進(jìn)一步求出各支路電流：

(5)校驗。列出參考節(jié)點的KCL方程，將所求出的各支路電流值代入，得

I1＋I(xiàn)s1－I2－Is2＝－1＋4－0.4－2.1－0.5＝0

滿足KCL方程。

電路吸收的總功率

即電路滿足能量守恒定律。

例2-5-2

用節(jié)點電位法求圖2-5-2(a)所示電路中各支路的電流。

解本題電路含有電壓源與電阻串聯(lián)的支路，故先作等效變換，如圖2-5-2(b)所示。變換前后節(jié)點位置不動。

選定參考點，對變換后的電路列出節(jié)點電位方程

圖2-5-2例2-5-2用圖整理后為

4j1－3j2＝5

－3j1＋5j2＝－1

解方程組，得

j1＝2V，j2＝1V

根據(jù)以上求出的電位值，進(jìn)而在原電路中求出各支路的電流為

例2-5-3

用節(jié)點電位法求圖2-5-3所示電路中各節(jié)點的電位。

解本例題電路中有兩條電壓源支路。選擇14V電壓源的負(fù)極為參考點，則節(jié)點1的電位j1＝14V為已知，需要計算的未知電位減少為2個。如前所述，節(jié)點電位方程是以節(jié)點電位為未知量的一組KCL方程，因此，列節(jié)點方程時8V電壓源的電流I(未知)不要漏掉。按節(jié)點電位方程的一般形式，將電流I視同已知電流源的電流置于等式右邊，具體方程列寫如下：

圖2-5-3例2-5-3用圖

節(jié)點2：

節(jié)點3：

j1為已知，因此方程中有3個未知量，必須增加一個方程才能求解。未知量I來自8V電壓源，增加的方程應(yīng)考慮8V電壓源同節(jié)點電位的關(guān)系。增加方程為

j2－j3＝8

將以上三個方程聯(lián)立求解，得

j2＝12V，j3＝4V，I＝－1A2.5.2彌爾曼定理

對圖2-5-4所示的兩節(jié)點電路，選取節(jié)點b為參考點，則節(jié)點a的電位方程為

若各電阻元件均以其電導(dǎo)表示，則上式可寫成

(G1＋G2＋G3＋G4)ja＝G1Us1＋G2Us2－G3Us3

解得

圖2-5-4兩節(jié)點電路

上式可寫成一般形式為

此式稱為彌爾曼定理(Millman’stheorem)。式中∑GUs

為流出(或流進(jìn))參考點的各等效電流源電流的代數(shù)和，參考方向為離開參考點的電流取正號；反之，取負(fù)號?！艷為各支路電導(dǎo)的和。對兩節(jié)點的電路，用彌爾曼定理計算較為簡便。

2-5-1怎樣理解“節(jié)點電位方程實質(zhì)上是以節(jié)點電位為未知變量的KCL方程”？

2-5-2觀察節(jié)點電位方程的一般形式，指出方程中等號兩邊代數(shù)式的含義。

2-5-3用節(jié)點電位法計算圖2-5-1所示電路中各節(jié)點的電位和2Ａ電流源的電壓。思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)掌握疊加定理的主要內(nèi)容，理解獨立電源的含義；

(2)深入理解疊加定理的應(yīng)用范圍。

獲取能力：

(1)正確應(yīng)用疊加定理進(jìn)行電路分析；

(2)正確陳述疊加定理；2.6疊加定理

(3)列出應(yīng)用疊加定理的步驟。

在線性電路中，疊加定理(superpositiontheorem)是一個基本定理，它是這樣表述的：在線性電路中，當(dāng)有兩個或兩個以上的獨立源作用時，電路中任意支路的電壓(或電流)的響應(yīng)，等于各個獨立源單獨作用時在該支路中產(chǎn)生的電壓(或電流)響應(yīng)的代數(shù)和。

下面通過一個例子來進(jìn)一步解釋疊加定理。

例2-6-1

計算圖2-6-1(a)、(b)、(c)所示電路中電壓Uo、Uo￠、Uo2。

解對于圖2-6-1(a)所示電路，列出節(jié)點方程，其中j2＝Uo。

圖2-6-1例2-6-1用圖解方程組，得

所以在圖2-6-1(a)所示電路中

在圖2-6-1(b)所示電路中，根據(jù)分流公式：

所以在圖2-6-1(b)所示電路中

Uo￠＝Io￠×6＝5V

對于圖2-6-1(c)所示電路，根據(jù)分壓公式得

從計算結(jié)果可以看出：

顯然上式為疊加關(guān)系，這是線性電路的基本性質(zhì)。觀察三個電路的構(gòu)成，不難發(fā)現(xiàn)：圖(a)電路中電壓源單獨作用而電流源不作用(用開路代替)，即得圖(c)電路；而如果圖(a)電路中電流源作用而電壓源不作用(用短路代替)，則得圖(b)電路。因此，上述電壓、電流間的關(guān)系表明：圖(a)電路中6W支路的電壓Uo(或電流Io)，等于電路中兩獨立源分別單獨作用時，在該支路產(chǎn)生的電壓Uo￠與Uo2(或Io￠與Io2)之和?？梢宰C明：任一線性電路，如果有多個獨立源同時作用，則其中任一條支路產(chǎn)生的電壓或電流等于各獨立源單獨作用時在該支路中產(chǎn)生的電壓或電流的代數(shù)和。這就是疊加定理。應(yīng)用疊加定理時，應(yīng)注意以下幾點：

(1)疊加定理只適用于線性電路(即由線性元件組成的電路)，而且只適用于電壓、電流的計算，不適用于功率的計算。

(2)計算各獨立源單獨激勵下的響應(yīng)時，其他的電壓源用短路代替，電流源用開路代替，電阻的阻值及位置保持不變。

(3)疊加時要注意電壓和電流的參考方向，若分量的參考方向與原電路中該響應(yīng)的參考方向一致，則該分量取正號，否則取負(fù)號。

例2-6-2

用疊加定理計算圖2-6-2所示電路中通過12W電阻上的電流I，并驗證疊加定理不適用于功率計算。

解圖2-6-2(b)、(c)分別為原電路中的兩獨立源單獨作用(激勵)時的電路。由圖(b)可得12W電阻的電流為

該支路電壓為

U￠＝12I￠＝12×1＝12V

功率為

P￠＝U￠I￠＝12×1＝12W

圖2-6-2例2-6-2用圖

由圖(c)得同一支路的電流為

電壓為

U2＝12×1.5＝18V

功率為

P2＝U2I2＝18×1.5＝27W

根據(jù)疊加定理

I＝I￠＋I(xiàn)2＝1＋1.5＝2.5A

U＝U￠＋U2＝12＋18＝30V

圖2-6-2(a)中12W電阻消耗的功率為

P＝UI＝30×2.5＝75W

由于

P￠＋P2＝12＋27＝39W

可見疊加定理不適用于功率計算。

2-6-1用疊加定理分析電路時應(yīng)注意哪些問題？

2-6-2用疊加定理計算圖2-6-3所示電路中的電流I。思考與練習(xí)

圖2-6-3題2-6-2圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)掌握戴維南定理的主要內(nèi)容，理解戴維南等效電壓源和戴維南等效電阻的含義；

(2)了解戴維南定理的應(yīng)用范圍及對于二端網(wǎng)絡(luò)的要求。

獲取能力：

(1)應(yīng)用戴維南定理簡化電路的分析；

(2)描述戴維南等效電路的形成；

(3)正確求解戴維南等效電壓源及戴維南等效電阻。2.7戴維南定理2.7.1戴維南定理

戴維南定理(Thevenin’stheorem)也是線性電路的一個非常有用的定理。如果電路中需求的只是某一支路的電壓或電流，對這樣的一類問題，我們常用戴維南定理來進(jìn)行分析。下面先看一個例子。

例2-7-1

計算圖2-7-1(a)所示含源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓Uoc及圖2-7-1(b)所示無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Ro。

解對圖2-7-1(a)所示電路，設(shè)節(jié)點b為參考點，列出節(jié)點a的電位方程為

解得

ja＝－1VUoc＝j(luò)a＝－1V

對圖2-7-1(b)所示電路

圖2-7-1例2-7-1用圖

我們已經(jīng)知道圖2-7-1(a)所示為一線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，它可以等效化簡為一串聯(lián)模型，如圖2-7-2(d)所示。在等效串聯(lián)模型中，電壓源的電壓為－1V，恰好等于上例中含源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc，而串聯(lián)電阻為2W，等于上例中無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Ro。另外，不難發(fā)現(xiàn)：圖2-7-1(b)所示電路是圖2-7-1(a)電路中的電壓源被短路代替，電流源被開路代替后所得的無源二端網(wǎng)絡(luò)。

圖2-7-2含源單口網(wǎng)絡(luò)的化簡

總結(jié)：圖2-7-1(a)所示二端網(wǎng)絡(luò)的等效串聯(lián)模型中，電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)端口的開路電壓；串聯(lián)電阻等于含源網(wǎng)絡(luò)變?yōu)闊o源網(wǎng)絡(luò)后端口的等效電阻。

可以證明：任一線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，它總可以等效化簡為一個電壓源與電阻串聯(lián)的模型。其中，電壓源的電壓等于該含源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc；其串聯(lián)電阻Ro等于該網(wǎng)絡(luò)中所有獨立源為零(即電壓源短路，電流源開路)時所得的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。這就是戴維南定理。

這一串聯(lián)支路稱為戴維南等效電路，Ro在電子電路中稱為輸出電阻。2.7.2戴維南定理應(yīng)用

在電路分析中，常會遇到只要求計算某一條支路的電壓或電流的情況，這時，我們就可以把該支路從整個電路中暫時斷開，電路的剩余部分就是一個含源二端網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)戴維南定理可以把它等效為戴維南支路，然后再把斷開的支路重新接上，整個電路就化簡為一個單回路電路，這時求回路電流或電壓就方便多了。下面用實例來說明戴維南定理在電路分析中的應(yīng)用。

例2-7-2

電路如圖2-7-3所示，應(yīng)用戴維南定理求電流I。

解斷開10W支路以后，電路如圖2-7-3(b)所示，根據(jù)戴維南定理，圖(b)所示的含源二端網(wǎng)絡(luò)可用開路電壓Uoc和等效電阻Ro的串聯(lián)支路來代替，只要求出戴維南電路，再把10W支路重新接在a、b端上，電流I就很容易求出。

(1)求開路電壓Uoc。由圖(b)可知，開路電壓Uoc就是2W電阻上的電壓，由于a、b端開路，6A電流源的電流全部流過2W電阻，得

Uoc＝2×6＝12V

圖2-7-3例2-7-2用圖

(2)求等效電阻Ro。將圖2-7-3(b)所示電路化為無源二端網(wǎng)絡(luò)(即電流源用開路代替，電壓源用短路代替)可得如圖2-7-3(c)所示電路，得到a、b端的等效電阻為

Ro＝2W

(3)畫出戴維南等效電路，接上10W電阻，如圖2-7-3(d)所示，求I。由此可得

例2-7-3

用戴維南定理求圖2-7-4(a)所示電路中的電流I。

解

(1)求開路電壓Uoc。斷開14W電阻支路，得圖2-7-4(b)所示電路，求Uoc＝Uab。

Uoc＝Uab＝8＋2I1＝8＋2×1＝10V

(2)求等效電阻Ro。將電壓源短路，如圖2-7-4(c)所示，則

圖2-7-4例2-7-3用圖

(3)畫出戴維南等效電路，接上14W電阻支路，如圖2-7-4(d)所示，求出

圖2-7-5例2-7-4附圖例2-7-4

用戴維南定理求解圖2-7-5(a)所示電路中的電壓Uab。

解

(1)求開路電壓Uoc。暫時斷開5W電阻支路，得圖2-7-5(b)所示電路。選擇節(jié)點d為參考點，列出節(jié)點c的電位方程為

解得

則

Uoc＝－20＋50I1－30＋5I2

＝－20＋50×0.5－30＋5×(－1)

＝－30V

(2)求等效電阻Ro。將圖(b)所示含源二端網(wǎng)絡(luò)化為無源二端網(wǎng)絡(luò)(電壓源短路)，得圖(c)所示電路。這是一個含有Ｙ形和△形連接的電阻網(wǎng)絡(luò)。將虛線框內(nèi)的△形用等效Ｙ形代替，得圖(d)所示電路，并得到a、b端的等效電阻Ro為

(3)求電壓Uab。畫出戴維南等效支路，接上15W電阻支路，如圖(ｅ)所示。利用分壓公式得到

2.7.3等效串聯(lián)模型參數(shù)的測定

利用戴維南定理，可以確定一個線性含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效串聯(lián)模型，而不一定要求知道二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的具體情況，因為我們可以用測量的方法得到開路電壓Uoc和輸出電阻Ro。

測量某一線性含源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc，可以用電壓表直接測量，見圖2-7-6(a)。由于電壓表的內(nèi)阻并非無窮大，測量結(jié)果會有誤差。為了減小測量誤差，應(yīng)盡可能選用高內(nèi)阻的電壓表。

如果該含源二端網(wǎng)絡(luò)可以容許短路，可用電流表測出其短路電流Isc，見圖2-7-6(b)。由于電流表的內(nèi)阻要求愈小愈好，因此應(yīng)盡量選用低內(nèi)阻的電流表。

圖2-7-6等效串聯(lián)模型參數(shù)的實驗測定從圖2-7-6(b)可以得到

(2-7-1)

若該二端網(wǎng)絡(luò)不容許短路，可外接一負(fù)載電阻RL，測量其負(fù)載電流IL，見圖2-7-6(c)。如果負(fù)載電阻RL已知，則輸出電阻

(2-7-2)

以上結(jié)論對電路分析很有用，如果我們算得網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc和短路電路Isc，由這兩個數(shù)據(jù)即可求出Ro，于是戴維南等效電路也就求出來了。注意：畫戴維南等效電路時，電壓源的極性必須和開路電壓的極性一致，求開路電壓Uoc時，如果是a端為Uoc參考極性的正端，則畫戴維南等效電路時，也應(yīng)以a端為等效電壓源的正端。

2-７-1戴維南定理指出：任一線性含源單口網(wǎng)絡(luò)都可以等效化簡為一個串聯(lián)模型，是否也可以等效化簡為并聯(lián)模型？為什么？

2-７-2電路如圖2-7-7所示，已知圖(a)中U＝12.5V，圖(b)中I＝10mA，求單口網(wǎng)絡(luò)Ａ的戴維南等效電路(提示：先求Isc，再求Ro)。思考與練習(xí)

圖2-7-7題2-7-2圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)理解受控源的定義，掌握含受控源電路的分析；

(2)深入了解受控源和獨立源的區(qū)別及在電路分析中的應(yīng)用。

獲取能力：

(1)正確判斷受控源的類型，區(qū)分控制量和被控制量；

(2)正確描述獨立電源和受控電源在電路中的作用；

(3)正確分析和處理含受控源的電路。2.8含受控源電路的分析2.8.1受控源

前面我們介紹的電壓源和電流源，其電壓與電流不受外電路的影響而獨立存在，這種電源稱為獨立電源(independentsource)。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了另一種新的理想元件——受控源(dependentorcontrolledsource)。受控源也是一種電源，但是，它們的電壓或電流不能獨立存在，而要受到電路中其他支路電壓或電流的控制。因此受控源又稱為非獨立電源。受控源有四個端子：一對輸入端，一對輸出端，有時稱為雙端口元件。根據(jù)控制量(輸入端的電壓或電流)和被控制量(輸出端的電壓或電流)的不同，受控源有四種形式：電流控制電流源(CurrentControlledCurrentSource，CCCS)、電流控制電壓源(CurrentControlledVoltageSource，CCVS)、電壓控制電流源(VoltageControlledCurrentSource，VCCS)和電壓控制電壓源(VoltageControlledVoltageSource，VCVS)，如圖2-8-1所示。為了區(qū)別于獨立源，用菱形符號表示受控源。圖中的“＋”、“－”號和箭頭表示電壓和電流的參考方向，b、r、g和m稱為控制系數(shù)，當(dāng)它們?yōu)槌?shù)時，被控制量和控制量成正比，這種受控源稱為線性受控源。本書只討論含線性受控源的電路。

圖2-8-1四種受控源的圖形符號

圖2-8-2三極管等效電路雖然受控源和獨立源都是電源，但它們在電路中的作用不同。獨立源是作為電路的輸入(激勵)，表明外界對電路作用，由此在電路中產(chǎn)生電壓和電流(響應(yīng))。而受控源的電壓和電流受其他支路電壓或電流的作用(或控制)，如果電路中無獨立源激勵，則電路中各處沒有電壓和電流，受控源控制量為零，于是輸出量也為零。例如受控源可以用來作為晶體三極管的電路模型，見圖2-8-2。2.8.2含受控源電路的分析

在分析含受控源的電路時，在考慮到電壓或電流的控制關(guān)系后，受控源可按獨立源來處理，如兩種電源模型的等效互換也適用于受控源。但受控源在電路中的作用與獨立源有著本質(zhì)的區(qū)別。獨立源是電路中的激勵，而受控源的輸出是響應(yīng)。因此，在分析含受控源電路時，要注意兩點：一是受控源不能單獨作用；二是各獨立源單獨作用時，受控源要保留在電路中。

用戴維南定理求含受控源的含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效串聯(lián)模型時，對應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)中也應(yīng)保留受控源，此時的無源網(wǎng)絡(luò)并非單純的電阻網(wǎng)絡(luò)，因而不能用電阻串、并聯(lián)的方法計算其等效電阻，而必須用開路法、短路法或外施電源法。下面通過例題來說明。

例2-8-1

求圖2-8-3(a)所示含受控源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。

解將圖(a)所示電路中的受控源與電阻并聯(lián)的部分和電流源與5W電阻并聯(lián)電路等效變換成受控源與電阻串聯(lián)和電壓源與5W電阻串聯(lián)的電路，如圖(b)所示。

(1)求開路電壓Uoc。對圖(b)所示電路，由KVL得

4Uoc＋Uoc＝20

解得

Uoc＝4V

圖2-8-3例2-8-1用圖

(2)求等效電阻Ro。

①用開路、短路法求Ro。將圖(b)所示電路中a、b端短路，如圖(c)所示。因為Uab＝U＝0，所以4U＝0。根據(jù)KVL得

(5＋2)Isc＝20

解得

根據(jù)式(2-7-1)得

②用外加電源法求Ro。將圖(b)所示電路中的電壓源以短路代替，得到對應(yīng)的無源(指獨立源)網(wǎng)絡(luò)。對該無源二端網(wǎng)絡(luò)，在其端口施加任一電壓源(或電流源)，則端口電壓與電流的比值即為該二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Ro。在圖(d)中

2I－4U＋5I＝U7I＝5U

即

所以

Ro＝1.4W

(3)畫出原電路的戴維南等效電路，如圖2-8-3(ｅ)所示

圖2-8-4例2-8-2用圖

例2-8-2

圖2-8-4為晶體管放大電路的微變等效電路，Ui為輸入電壓，Uo為輸出電壓。已知Ui＝15mV，R1＝1kW，R2＝2kW，R3＝100W，b＝40。求輸出電壓Uo。

解由KVL及KCL可得

I1R1＋I(xiàn)3R3－Ui＝0

I3＝I1＋bI1＝(1＋b)I1

解得

由歐姆定律得

Uo＝－bI1R2＝－40×2.94×10－6×2×103

＝－235.2×10－3(V)

＝－235.2(mV)

圖2-8-5例2-8-3附圖

例2-8-3

電路如圖2-8-5(a)所示，已知電阻RL＝3.2W，用戴維南定理求電流I。

解除去原電路中的電阻RL，得線性含源單口網(wǎng)絡(luò)ab。將其中的受控電流源與電阻并聯(lián)的部分等效變換為受控電壓源與電阻串聯(lián)，如圖2-8-5(b)所示?？刂屏縄1所在支路不得做等效變換，否則使控制量消失，計算將變得更復(fù)雜。

(1)求ab端口的開路電壓Uoc。對圖(b)所示電路，由于開路，端口電流為零，很容易求得電流I1為

故得開路電壓為

(2)用外施電源法求輸出電阻Ro。將圖(b)所示電路中的20V電壓源以短路代替，得對應(yīng)的單口網(wǎng)絡(luò)。對該無源單口網(wǎng)絡(luò)，外施加10A電流源作用，如圖(c)所示。利用分流公式可求得

此時ab端的電壓

U＝2×10－4I1－4I1＝20－8×(－6)＝68V

輸出電阻等于端口電壓與端口電流之比為

(3)畫出等效電路圖，作進(jìn)一步計算。畫出等效串聯(lián)模型，并接上電阻RL，如圖2-8-5(d)所示。由圖(d)得

2-8-1受控源與獨立源有什么區(qū)別？分析含有受控源的電路時應(yīng)如何處理受控源？

2-8-2如圖2-8-6所示電路，求二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

2-8-3求圖2-8-7所示電路中的I和U及受控源2U的功率。

思考與練習(xí)圖2-8-6題2-8-2圖圖2-8-7題2-8-3圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)掌握最大功率傳輸定理的主要內(nèi)容；

(2)了解最大功率傳輸定理的應(yīng)用范圍，并利用此定理求解電路。

獲取能力：

(1)正確應(yīng)用最大功率傳輸定理；

(2)正確陳述最大功率傳輸定理；

(3)確定給定電路傳輸最大功率時的負(fù)載電阻值。2.9最大功率輸出計算是電路分析中很重要的一個方面，在電子測量儀器中所用的電源，無論是直流源還是各種波形的信號源，其內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)都是很復(fù)雜的，但它們在向外電路輸出時都引出兩個端子接到負(fù)載。這樣，可以把它們看成是一個含源二端網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)所接負(fù)載不同時，二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給負(fù)載的功率也不同。下面討論的問題是：負(fù)載電阻為何值時，從二端含源網(wǎng)絡(luò)獲得的功率最大？如圖2-9-1(a)所示，A為一含源二端網(wǎng)絡(luò)；RL為負(fù)載，根據(jù)戴維南定理，將任意一個含源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南等效電路來表示，如圖2-9-1(b)所示。于是含源二端網(wǎng)絡(luò)的輸出功率即是負(fù)載電阻RL上消耗的功率，其值為

(2-9-1)

由式(2-9-1)可知：若RL過大，則流過RL上的電流就過??；若RL過小，則負(fù)載電壓就過小，此時都不能使RL上獲得最大功率。在RL＝0與RL＝∞之間將有一個電阻值可使負(fù)載獲得最大功率。當(dāng)負(fù)載電阻可變時，根據(jù)式(2-9-1)，可得P與RL變化的曲線，如圖2-9-2所示。

用數(shù)學(xué)方法對式(2-9-1)求極大值，可得負(fù)載獲得最大功率的條件為

RL＝Ro

(2-9-2)

圖2-9-1最大功率傳輸圖2-9-2輸出功率與負(fù)載變化曲線

此時，負(fù)載獲得最大功率為

(2-9-3)

即當(dāng)負(fù)載電阻RL等于等效電源內(nèi)阻時，負(fù)載獲得最大功率。一般常把負(fù)載獲得最大功率的條件稱為最大功率傳輸定理。在無線電技術(shù)中，由于傳送的功率比較小，效率高低已屬次要問題，為了使負(fù)載獲得最大功率，電路的工作點盡可能設(shè)計在RL＝Ro處，常稱為阻抗匹配。

在電力系統(tǒng)中，輸送功率很大，效率是第一位的，故應(yīng)使電源內(nèi)阻遠(yuǎn)小于負(fù)載電阻，不能要求匹配。

如果負(fù)載的功率來自一個具有內(nèi)阻為Ro的電壓源，那么負(fù)載獲得最大功率時，因為RL＝Ro，其傳輸效率為50%。但是，若負(fù)載的功率來自一個含源二端網(wǎng)絡(luò)，由于Ro上消耗的功率一般并不等于二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率，因此，此時傳輸效率就不是50%了。

例2-9-1

如圖2-9-3所示，求RL上獲得的最大功率及電源輸出功率的效率。

解RL上獲得最大功率的條件為RL＝Ro＝4W，此時

電源Us發(fā)出的功率為

傳輸效率為

圖2-9-3例2-9-1附圖

例2-9-2

如圖2-9-4(a)所示電路，若要負(fù)載獲得最大功率，電阻RL應(yīng)有多大？最大功率為多少？傳輸效率為多少？

解把負(fù)載RL斷開，將N網(wǎng)絡(luò)用戴維南等效電路來表示，如圖2-9-4(b)所示，則

圖2-9-4例2-9-2用圖當(dāng)RL＝Ro＝2W時，負(fù)載RL獲得最大功率，最大功率為

由圖2-9-4(a)計算電源實際消耗的功率。因為

故電源發(fā)出的功率為

則傳輸效率為

2-9-1在什么條件下含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給負(fù)載的功率為最大？這時傳輸效率是否為50％？

2-9-2求圖2-9-5中負(fù)載獲得最大功率時的RL值及最大功率。思考與練習(xí)

圖2-9-5題2-9-2圖伏特(1745—1827年)，意大利物理學(xué)家。伏特于1769年發(fā)表了第一篇科學(xué)論文，1774年任科莫皇家學(xué)校物理學(xué)教授，1779年任帕維亞大學(xué)物理學(xué)教授。1777年，伏特改進(jìn)起電盤和驗電器；1800年3月20日宣布發(fā)明伏打電堆，這是最早的直流電源。從此，人類對電的研究從靜電發(fā)展到流動電。伏特于1801年獲法國拿破侖一世授予的伏特金質(zhì)獎?wù)?、獎金和伯爵銜?791年，伏特被選為倫敦皇家學(xué)會會員，1794年獲皇家學(xué)會科普利獎?wù)?。為紀(jì)念他，人們將電動勢單位取名為伏特(V)。

1.電源建模

電源建模是戴維南和諾頓等效定理應(yīng)用的一個實例，對于實際電源，如電池，人們通常用它的戴維南或諾頓等效電路來描述它。對于理想電壓源，不管負(fù)載從它那里提取多少電流，它總是提供固定的電流。實際使用的電壓源和電流源不可能是理想的，因為它們有內(nèi)部電阻Rs和源電阻RP，如附圖2.1所示，隨著Rs→0和RP→∞，則電壓源和電流源將接近理想源。應(yīng)用與訓(xùn)練

附圖2.1實際電源內(nèi)部結(jié)構(gòu)負(fù)載對電壓源的影響：負(fù)載RL接于電壓源兩端，如附圖2.2(a)所示，根據(jù)分壓原理，負(fù)載上的電壓為

若RL增加，負(fù)載電壓趨近于源電壓Us，如附圖2.2(b)所示。上式還表明：

(1)如果電源的內(nèi)部電阻Rs為零，或者Rs

RL，則負(fù)載上的電壓將為常量。換言之，與RL相比較，若Rs越小，則電壓源越接近理想電源。

(2)不接負(fù)載時(電源開路RL→∞)，Uoc＝Us，則Us可以認(rèn)為不帶負(fù)載的源電壓。接上負(fù)載就會造成終端電壓的下降。這種效果稱為負(fù)載效應(yīng)。

負(fù)載對電流源的影響：負(fù)載RL接于電流源兩端，如附圖2.3(a)所示，根據(jù)分流原理，負(fù)載上的電流：

附圖2.2實際電壓源模型接負(fù)載

附圖2.3實際電流源模型接負(fù)載附圖2.3(b)畫出了負(fù)載電流隨著負(fù)載增加而變化的曲線。同樣，由于負(fù)載的引入而使電流下降，只有當(dāng)源電阻RP非常大(RP→∞，或者RP

RL)的情況下，負(fù)載電流才是常量，接近于理想源。

有時候，對一個電壓源要知道它的開路源電壓Us和內(nèi)部電阻Rs。如附圖2.4所示，可以用下述方法得到Us和Rs：

首先，如附圖2.4(a)所示，測量開路電壓Uoc，則Us＝Uoc。然后，接上一個可變電阻RL，如附圖2.4(b)所示，改變電阻RL直到測到的負(fù)載電壓正好等于開路電壓的一半為止，即uL＝Uoc/2。此時，將電阻RL取下來，再測RL的值，則Rs＝RL。

附圖2.4電源模型

2.數(shù)字萬用表

最常用的電子測量設(shè)備是DMM，即數(shù)字萬用表(見附圖2.5)，它是用來測量電壓、電流和阻值的。為了測量電壓，來自DMM的兩根導(dǎo)線連接到適當(dāng)?shù)碾娐吩?。一個端子通常標(biāo)為“V/W”，表示正參考端，另一端通常用接地符號表示。在這種測量方式下，DMM對測量電路不提供功率。

通過對戴維南等效電路的討論，讀者現(xiàn)在清楚了，DMM本身也有它的戴維南等效電阻。這個戴維南等效電阻與待測電路并聯(lián)，它對測量會有影響(見附圖2.6)。附圖2.5測量直流電壓時DMM的接法附圖2.6附圖2.5中的DMM用戴維南等效電阻一般來說，較好的DMM的輸入電阻典型值為10MW或更高。這樣，測量電壓U出現(xiàn)在1kW∥10MW＝999.9W上。利用分壓原理，求得U＝4.4998V，比期望值4.5V稍小。因此，電壓表有限的輸入電阻在測量值中引入了一個小誤差。

測量電流時，DMM必須與電路元件串聯(lián)，一般要求將導(dǎo)線剪開(見附圖2.7)。DMM的一根線連接到表的地端，另一根線接到通常標(biāo)為“A”(表示電流測量)的端。同樣，這種測量狀態(tài)下，DMM也不向外電路提供功率。

附圖2.7電流測量時DMM的接法從圖中可見，DMM的戴維南等效電阻(RDMM)與待測電阻串聯(lián)，所以它的值會對測量值有影響。寫出回路的KVL方程：

－9＋1000I＋RDMMI＋1000I＝0

注意，已經(jīng)將電表接成電流測量方式，其戴維南等效電阻與電壓測量下的戴維南等效電阻不同。事實上，理想的RDMM值對電流測量為0W，對電壓測量為∞。如果RDMM為0.1W，可以看到，測量電流值是4.4998mA，只是與期望值4.5mA稍有不同。根據(jù)電表所能顯示的位數(shù)，甚至不能察覺非零RDMM值對測量的影響。

一、等效化簡

VCR完全一致的兩個單口網(wǎng)絡(luò)互為等效網(wǎng)絡(luò)，等效網(wǎng)絡(luò)對任一外電路的作用彼此相同。分析電路時為使問題簡化，用一個結(jié)構(gòu)簡單的等效網(wǎng)絡(luò)代替原來結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，稱為等效化簡。

等效電路的概念是電路分析中一個很重要的概念，可以使所分析的問題得到簡化，是電路分析中經(jīng)常使用的方法。本章小結(jié)二、無源及含源串、并、混聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的等效化簡

1．電阻的串聯(lián)和并聯(lián)

電阻串聯(lián)時各電阻通過同一個電流。電阻串聯(lián)電路的等效電阻等于串聯(lián)的各電阻之和。串聯(lián)各電阻的電壓與其電阻值成正比。

電阻并聯(lián)時各電阻的電壓相同。電阻并聯(lián)電路的等效電導(dǎo)等于并聯(lián)各電阻的電導(dǎo)之和。并聯(lián)各電阻的電流與其電導(dǎo)值成正比。兩電阻并聯(lián)時，等效電阻及分流的計算常用以下公式：

2．Ｙ形和△形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效互換

Ｙ→△的公式：

△→Ｙ的公式：

3．含源串、并、混聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的等效化簡

實際電源的兩種模型可以等效互換。若已知串聯(lián)模型(Us，Rs)，則等效并聯(lián)模型的電阻和電流源電流分別為

若已知并聯(lián)模型(Is，Rs￠)，則等效串聯(lián)模型的電阻和電壓源電壓分別為

幾個電壓源串聯(lián)的電路，其等效電壓源電壓等于各串聯(lián)電壓源電壓的代數(shù)和；幾個電流源并聯(lián)的電路，其等效電流源電流等于各并聯(lián)電流源電流的代數(shù)和。

電壓源Us與任一單口網(wǎng)絡(luò)(不包括電壓不相等的另一電壓源)并聯(lián)的電路，可等效為一個電壓源Us；電流源Is與任一單口網(wǎng)絡(luò)(不包括電流不相等的另一電流源)串聯(lián)的電路，可等效為一個電流源Is。

靈活運用以上各種等效關(guān)系可對任一線性含源混聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行化簡。

三、支路法與節(jié)點法

1．支路法

支路電流法是應(yīng)用基爾霍夫第一定律和第二定律，列出節(jié)點和回路的方程組，以求出未知的支路電流的方法。具有m個支路、n個節(jié)點的電路，按KCL列出n－1個節(jié)點方程和m－n－1個回路方程，然后解方程組，求出各支路的電流值。

2．節(jié)點法

節(jié)點法是系統(tǒng)地分析線性電路的一種重要方法，特別適合于對大型網(wǎng)絡(luò)作計算機輔助分析。節(jié)點電位方程實質(zhì)上是以節(jié)點電位為未知變量的KCL方程。對于有3個獨立節(jié)點的電路，節(jié)點電位方程的一般形式為

G11j1＋G12j2＋G13j3＝Is11

G21j1＋G22j2＋G23j3＝Is22

G31j1＋G32j2＋G33j3＝Is33

用節(jié)點法分析電路的步驟如下：

(1)選定參考節(jié)點，設(shè)n－1個獨立節(jié)點的電位j1－jn－1。

(2)通過對電路的觀察，按節(jié)點電位方程的一般形式直接列寫電路的節(jié)點電位方程。

(3)解方程組，求出各節(jié)點電位。

(４)選擇各未知支路電流的參考方向，計算各未知電流。

(5)用KCL和功率平衡原理校驗計算結(jié)果。

四、疊加定理和戴維南定理

疊加定理和戴維南定理是線性電路的兩個重要定理。

1．疊加定理

任一線性電路，如果有多個獨立源同時激勵，則其中任一條支路的響應(yīng)(電壓或電流)等于各獨立源單獨(或分組