第一實(shí)數(shù)集與函數(shù)復(fù)習(xí)課程

第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù).實(shí)數(shù)對(duì)正整數(shù)對(duì)負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無(wú)限小數(shù)，再在無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào)．如:-8=-7.999一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.說(shuō)明:

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱(chēng)x=y與x<y(y>x)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系

說(shuō)明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱(chēng)而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱(chēng)若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL

1)定義1

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為和

注意：對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有,命題1

設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿(mǎn)足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有有理數(shù),也有無(wú)理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對(duì)任何

實(shí)數(shù)具有阿基米德性

例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿(mǎn)足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對(duì)任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeeea0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離：

絕對(duì)值定義：絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)