工程力學(xué) 課件 第15章 梁的彎曲應(yīng)力

工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)第15章梁的彎曲應(yīng)力工程力學(xué)

EngineeringMechanics15.1梁的橫截面上正應(yīng)力-1梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力梁的內(nèi)力：剪力Fs彎矩MFsM正應(yīng)力只與彎矩有關(guān)，切應(yīng)力只與剪力有關(guān)，可分別進(jìn)行研究。特殊情況下，在梁的某段或整個(gè)長(zhǎng)度上，F(xiàn)s=0,M=const.，稱為純彎曲。一般情況下，

，稱為橫力彎曲。梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.1彎曲變形的基本假設(shè)(1)垂直于梁軸線的橫線仍為直線，橫線之間有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，仍與變形后的軸線正交。(2)縱向線變形后變?yōu)榛【€，且凹面的縱線長(zhǎng)度縮短，凸面的縱線長(zhǎng)度伸長(zhǎng)。(3)在縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁橫截面的寬度減??；在縱線縮短區(qū)，梁橫截面的寬度增大。變形后變形前純彎曲變形現(xiàn)象：梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.1彎曲變形的基本假設(shè)變形后變形前純彎曲(1)變形后梁的橫截面仍保持平面且與梁軸線正交。(2)梁中與軸線平行的各縱向纖維之間無(wú)相互擠壓。

梁的縱向纖維只發(fā)生縮短或伸長(zhǎng)變形。基本假設(shè)：平面假設(shè)單向受力假設(shè)梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.1彎曲變形的基本假設(shè)變形后中性軸橫截面中性層x變形時(shí)，橫截面即繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)凹側(cè)纖維縮短凸側(cè)纖維伸長(zhǎng)梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力研究梁橫截面上的正應(yīng)力，需要研究：(1)變形幾何關(guān)系(2)應(yīng)變與應(yīng)力間的物理關(guān)系(3)力系等效關(guān)系梁的彎曲應(yīng)力（中性軸）（對(duì)稱軸）yzxyaammnnmmnna'a'x15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—變形幾何關(guān)系纖維aa的線應(yīng)變橫截面上任一點(diǎn)處的線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比中性層中性層曲率半徑梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—物理關(guān)系由單向受力假設(shè)，和胡克定律有橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—力系等效關(guān)系z(mì)yM中性軸對(duì)稱軸梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—力系等效關(guān)系z(mì)yM中性軸對(duì)稱軸z軸過(guò)截面的形心中性軸通過(guò)截面形心，且與截面對(duì)稱軸

y

軸垂直的軸。靜矩中性軸的位置確定梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—力系等效關(guān)系z(mì)yM中性軸對(duì)稱軸y、z為一對(duì)慣性主軸y軸是橫截面的對(duì)稱軸，這個(gè)條件自然滿足慣性積梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力—力系等效關(guān)系z(mì)yM中性軸對(duì)稱軸慣性矩中性層的曲率

與橫截面上的彎矩成正比，而與梁截面EIz

（彎曲剛度）成反比。梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式絕對(duì)值代入計(jì)算拉或壓由變形判斷：凹的一側(cè)受壓凸的一側(cè)受拉梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式適用條件：1.平面假設(shè)若有剪力作用→存在切應(yīng)變→變形后橫截面不再保持為平面，理論上，橫力彎曲情況不合用。但理論分析與實(shí)驗(yàn)研究表明，對(duì)工程中常見的橫力彎曲梁，上式完全能夠滿足精度要求。梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式適用條件：2.平面彎曲推導(dǎo)用的是矩形截面梁，但非必要條件。上式對(duì)于平面彎曲都成立（全部外力均作用在梁的同一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)）

梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式適用條件：3.胡克定律應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。工程力學(xué)

EngineeringMechanics第15章梁的彎曲應(yīng)力工程力學(xué)

EngineeringMechanics15.1梁的橫截面上正應(yīng)力-215.2梁的橫截面上的切應(yīng)力15.3梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式截面上距中性軸最遠(yuǎn)處，正應(yīng)力達(dá)到最大值令稱為彎曲截面系數(shù)截面的幾何性質(zhì)單位：mm3或者m3梁的彎曲應(yīng)力矩形截面yCyzh/2b/2b/2h/2對(duì)z

軸的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：梁的彎曲應(yīng)力圓形截面對(duì)直徑的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：zyCyzD/2D/2梁的彎曲應(yīng)力空心圓形截面CzDyd對(duì)直徑的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：梁的彎曲應(yīng)力工程中各種型鋼可通過(guò)查表獲得梁的彎曲應(yīng)力工程中各種型鋼可通過(guò)查表獲得梁的彎曲應(yīng)力工程中各種型鋼可通過(guò)查表獲得梁的彎曲應(yīng)力慣性矩的平行移軸公式寬為b、高為h

的矩形，zC軸為過(guò)其形心C

沿寬度方向的對(duì)稱軸，為形心慣性主軸設(shè)z

軸平行于zC軸，y

軸與yC

軸重合坐標(biāo)系Oyz

的坐標(biāo)原點(diǎn)O

在坐標(biāo)系CyCzC

中的坐標(biāo)為(a,0)矩形對(duì)平行于形心對(duì)稱軸的z

軸的慣性矩，等于它對(duì)zC

軸的慣性矩加上矩形面積與兩軸間距離平方的乘積。梁的彎曲應(yīng)力15.1梁的橫截面上正應(yīng)力15.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力公式截面上距中性軸最遠(yuǎn)處，正應(yīng)力達(dá)到最大值梁的彎曲應(yīng)力15.2梁的橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲情況下， 有剪力存在→切應(yīng)力切應(yīng)力的分布規(guī)律要比正應(yīng)力復(fù)雜與橫截面形狀相關(guān)簡(jiǎn)單形狀+

合理的假設(shè)→相應(yīng)的計(jì)算公式。復(fù)雜形狀： 借助于彈性理論、實(shí)驗(yàn)比擬方法進(jìn)行研究。 再經(jīng)過(guò)工程實(shí)際的檢驗(yàn)。梁的彎曲應(yīng)力15.2梁的橫截面上的切應(yīng)力矩形橫截面切應(yīng)力分布bh/2h/2yzyy(a)(b)切應(yīng)力沿寬度均勻分布求對(duì)

z軸靜矩所用的陰影部分面積梁的彎曲應(yīng)力15.2梁的橫截面上的切應(yīng)力byzBHhy(b)y切應(yīng)力沿寬度均勻分布求對(duì)

z軸靜矩所用的陰影部分面積(a)工字形橫截面切應(yīng)力分布工程上在精度要求不高時(shí)的近似計(jì)算公式梁的彎曲應(yīng)力15.2梁的橫截面上的切應(yīng)力圓形橫截面切應(yīng)力分布yzPKK'zyRRtRR(b)(a)梁的彎曲應(yīng)力15.3梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算15.3.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的截面內(nèi)有正應(yīng)力和切應(yīng)力本課程只介紹前者用于強(qiáng)度分析的情況梁的橫力彎曲時(shí)，截面內(nèi)正應(yīng)力也可用下式計(jì)算危險(xiǎn)截面為彎矩最大的截面，危險(xiǎn)點(diǎn)在彎矩最大的截面距離中性軸最遠(yuǎn)處，絕對(duì)值代入計(jì)算拉壓另外判斷梁的彎曲應(yīng)力15.3梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算15.3.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的截面內(nèi)有正應(yīng)力和切應(yīng)力彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件本課程只介紹前者用于強(qiáng)度分析的情況對(duì)于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相同的材料，強(qiáng)度計(jì)算時(shí)最大彎曲正應(yīng)力應(yīng)取絕對(duì)值最大的。對(duì)于某些脆性材料（如鑄鐵）的許用壓應(yīng)力遠(yuǎn)高于許用拉應(yīng)力，強(qiáng)度計(jì)算時(shí)則應(yīng)分別校核拉伸強(qiáng)度與壓縮強(qiáng)度。梁的彎曲應(yīng)力15.3梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算15.3.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的截面內(nèi)有正應(yīng)力和切應(yīng)力彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件本課程只介紹前者用于強(qiáng)度分析的情況這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)第15章梁的彎曲應(yīng)力工程力學(xué)

EngineeringMechanics15.5梁的合理截面形狀梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀梁的彎曲強(qiáng)度性能與橫截面的幾何形狀密切相關(guān)。依此設(shè)計(jì)合理的截面形狀，能夠有效地提高梁的彎曲強(qiáng)度。梁可能承受的最大彎矩Mmax

與彎曲截面系數(shù)Wz

成正比，Wz

越大越有利。梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀梁可能承受的最大彎矩Mmax

與彎曲截面系數(shù)Wz

成正比，Wz

越大越有利。(1)

Wz

的大小與截面的面積、形狀有關(guān)。

比值Wz/A：衡量截面形狀的合理性與經(jīng)濟(jì)性。

Wz/A

較大，截面的形狀就較合理、經(jīng)濟(jì)。在受彎曲構(gòu)件中，工字鋼或槽鋼好于矩形截面；矩形截面好于圓形截面。梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應(yīng)力分布來(lái)分析。離中性軸遠(yuǎn)，正應(yīng)力大，盡量減小中性軸附近的面積，更多的面積分布在離中性軸較遠(yuǎn)的位置。例如工字鋼、槽鋼、箱形截面等。正應(yīng)力分布梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應(yīng)力分布來(lái)分析。截面合理形狀是主要因素，還須考慮剛度、穩(wěn)定性以及制造、使用等。矩形截面梁，在截面面積相同的條件下，加大截面高度，減小截面寬度，可以提高彎曲截面系數(shù)，但是梁就容易發(fā)生側(cè)向變形（側(cè)向喪失穩(wěn)定）而破壞。梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應(yīng)力分布來(lái)分析。截面合理形狀是主要因素，還須考慮剛度、穩(wěn)定性以及制造、使用等。將細(xì)長(zhǎng)的圓桿加工成空心桿，提高加工成本。軸類零件，既要承受彎曲還要承受扭轉(zhuǎn)，不能單純從正應(yīng)力考慮，還要兼顧切應(yīng)力方面。梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相同的材料（碳鋼），宜采用對(duì)中性軸對(duì)稱的截面，如圓形、矩形、工字鋼等。(3)研究截面形狀的合理性時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。使得截面的上下邊緣處的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的數(shù)值相等，同時(shí)接近許用應(yīng)力。梁的彎曲應(yīng)力15.5梁的合理截面形狀(3)研究截面形狀的合理性時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不等的材料（鑄鐵），中性軸偏于受拉邊的截面形狀，最大拉與壓應(yīng)力同時(shí)接近于各自的許用應(yīng)力。通過(guò)調(diào)整組合截面各部分，使截面形心位置滿足上式條件。梁的彎曲應(yīng)力例鋼制等截面懸臂梁受均布載荷

q作用。已知材料的許用應(yīng)力[

]=160MPa，l=2m，

q=10kN/m。設(shè)計(jì)三種截面：

(1)工字鋼，型號(hào)；

(2)高寬比為2的矩形，截面寬度b；

(3)圓形，截面直徑d。解1.作彎矩圖MMmax=20kN·m-qlql2/2bd2bAB2.強(qiáng)度計(jì)算梁的彎曲應(yīng)力查型鋼表z16號(hào)工字鋼b2bz取最小值dz取最小值工字鋼最省材料，圓形截面最費(fèi)材料梁的彎曲應(yīng)力例如圖所示，外伸梁ABC

在BC

段受均布載荷q=4kN/m的作用，a=1m，梁的橫截面是直徑為d

的圓形，材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa，試設(shè)計(jì)該梁的橫截面直徑。解1.作彎矩圖BAC2aad2.強(qiáng)度條件故梁的直徑整取為d=64mm可滿足要求。梁的彎曲應(yīng)力例鑄鐵外伸梁，受力及截面尺寸如圖所示。若已知鑄鐵抗拉許用應(yīng)力；抗壓許用應(yīng)力為。試校核該梁的強(qiáng)度。D

截面B

截面12+-43+-BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088梁的彎曲應(yīng)力解截面B

上①點(diǎn)受壓②

點(diǎn)受拉BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的彎曲應(yīng)力截面D

上③點(diǎn)受壓、④

點(diǎn)受拉比截面B

上①點(diǎn)壓應(yīng)力小，強(qiáng)度滿足要求且

該梁強(qiáng)度不滿足要求、不安全！BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的彎曲應(yīng)力例長(zhǎng)度為l=2m的外伸梁受圖示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁選用No.28a工字鋼，試計(jì)算：（1）梁的危險(xiǎn)截面上最大彎曲正應(yīng)力；（2）危險(xiǎn)截面對(duì)稱軸上腹板（中間的矩形板）與翼緣（上、下的矩形板）的下交界處K

點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解1.作彎矩圖確定危險(xiǎn)截面2.強(qiáng)度梁內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力CABl/2l/2HtCABK查型鋼表No.28a工字鋼：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3梁的彎曲應(yīng)力例長(zhǎng)度為l=2m的外伸梁受圖示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁選用No.28a工字鋼，試計(jì)算：（1）梁的危險(xiǎn)截面上最大彎曲正應(yīng)力；（2）危險(xiǎn)截面對(duì)稱軸上腹板（中間的矩形板）與翼緣（上、下的矩形板）的下交界處K

點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。3.K

點(diǎn)處彎曲正應(yīng)力CABl/2l/2HtCABK查型鋼表No.28a工字鋼：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3K點(diǎn)的正應(yīng)力為壓應(yīng)力工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)工程力學(xué)

EngineeringMechanics平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.2慣性矩與慣性積X.3慣性矩的平行移軸公式A平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.1靜矩Sz,Sy

分別稱為圖形對(duì)z軸和y軸的靜矩。定義積分靜矩的值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。量綱：[長(zhǎng)度]3，常用單位：mm3或m3。OzyyCzCCzyA平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.2靜矩與形心的關(guān)系OzyyCzCCzy圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過(guò)形心，圖形對(duì)其形心軸的靜矩必然等于零。Ozyhb(b)平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計(jì)算Sz(2)計(jì)算Sy例計(jì)算矩形對(duì)z軸和y軸的靜矩Sz

和Sy。解

Ozyhyb(a)z平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.3組合圖形的形心坐標(biāo)若某平面圖形由若干個(gè)簡(jiǎn)單的分圖形組合而成，該組合圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)等于各分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和?？傻媒M合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式為平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Iz,Iy分別稱為圖形對(duì)z軸和y軸的慣性矩。慣性矩的值恒為正，量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Ip

稱為圖形對(duì)原點(diǎn)O

的極慣性矩。極慣性矩的值恒為正，量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計(jì)算Iz(2)計(jì)算Iy例計(jì)算矩形對(duì)兩個(gè)對(duì)稱軸的慣性矩Iz

和Iy。解

Ozyhyzb計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wz計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wz平面圖形的幾何性質(zhì)(1)Iz=Iy

(對(duì)稱性)例計(jì)算圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。解

dz(b)OyD(a)OzDy實(shí)心圓截面空心圓截面計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wy=Wz平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩若某平面圖形由若干個(gè)簡(jiǎn)單的分圖形組合而成，該組合圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的慣性矩應(yīng)等于各分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性矩的總和。即平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩dz(b)OyD實(shí)心圓截面空心圓截面平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.3慣性積定義積分Iyz稱為圖形對(duì)原點(diǎn)y,z

的慣性積。慣性積的值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。y、z

兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)是圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)y、z軸的慣性積必然等于零。OzyzyAOzyAzy12平面圖形的幾何性