人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題03-多邊形及其內(nèi)角和(解析版)

新人教部編版初中數(shù)學(xué)“活力課堂”精編試題PAGEPAGE1“活力課堂”初中數(shù)學(xué)教研組編專題03多邊形及其內(nèi)角和一、多邊形1．下列選項(xiàng)中不是凸多邊形的是(D)ABCD2．下列命題正確的是(D)A．各角都相等的多邊形為正多邊形B．各邊都相等的多邊形為正多邊形C．經(jīng)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－2)條對(duì)角線D．正方形是正多邊形3．如圖11－3－1，五邊形ABCDE是一個(gè)__凸__五邊形，∠E是它的一個(gè)__內(nèi)角__，∠FAE是它的一個(gè)__外角__，AD是它的一條__對(duì)角線__．圖11－3－14．過(guò)四邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形；過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有__2__條，可以把五邊形分成__3__個(gè)三角形；過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有多少條，可以把n邊形分成多少個(gè)三角形？(用含n的代數(shù)式表示)【解析】運(yùn)用不完全歸納法，從特例出發(fā)，進(jìn)行歸納和小結(jié)(如答圖所示)．第4題答圖多邊形的邊數(shù)四邊形五邊形六邊形…n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線的條數(shù)123…n－3從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線分三角形的個(gè)數(shù)234…n－2解：如答圖，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫(n－3)條對(duì)角線，它們把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形．5．若一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引5條對(duì)角線，則它是(D)A．五邊形 B．六邊形C．七邊形 D．八邊形【解析】設(shè)它是n邊形，則從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，∴n－3＝5，∴n＝8.6．從一個(gè)n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，若把這個(gè)多邊形分割成6個(gè)三角形，則n的值是(C)A．6 B．7C．8 D．9【解析】根據(jù)從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引(n－3)條對(duì)角線，把n邊形分為(n－2)個(gè)三角形，則n－2＝6，解得n＝8.7．Pn表示n邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(指落在其內(nèi)部的交點(diǎn))，如果這些交點(diǎn)都不重合，那么Pn與n的關(guān)系式是Pn＝eq\f(n（n－1）,24)·(n2－an＋b)(其中a，b是常數(shù)，n≥4)．(1)通過(guò)畫圖，可得四邊形時(shí)，P4＝__1__(填數(shù)字)；五邊形時(shí)，P5＝__5__(填數(shù)字)；(2)請(qǐng)根據(jù)四邊形和五邊形對(duì)角線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合關(guān)系式，求a，b的值．解：(1)如答圖，第7題答圖當(dāng)n＝4時(shí)，P4＝1；當(dāng)n＝5時(shí)，P5＝5；(2)將上述數(shù)值代入公式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4×（4－1）,24)×（16－4a＋b）＝1，①,\f(5×（5－1）,24)×（25－5a＋b）＝5，②))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6.))8．你會(huì)用畫多邊形的對(duì)角線來(lái)解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？比如，學(xué)校舉辦足球賽，共有5個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加，每個(gè)隊(duì)都要和其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，最后根據(jù)積分排列名次．請(qǐng)問(wèn)學(xué)校一共要安排多少場(chǎng)比賽？我們畫出5個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)各代表一個(gè)足球隊(duì)，兩個(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把它們連接起來(lái)．由于每個(gè)隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，這樣每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都會(huì)有一條線段連接，如圖11－3－2所示．現(xiàn)在我們只要數(shù)一數(shù)五邊形的邊數(shù)和它的對(duì)角線條數(shù)就可以了．由圖可知，五邊形的邊數(shù)和對(duì)角線條數(shù)都是5，所以學(xué)校一共要安排10場(chǎng)比賽．同學(xué)們，請(qǐng)用類似的方法來(lái)解決下面的問(wèn)題：姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜六人參加一次會(huì)議，見(jiàn)面時(shí)他們相互握手問(wèn)好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飛飛已握了2次手，紅紅握手1次，請(qǐng)推算出娜娜目前已和哪幾個(gè)人握了手．圖11－3－2第8題答圖解：先畫出6個(gè)點(diǎn)，A，B，C，D，E，F(xiàn)各個(gè)點(diǎn)依次代表姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜，凡是兩人之間握過(guò)手，就把代表他們的這兩點(diǎn)用一條線段連接起來(lái)，如答圖所示．先看姣姣A和紅紅E，姣姣已握手5次，說(shuō)明姣姣與另外5人都握了手，因此代表姣姣的A點(diǎn)與B，C，D，E，F(xiàn)這5點(diǎn)都有一條線段連接；紅紅握手1次，他只能是與姣姣握的手了，所以E點(diǎn)只能與A點(diǎn)之間有線段連接，與其他各點(diǎn)沒(méi)有線段連接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能與紅紅握過(guò)手，所以只能是與剩下的四個(gè)人姣姣、可可、飛飛和娜娜握過(guò)手了，因此，點(diǎn)B與A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)之間有線段連接；再看飛飛D，飛飛已握手2次，而代表飛飛的D點(diǎn)已與A，B兩點(diǎn)有線段連接了，所以D點(diǎn)與其他的點(diǎn)不再有線段連接；最后看可可C，可可與3人握了手，但不是與飛飛和紅紅握手，所以代表可可的點(diǎn)C只能與A，B，F(xiàn)三點(diǎn)有線段連接．現(xiàn)在觀察圖形，與代表娜娜的點(diǎn)F連接的線段有3條，即AF，BF和CF，這說(shuō)明姣姣、林林和可可三人已與娜娜握了手．

二、多邊形的內(nèi)角和1．一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為(A)A．540° B．450°C．360° D．180°2．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是(C)A．12 B．13C．14 D．15【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，據(jù)題意，得(n－2)×180°＝2×360°＋180°，解得n＝7.七邊形的對(duì)角線的條數(shù)是eq\f(7×（7－3）,2)＝14.3．如圖11－3－3，一個(gè)含60°角的三角形紙片，剪去這個(gè)60°角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1＋∠2的度數(shù)為(C)圖11－3－3A．120° B．180°C．240° D．300°【解析】∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如圖11－3－4，小華從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10m后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進(jìn)10m，又向左轉(zhuǎn)24°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是(B)圖11－3－4A．140m B．150mC．160m D．240m【解析】∵多邊形的外角和為360°，而每一個(gè)外角為24°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．若正多邊形的內(nèi)角和是1080°，則該正多邊的邊數(shù)是__8__．6．若正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為135°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是__8__．7．一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為60°，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是__720°__．8．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__8__．【解析】設(shè)邊數(shù)為n，則(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.9．通過(guò)畫出多邊形的對(duì)角線，可以把多邊形內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問(wèn)題．如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是__540__°.【解析】由從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，可知將此多邊形分成3個(gè)三角形，故其內(nèi)角和為3×180°＝540°.10．如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后，得到一個(gè)多邊形，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答圖，一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后，可能得到如下的多邊形：第10題答圖∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是180°或360°或540°.11．一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的4倍多180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和度數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.根據(jù)題意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1620°.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是11，內(nèi)角和是1620°.12．已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同學(xué)說(shuō)，θ能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n.若不對(duì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整數(shù)，∴甲的說(shuō)法對(duì)，乙的說(shuō)法不對(duì)，甲同學(xué)說(shuō)的邊數(shù)n是4；(2)根據(jù)題意，得(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.13．一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為(D)A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或9【解析】設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.∴原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.14．邊長(zhǎng)相等的正五邊形和正六邊形如圖11－3－5所示拼接在一起，則∠ABC＝__24__°.圖11－3－5【解析】正六邊形的一個(gè)內(nèi)角＝eq\f(1,6)×(6－2)×180°＝120°.正五邊形的一個(gè)內(nèi)角＝eq\f(1,5)×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵兩個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－132°)＝24°.15．如圖11－3－6，將一塊正六邊形硬紙片，做成一個(gè)底面仍為正六邊形且高相等的無(wú)蓋紙盒(側(cè)面均垂直于底面，如圖②)，需在每一個(gè)頂點(diǎn)處剪去一個(gè)四邊形，如圖①中的四邊形AGA′H，那么∠GA′H的大小是__60°__．圖11－3－6【解析】由題圖可知A′H與A′G重合，紙盒的六個(gè)側(cè)面均為矩形，即當(dāng)∠A′HA＝∠A′GA＝90°時(shí)才能滿足這個(gè)條件．∵∠A′HA＋∠A′GA＋∠HAG＋∠GA′H＝360°，6∠HAG＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如圖11－3－7，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求證：△DCF為直角三角形．圖11－3－7證明：∵在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF為直角三角形．17．(1)閱讀理解：如圖11－3－8①是二環(huán)三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.圖11－3－8①理由：連接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：圖11－3－8②圖11－3－8③Ⅰ.如圖②是二環(huán)四邊形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，請(qǐng)你加以證明；Ⅱ.如圖③是二環(huán)五邊形，可得S＝__1__080°__，聰明的你，請(qǐng)根據(jù)以上的規(guī)律直接寫出二環(huán)n邊形(n≥3的整數(shù))中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代數(shù)式表示最后的結(jié)果)解：(