化歸思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

化歸思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用摘要：本文探討化歸思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用并且給出教學(xué)建議。首先，簡要介紹化歸思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的意義和作用，然后詳細(xì)闡述化歸思想和二次函數(shù)相關(guān)概念。最后，通過研究相關(guān)書籍和論文，了解眾多學(xué)者們?nèi)绾芜\用化歸思想解決二次函數(shù)相關(guān)問題，以及舉出運用的實例，其中的方法就包括將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化等方面。本文重點介紹學(xué)生教材中包含的化歸思想以及如何運用，給出化歸思想在二次函數(shù)教學(xué)的應(yīng)用，包含教學(xué)策略的設(shè)計、一份教學(xué)設(shè)計和每個教學(xué)階段的建議。最后，總結(jié)化歸思想在二次函數(shù)教學(xué)中的價值。關(guān)鍵詞：化歸思想；二次函數(shù)；中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

目錄TOC\o"1-3"\h\u252111引言 引言研究背景早在原始社會時，人類通過使用工具，逐漸解放思想，化歸思想便是其一。人們即使在不懂得文字的時候，也會用化歸思想幫助自己生存?！兑拙偶已浴分忻枋?，當(dāng)事情很大，就要緊緊綁住它的繩子；而事情小，就要將它的繩子稍微壓小，根據(jù)事件的規(guī)模、規(guī)?；蛏婕暗臄?shù)量來調(diào)整繩子，這正展現(xiàn)了簡化復(fù)雜的重要性。公元一世紀(jì)時，劉徽完成著作《九章算術(shù)》，記錄了兩百多個與生產(chǎn)生活有關(guān)的問題，每題都有解答。大多數(shù)題目的解答中，化歸被普遍運用。例如其中將求圓的面積轉(zhuǎn)化為求多邊形的面積，進(jìn)而用極限求出圓的面積REF_Ref10181\r\h[1]。世界在發(fā)展，在人類深入認(rèn)識世界的過程中，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等學(xué)科之間的聯(lián)系也在不斷地深入。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間相互滲透，這表明數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍正在越來越廣泛，例如航天工業(yè)、日常的銷售問題。數(shù)學(xué)中的理論和其基本應(yīng)用已經(jīng)在現(xiàn)代社會的發(fā)展中占據(jù)舉足輕重的位置。數(shù)學(xué)中最核心的是數(shù)學(xué)思想，化歸思想便是其中之一。航天工業(yè)的軌道計算、軌道控制以及航天器性能評估等方面，就是將實際的物理情景轉(zhuǎn)化為人類能計算的二次函數(shù)，化歸思想為航天工程師提高了重要的工具和方法。橋梁問題，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，結(jié)合二次函數(shù)，求出最優(yōu)解，都是化歸思想在生活中的應(yīng)用。再細(xì)化到了課堂，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》已經(jīng)明確地闡述了需要集中關(guān)注中國學(xué)生的核心成長能力，并培養(yǎng)他們具備為未來進(jìn)步所需的正確的價值觀、關(guān)鍵品格和主要技術(shù)。同時，該標(biāo)準(zhǔn)還將“核心概念”重新描述為“核心素養(yǎng)”，并詳細(xì)描述了義務(wù)教育時期數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義，每個具體階段應(yīng)該擁有的核心素養(yǎng)，從宏觀層面反映了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要性。以往的數(shù)學(xué)學(xué)科及其上課模式、上課目的、內(nèi)容、教學(xué)手段等在一定程度上都受到了沖擊。面對這種情況，很多地區(qū)都在不斷地進(jìn)行著數(shù)學(xué)教育的改革。其中化歸思想在課堂上的應(yīng)用有很多，許多學(xué)者對此進(jìn)行研究。研究的問題和意義“化歸思想”作為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的一種思想方法，在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。對于剛剛步入初中接觸代數(shù)、幾何等知識的初中生來說，化歸思想方法更是意義重大。它可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念、定理等知識轉(zhuǎn)化為具體的實物模型，或是將繁瑣未知的問題轉(zhuǎn)化為簡單已知的問題，在實踐中使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，更是使得學(xué)生擁有解決普通問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生不畏困難的態(tài)度，勇于推陳出新的精神。對于前線的教育工作者而言，這對于他們的數(shù)學(xué)思維方式的塑造具有深遠(yuǎn)的指導(dǎo)作用。同時，將化歸思想與初中數(shù)學(xué)課程相聯(lián)系，有利于學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)方法，并能夠靈活運用這些方法解決問題。本文的核心研究內(nèi)容是利用文獻(xiàn)資料和教學(xué)書籍來探討化歸思想方法在二次函數(shù)中的應(yīng)用情況（以北師大版九年級下冊作為教學(xué)材料），并為教學(xué)提供了一些建議。研究方法本文運用文獻(xiàn)綜述法，主要是對文獻(xiàn)進(jìn)行搜集、整理和鑒別，在對文獻(xiàn)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，對事物進(jìn)行科學(xué)的理解。本文從中國知網(wǎng)檢索了50余篇論文，截止日期為2024年4月。本文通過閱讀大量的文獻(xiàn)資料，研究了“化歸”思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用?；瘹w思想和二次函數(shù)概述化歸思想的內(nèi)涵化歸思想起源于原始社會，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)化歸思想教育研究中，主要有徐利治、史久一、楊世明、曾錚、徐艷斌、趙小云、葉立軍等人作了深入研究REF_Ref11141\r\h[2]，主要的研究成果有：時間作者研究成果1983年徐利治《數(shù)學(xué)方法論選講》（專著）1988年史九一、朱梧槚《化歸與歸納、類比、聯(lián)想》（專著）1996年張奠宙《數(shù)學(xué)方法論稿》（專著）2000年楊世明《轉(zhuǎn)化與化歸》（專著）2001年曾崢、楊之《“化歸”芻論》（論文）2001年顧越嶺《數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸方法的難點及其突破》（論文）2003年徐艷斌《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》（專著）2005年趙小云、葉立軍《數(shù)學(xué)化歸思維論》（專著）2007年徐青林《中學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想及其應(yīng)用》（專著）2008年錢佩玲、邵光華《數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)》（專著）2009年馬艷《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想方法的應(yīng)用研究》（論文）2010年李天剛《論化歸思想與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》（論文）2013年周艷《初中數(shù)學(xué)教學(xué)中基本思想方法的培養(yǎng)》（論文）2015年王志惠《化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究》（論文）2019年姬梁飛《化歸思想方法探微_內(nèi)涵、特征及應(yīng)用》（期刊）其中，史九一在《化歸與歸納、類比、聯(lián)想》一書中引用匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得(RózsaPéter)的一個比擬，《無窮的玩藝》書中說明化歸是一種通過轉(zhuǎn)化待解決問題為已經(jīng)能夠解決或者比較容易解決的問題的手段。史九一也在書上描述了歸納、類比和聯(lián)想在化歸的作用。張奠宙在他的著作《數(shù)學(xué)方法論稿》（由上海教育出版社于1996年出版）中，對化歸的思維方式進(jìn)行了深入的探討。所謂化歸方法，就是將一個問題A進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一己解決的問題B，既然B已解決，那么A也就解決了REF_Ref10390\r\h[3]，還得出了一般化歸思想的運用模式，如下圖2.1：圖STYLEREF2\s2.1化歸思想的運用模式曾崢在其《化歸芻論》中提出：一是“以舊迎新”的思維模式，二是利用已有的知識來定義、證明新的問題，也就是把各種各樣的新的和未知的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)存在的概念和結(jié)論，試圖解決一個問題，這就是化歸。李天剛在《論化歸思想與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》中提出：化歸的思想方法的特點是實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化REF_Ref13832\r\h[4]，以便應(yīng)用已知的理論、方法和技巧解決未知的問題。姬梁飛在《化歸思想方法探微:內(nèi)涵、特征及應(yīng)用》中運用道家對立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想，說明可以采用相關(guān)領(lǐng)域的遷移理論來解決現(xiàn)有領(lǐng)域的問題REF_Ref10413\r\h[5]，也就是通過遷移知識，轉(zhuǎn)化問題。許多學(xué)者、教授、一線的老師，都對化歸思想有了自己的見解，從而使它的內(nèi)涵更加豐富。簡而言之，化歸是一種轉(zhuǎn)換與歸納的過程，將困難變成容易，將繁瑣化為簡易，將陌生化為熟悉，將抽象化為具體。只有明白了化歸思想真正的內(nèi)涵，才能更好地應(yīng)用于教學(xué)。二次函數(shù)的基本特性在北師大版九年級下冊教材中，定義二次函數(shù)：一般地，若兩個變量x，y之前的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式，則稱y是x的二次函數(shù)。例如：函數(shù)與圖象一一對應(yīng)，學(xué)生根據(jù)五點法描繪出二次函數(shù)的圖象，深入研究二次函數(shù)的各種特性。通過繪圖分析，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像表現(xiàn)為一條向上開口的拋物線，并且在y軸上具有對稱性。該對稱軸與拋物線相交的點既是拋物線的頂點，也是圖像的最低點。再次，學(xué)生利用同樣的方法探索的圖象，得到如下性質(zhì)：它的圖像是一條拋物線且開口向下，關(guān)于y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，也是圖像的最高點。為了方便觀察與兩者圖象區(qū)別，采用列表法表示，得到與的的圖象與性質(zhì)，如下表2.2.1：函數(shù)a的取值圖象開口向上向下對稱軸y軸y軸頂點（0,0）（0,0）最大（?。┲祔=0y=0增減性當(dāng)x＜0時，y隨x增大而減??；當(dāng)x＞0時，y隨x增大而增大。當(dāng)x＜0時，y隨x增大而增大；當(dāng)x＞0時，y隨x增大而減小。表STYLEREF2\s2.2.SEQ表\*ARABIC\s21的圖象與性質(zhì)接下來，在的基礎(chǔ)上，利用五點法研究和的圖象與性質(zhì)，再由圖象的平移解釋其變化規(guī)律，最后結(jié)合一起，探討二次函數(shù)頂點式的圖象與性質(zhì)，如下表2.2.2所示：開口向上向下對稱軸直線x=h直線x=h頂點（h，k）（h，k）最大（?。┲祔=ky=k增減性當(dāng)x＜h時，y隨x增大而減??；當(dāng)x＞h時，y隨x增大而增大。當(dāng)x＜h時，y隨x增大而減??；當(dāng)x＞h時，y隨x增大而增大。表STYLEREF2\s2.2.SEQ表\*ARABIC\s22的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)頂點式的圖象與性質(zhì)后，探索一般式的圖象與性質(zhì)，將一般式化為頂點式，得到.對照頂點式得知，一般式的對稱軸為，頂點為，最大（?。┲禐?化歸思想在二次函數(shù)中的研究曾英格在《化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想在求解二次函數(shù)的系數(shù)問題中的運用》中運用化歸思想，將關(guān)于二次函數(shù)的系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的代數(shù)式與0比較大小的問題，再結(jié)合圖象由形轉(zhuǎn)化為數(shù)，能較好地解決上述問題REF_Ref10723\r\h[6]。李偉在其著作《用化歸思想解決二次函數(shù)恒成立問題》中，對二次函數(shù)的成立問題進(jìn)行了深入的探討：利用函數(shù)和方程之間的互相變換，將恒成立問題化為二次函數(shù)軸變區(qū)間的定問題，將恰成立問題化為一元二次不等式解集的求解；利用分離參數(shù)的方法將恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題REF_Ref10755\r\h[7]。楊崇明在《用轉(zhuǎn)化思想求二次函數(shù)解析式》一書中，將求二次函數(shù)的解析問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤斑^已知三點求二次函數(shù)解析式”，把未知的問題轉(zhuǎn)換為已知的問題來解決，對求解的形式進(jìn)行規(guī)范化，用“活”這種思想REF_Ref16614\r\h[8]，這種方法并不是最快的，但卻能為學(xué)生們提供解決問題的途徑和方向?；瘹w思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用實例二次函數(shù)中常見的實際應(yīng)用有利潤問題、利息問題、面積問題等，在這以利潤問題為例，分析化歸思想在其中的應(yīng)用。某商場將進(jìn)價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施。調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺REF_Ref12094\r\h[9]。(1)假設(shè)每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式(不要求寫自變量的取值范圍)。(2)商場既想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？(3)每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？利用利潤公式“總利潤=單件利潤×總件數(shù)”和“單件利潤=售價-進(jìn)價”解答是本題的關(guān)鍵。第（1）問中，分析：售價為(2400-x)元，單件利潤為[(2400-x)-2000]元，售出總件數(shù)為(8+4×(x÷50))臺，所以總利潤，此題為用公式列式。第（2）問中，由第（1）問得知總利潤，第（2）問即是令y=4800，解方程，此題難度在于化簡求解。第（3）問中，要想求得利潤最高時的降價，應(yīng)該讓學(xué)生理解就是求二次函數(shù)的最大值，二次函數(shù)的最大（小）值就是函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)。對于，應(yīng)該先去括號，得到，學(xué)生學(xué)習(xí)過一般式頂點的求法，即是，將a、b、c分別代入即可得到頂點，最大值為其縱坐標(biāo)，可以得到最大值y=5000，再解方程，算出此題的根，即可得到降價。第（1）、（2）問涉及到根據(jù)公式列式，以及解方程，為二次函數(shù)中的基本應(yīng)用題型。第（3）問涉及到“利潤最高”，求二次函數(shù)的最大值，從而聯(lián)系二次函數(shù)的性質(zhì)中，頂點的縱坐標(biāo)為最大（小）值。因此，涉及到“最高”“最小”時，此時將題目轉(zhuǎn)化為求頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)。將二次函數(shù)化為一般式，求，可得到其最值?；瘹w思想在二次函數(shù)教材中的滲透教材內(nèi)容分析以北師大版九年級下冊第二章為分析教材，探索化歸思想在其中的滲透，本章書內(nèi)容安排為1.二次函數(shù)第2節(jié)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，教材通過探究具體函數(shù)的圖象與性質(zhì)，依次呈現(xiàn)、、的圖象與性質(zhì)，以及分別和之間的關(guān)系，從而得到二次函數(shù)頂點式的圖象與性質(zhì)。從而在接下來探究一般式中，只需將一般式化為頂點式，對照頂點式的性質(zhì)，即可得到一般式的性質(zhì)。在探究第2節(jié)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，涉及到的化歸思想有：一、完成平方：通過將二次函數(shù)的平方項進(jìn)行配方，將二次函數(shù)表示為完全平方的形式，從而得到該函數(shù)的頂點和其他重要信息。這種化歸思想可以簡化二次函數(shù)的計算和分析，并且有助于了解函數(shù)的圖象及性質(zhì)。二、頂點式與一般式之間的轉(zhuǎn)化：二次函數(shù)可以表示為頂點式或一般式，通過化歸思想可以相互轉(zhuǎn)化。頂點式為，一般式為，通過配方、展開或合并項的操作，可以將一個形式的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個形式，從而方便求解問題。第3節(jié)確定二次函數(shù)的表達(dá)式中，討論確定二次函數(shù)的表達(dá)式需要幾個條件，得出了以下結(jié)果：一、二次函數(shù)可化成，頂點是?,k.如果已知頂點坐標(biāo)，那么再知道圖象上另一點的坐標(biāo)，就可以確定這個二次函數(shù)的表達(dá)式。二、已知二次函數(shù)中一項系數(shù)，再知道圖象上的兩點的坐標(biāo)，也可以確定這個二次函數(shù)的表達(dá)式。三、已知二次函數(shù)圖象上的三個點，用待定系數(shù)法可以確定三個系數(shù)的值。這一節(jié)涉及到的化歸思想有：給定的條件無法直接寫出其一般式的表達(dá)式的時候，將問題給出的條件轉(zhuǎn)化為頂點式或交點式，然后再將這些形式展開為一般式，從而求得二次函數(shù)的表達(dá)式。第4節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用中，展示了兩道例題，引入和例1是關(guān)于求解面積問題，例2是銷售問題。面積問題常常與幾何圖形（如三角形、矩形等）的面積相關(guān)，往往通過設(shè)定變量并建立二次函數(shù)關(guān)系求解。銷售問題，通過降價或升價完成銷售量的增加或減少，會使用公式“利潤=（售價-進(jìn)價）×銷售總量”建立二次函數(shù)關(guān)系，這類題通常要求解“最高利潤”“最大收入”。這一節(jié)涉及到的化歸思想有：將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的性質(zhì)，比如求解最值。無論是“最大面積”，還是“最大利潤”，都可以歸結(jié)為求解二次函數(shù)的最值問題。除此之外，練習(xí)題中出現(xiàn)圖形問題（隧道、拱橋），需要將給出的條件轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系圖象上的條件，從而得到圖象上的已知點，代入已知點求解函數(shù)表達(dá)式。這涉及到的化歸思想為：將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)，將抽象問題直觀化、簡單化。第5節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程中，探究二次函數(shù)因變量y等于某值時，x的取值，衍生了一元二次方程的求解。在引入時，可以根據(jù)二次函數(shù)圖象觀察小球落地，即是h=0時，t的取值有兩個，t=0或t=8，激發(fā)學(xué)生解一元二次方程的興趣，并能探求二次函數(shù)圖象的解法。再就是探索二次函數(shù)圖象和x軸相交的條件，并利用判別式證實一元二次方程存在若干實數(shù)根，發(fā)出提問：二次函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標(biāo)和一元二次方程的根有什么關(guān)系？從而建立起關(guān)系：二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根，并且用判別式?＞0、?=0、?＜0分別求出方程有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、沒有實數(shù)根REF_Ref6831\r\h[10]。觀察圖象得知一元二次方程與x軸的兩個交點，當(dāng)交點的橫坐標(biāo)不是整數(shù)和0時，教材讓學(xué)生寫出近似解。這一節(jié)涉及到的化歸思想有：一、二次函數(shù)與一元二次方程的等價性。對于形式為的二次函數(shù)，當(dāng)y=0時，它就轉(zhuǎn)化為一元二次方程.這種等價性使得可以通過研究二次函數(shù)來理解一元二次方程，反之亦然。二、化歸方法在解決一元二次方程中起到了重要作用。一般來說，解決一元二次方程有三種主要方法：配方法、公式法以及因式分解法。這三種方法均遵循化歸原則，即把復(fù)雜問題簡化為簡單問題。例如，配方法會把一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，這樣一來，解決問題就變得相對容易；公式法則是通過計算一元二次方程的解公式來找到方程的解；而因式分解法則把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的乘積，進(jìn)而簡化問題的解決過程?？傊?，這三種方法都是通過化歸思想，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，以便更容易找到解。這就是化歸方法在一元二次方程求解中的重要作用。三、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的化歸?；瘹w在二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究中起著關(guān)鍵作用。通過探究二次函數(shù)的圖象和特性，學(xué)生能更深入地理解一元二次方程并找到解決方案。例如，了解二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)與一元二次方程的根之間的聯(lián)系，有助于尋找一元二次方程的解；利用二次函數(shù)的對稱軸能判斷一元二次方程的根的情況；而研究二次函數(shù)的開口方向和寬度則有助于判斷一元二次方程的解的個數(shù)及大小。二次函數(shù)教材從基本概念出發(fā)，通過逐步引入相關(guān)知識點，構(gòu)建起完整的知識體系。這種系統(tǒng)化的呈現(xiàn)方式，有助于學(xué)生從整體上把握二次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，形成清晰的認(rèn)知框架?；瘹w思想在教材中的具體應(yīng)用課本第29頁例1求二次函數(shù)y=2解：y將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，由頂點式的性質(zhì)可知，對稱軸為x=h，坐標(biāo)為?,k，因此，二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=2，頂點坐標(biāo)為2,?1課本第46頁例1某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15m.當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多？（結(jié)果精確到0.01m）此時，窗戶的面積是多少？（精確到0.01m2）解：因為7x+4y+πx=15，所以y=因為0所以0<x設(shè)窗戶的面積是Sm2，則S=所以，當(dāng)x=1514≈因此，當(dāng)x約為1.07m時，窗戶通過的光線最多.此時，窗戶面積約為4.02m2.化歸思想在二次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)策略的設(shè)計1.知識聯(lián)系與類比在二次函數(shù)的教學(xué)過程中，老師可以對一次函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，并將其與其他有關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系，從而加深對二次函數(shù)的認(rèn)識。運用類推法，使學(xué)生能把原有的知識與經(jīng)驗運用于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，減輕了學(xué)習(xí)的困難。2.解題方法與技巧在解決問題時，要指導(dǎo)學(xué)生利用化歸的思想進(jìn)行分析和解決。如解二次方程，可用公式法、因式分解法、公式法等方法使其變得更為簡單。并在此基礎(chǔ)上，歸納出幾個具有代表性的問題解決方案，以供同學(xué)們借鑒。3.結(jié)構(gòu)調(diào)整與優(yōu)化為使“化歸觀”更好地滲透到教學(xué)中去，教師可根據(jù)實際情況對教材內(nèi)容作相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。比如，在講授二次函數(shù)的性質(zhì)時，可由特殊向一般，首先引入幾個簡單的二次函數(shù)，再逐漸地將其歸納為一般的二次函數(shù)。另外，老師也可以針對學(xué)生的實際狀況與要求，設(shè)計出有針對性的習(xí)題，使學(xué)生能夠更好地掌握所學(xué)的知識，并提升其運用能力。4.善用變式為了使學(xué)生更容易接受化歸思想，教師在做教學(xué)設(shè)計時，可以多采用變式訓(xùn)練?？梢酝ㄟ^設(shè)置類比變式和知識推進(jìn)式變式，通過類比，學(xué)生可以更容易地理解新知識的內(nèi)涵和運用，加上層層深入地引導(dǎo)學(xué)生探究知識，幫助學(xué)生深入理解用化歸思想解題的本質(zhì)和規(guī)律，提高學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力。教學(xué)設(shè)計課題二次函數(shù)的應(yīng)用——面積問題課型新授課教材分析在探索變量間關(guān)系的過程中，在八年級時學(xué)生深入學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，從而構(gòu)建了堅實的函數(shù)基礎(chǔ)知識體系，并逐步掌握了探究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)視角解決實際問題的技巧。在本章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生進(jìn)一步研究了二次函數(shù)及其圖象和特性，同時，也學(xué)會了如何求出二次函數(shù)的最大或最小值。這些知識儲備都為本節(jié)內(nèi)容打下了堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)1.我們通過對不同背景下實際問題中的變量間二次函數(shù)關(guān)系進(jìn)行深入的分析和表達(dá)，從而有助于學(xué)生的分析技巧提升；2.利用二次函數(shù)的原理來處理實際的數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)使用技巧和能力；3.進(jìn)一步深化對數(shù)學(xué)與人們社會之間密切聯(lián)系的理解，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要作用，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的認(rèn)知和自信，提高他們的創(chuàng)造性和實際應(yīng)用技能；4.通過深入地分析和描述現(xiàn)實問題中的變量之間的二次函數(shù)的聯(lián)系，更好地理解利用二次函數(shù)特性解決實際問題中的最值。教學(xué)重點1.通過對矩形最大面積問題的研究，收集了利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的知識，并深入理解了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及運用這種方法的實際意義和價值；2.在不同背景中，能解析和表達(dá)實際問題里變量二次函數(shù)的相互關(guān)系。教學(xué)難點能對各種情況下的實際問題進(jìn)行分析與表達(dá)，并能應(yīng)用二次函數(shù)相關(guān)知識求解最大（?。┟娣e問題。教學(xué)過程教學(xué)活動師生活動設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí)回顧求下列二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，并說明y隨x的變化情況：（1）y=x（2）y=?學(xué)生獨立解題，教師點名回答問題，并且復(fù)習(xí)一般式和頂點式的頂點坐標(biāo)表示。引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)前面所學(xué)過的內(nèi)容，由于學(xué)習(xí)本節(jié)課所用的基本知識點是求二次函數(shù)的最值，因此和同學(xué)們一起復(fù)習(xí)二次函數(shù)最值的求法，以及二次函數(shù)的增減性，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。二、探究應(yīng)用1、情境引入(1)請用長20米的籬笆設(shè)計一個矩形的菜園.(2)怎樣設(shè)計才能使矩形菜園的面積最大?例1如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長度為8米，求圍成花圃的最大面積.變式1如下圖所示，在一個直角三角形的內(nèi)部畫一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊，AN=4cm，AM=3cm.(1)設(shè)矩形的一邊AB=acm，那么AD邊的長度如何表示？(2)設(shè)矩形的面積為ycm2，當(dāng)x取何值時，y的最大值是多少？變式2在上一個問題中，如果把矩形改為如下圖所示的位置，其頂點A和點D分別在兩直角邊上，BC在斜邊上.其它條件不變，那么矩形的最大面積是多少？變式3如下圖所示，已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料，AB=AC=10cm,BC=12cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使得EF在BC上點D、G分別在邊AB、AC上，問矩形DEFG的最大面積是多少？學(xué)生分組討論.教師提問學(xué)生，并且給出板書過程。學(xué)生獨立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出二次函數(shù)模型。在變式1基礎(chǔ)上學(xué)生獨立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出二次函數(shù)模型。在變式2基礎(chǔ)上學(xué)生獨立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出二次函數(shù)模型。通過學(xué)生所熟悉的圖形，引入新課，使學(xué)生初步了解解決最大面積問題的一般思路。基于前一個問題，我們對問題的背景進(jìn)行了調(diào)整，提高了難度，并在黑板上展示了解題步驟，使學(xué)生能夠清晰地理解規(guī)范的書寫流程。通過讓學(xué)生探討如何使用直角三角形來裁剪一個最大面積的矩形，并鼓勵他們親自繪制兩種不同的方法。與學(xué)生共同從這些問題中提煉出二次函數(shù)模型，并計算其最大值。通過對這兩種情境的深入分析，我們旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維技巧。關(guān)鍵在于教授學(xué)生正確的方法，這也是解決這類問題的核心難點，即如何定義未知數(shù)并將其轉(zhuǎn)化為我們所熟知的數(shù)學(xué)問題。本題主要研究了變形式三與一元二次方程的關(guān)系?；诖?，我們對變式三進(jìn)行了深入的研究，并對這種題型進(jìn)行了總結(jié)，從而提出了通用的問題解決策略。三、歸納總結(jié)解二次函數(shù)的應(yīng)用——面積問題時，思路：1.理解問題；2.分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；3.用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系；4.運用二次函數(shù)的性質(zhì)——最大（?。┲祷蝽旤c求解；5.檢驗結(jié)果的合理性，給出問題的解答.教師歸納解面積問題時的思路及步驟，注意強(qiáng)調(diào)此類題型要轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)的最值來解答。及時歸納方法，幫助學(xué)生理清思路，學(xué)會此種題型的作答。四、鞏固提升1.某人從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：米)與小球運動時間t(單位：秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t?4.9t2，那么小球運動中的最大高度h最大2.如下圖所示，在一個直角△MBN的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=xm，長方形的面積為ym2，要使長方形的面積最大，其邊長x應(yīng)為()A.mB.6mC.15mD.m3.一個住宅區(qū)要在一面墻（一面15米）旁邊的空地上建造一座長方形的花園，這座花園的一面是一堵墻，另外三面由一道長40米的籬笆圍成，如果寬為x（米），那么這座花園的面積就是y（米）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值X范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？學(xué)生獨立完成，點名回答問題，教師做補(bǔ)充。學(xué)生練習(xí)求解面積問題，加強(qiáng)理解用二次函數(shù)的性質(zhì)解答面積最大值的方法。五、總結(jié)在本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？教學(xué)建議1.引入階段首先，選擇合適的實例。教師應(yīng)該選擇與學(xué)生日常生活緊密相關(guān)的實例，以吸引他們的注意力。通過實例展示如何將大問題分解為小問題，使學(xué)生初步了解化歸思想。其次，明確教學(xué)目標(biāo)。在此階段，教師應(yīng)明確告訴學(xué)生他們將學(xué)習(xí)什么，以及這些知識如何有助于他們解決問題，確保學(xué)生對教學(xué)目標(biāo)有清晰的認(rèn)識。2.探索階段第一，提出問題。教師應(yīng)該設(shè)計具有層次性和引導(dǎo)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考。問題應(yīng)具備挑戰(zhàn)性，以激發(fā)學(xué)生的求知欲。第二，引導(dǎo)學(xué)生觀察與分析。在這個階段，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生觀察問題的特點，分析問題的結(jié)構(gòu)，并嘗試將大問題劃分為若干小問題。3.實踐階段教師在這個階段要提供范例。教師可以給出一些具體的范例，展示如何將復(fù)雜問題分解為簡單問題，并逐步求解。這有助于學(xué)生更好地理解化歸思想的應(yīng)用。不僅如此，還要組織小組討論。教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓他們分享自己的解題思路和方法。通過互相交流，學(xué)生可以拓寬視野，學(xué)習(xí)到其他同學(xué)的優(yōu)秀思路。4.應(yīng)用與拓展階段巧妙設(shè)計綜合性練習(xí)。教師應(yīng)設(shè)計一些綜合性練習(xí)，讓學(xué)生在實踐中運用劃歸思想解決問題。練習(xí)的難度應(yīng)逐步提高，以挑戰(zhàn)學(xué)生的能力。并且鼓勵創(chuàng)新思維。在解決問題的過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試不同的方法，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力。同時，教師應(yīng)對學(xué)生的創(chuàng)新嘗試給予積極的反饋和支持。5.總結(jié)與反思階段練習(xí)固然重要，也不可缺少總結(jié)化歸思想的應(yīng)用。在這個階段，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧整個學(xué)習(xí)過程，總結(jié)化歸思想的應(yīng)用方法和效果。通過總結(jié)，學(xué)生可以更好地理解化歸思想的本質(zhì)和價值。課下要做到的是反思與改進(jìn)。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，找出存在的問題和不足，并提出改進(jìn)措施。同時，教師也應(yīng)對