《電路與信號分析》課件第8章

8.1拉普拉斯變換8.2常用信號的拉普拉斯變換8.3拉普拉斯變換的性質8.4拉普拉斯反變換8.5線性電路的復頻域分析8.6網(wǎng)絡函數(shù)與網(wǎng)絡特性習題8第8章電路與信號的復頻域分析

8.1拉普拉斯變換

8.1.1從傅里葉變換到雙邊拉普拉斯變換

信號f(t)之所以不能滿足絕對可積的條件，是由于當t→∞或t→－∞時，f(t)不趨于零。如果用一個實指數(shù)函數(shù)e－σt去乘f(t)，只要σ的數(shù)值選擇適當，就能保證當t→∞和t→－∞時，f(t)e－σt均趨于零而滿足絕對可積條件，可以進行傅里葉變換。通常把e－σt稱為收斂因子。

f(t)乘以收斂因子e－σt后的信號f(t)e－σt的傅里葉變換為

(8-1)

它是σ+jω的函數(shù)，可寫成

(8-2)Fb(σ+jω)的傅氏反變換為

(8-3)

將式(8-3)兩邊乘以eσt，便得到

(8-4)為使式(8-2)、式(8-4)更加簡潔，令s=σ+jω，從而

ds=jdω，當ω=±∞時，s=σ±j∞，于是式(8-2)和式(8-4)可改寫為

(8-5)

(8-6)

式(8-5)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換，稱Fb(s)是f(t)的象函數(shù)，而式(8-6)是Fb(s)的雙邊拉普拉斯反變換，稱f(t)是Fb(s)的原函數(shù)。式(8-5)和式(8-6)稱為雙邊拉普拉斯變換對，可以用雙箭頭表示f(t)與Fb(s)之間這種變換與反變換的關系：

f(t)Fb(s)(8-7)

從上述由傅氏變換導出雙邊拉普拉斯變換的過程中可以看出，f(t)的雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb(σ+jω)是把f(t)乘以e－σt之后再進行的傅里葉變換，或者說Fb(s)是f(t)的廣義傅里葉變換。而f(t)e－σt較容易滿足絕對可積的條件，這就意味著許多原來不存在傅里葉變換的信號都存在廣義傅里葉變換，即雙邊拉普拉斯變換，于是，拉普拉斯變換擴大了信號的變換范圍。傅里葉變換把信號f(t)分解為無限多個頻率為ω、復振幅為的虛指數(shù)分量ejωt之和，而拉普拉斯變換則是把信號f(t)分解為無限多個復頻率為s=σ+jω、復振幅為的復指數(shù)分量est之和。拉普拉斯變換與傅里葉變換的基本區(qū)別在于：傅里葉變換將時間域函數(shù)f(t)變換為頻率域函數(shù)F(ω)，或作相反的變換，此處時域變量t和頻域變量ω都是實數(shù)；而拉普拉斯變換則將時間域函數(shù)f(t)變換為復頻域函數(shù)Fb(s)，或作相反的變換，這里時域變量t是實數(shù)，復頻變量s是復數(shù)。概括地說，傅里葉變換建立了時域和頻域(ω域)間的聯(lián)系，而拉普拉斯變換則建立了時域和復頻域(S域)間的聯(lián)系。8.1.2單邊拉普拉斯變換

考慮到實際中遇到的信號都是有始(因果)信號，即t<0時，f(t)=0，以及信號雖然不起始于0，因而問題的討論只需考慮信號t≥0的部分。在這兩種情況下，式(8-5)可改寫為

(8-8)

式(8-8)稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換，記為L［f(t)］。相應的反變換為

(8-9)

記為L－1［F(s)］，即F(s)=L［f(t)］和f(t)=L－1［F(s)］。式(8-8)中積分下限用0－而不用0+，目的是可把t=0時出現(xiàn)的沖激考慮到變換中去。當利用單邊拉普拉斯變換解微分方程時，可以直接引用已知的起始狀態(tài)f(0－)而求得全部結果，無需專門計算0－到0+的跳變。

由于在分析因果系統(tǒng)，特別是具有非零初始條件的線性電路或線性常系數(shù)微分方程時，單邊拉普拉斯變換具有重要價值，所以，我們在下文中討論的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)都是指單邊拉普拉斯變換。8.1.3拉普拉斯變換的收斂域

從以上討論可知，信號f(t)的拉普拉斯變換實際是f(t)e－σt的傅里葉變換。信號f(t)的拉普拉斯變換是否存在，取決于式(8-8)積分是否收斂，即f(t)e－σt是否收斂，這要依據(jù)f(t)的性質與σ值的相對關系而定。也就是說，對于某一函數(shù)f(t)，通常并不是在所有的σ值上都能使式(8-8)的積分收斂，即并不是對所有的σ值而言，函數(shù)f(t)都存在拉普拉斯變換，而只是在σ值的一定范圍內才存在拉普拉斯變換。通常把使f(t)e－σt滿足絕對可積條件的σ值的范圍稱為拉普拉斯變換的收斂域。在收斂域內，函數(shù)的拉普拉斯變換存在，在收斂域外，函數(shù)的拉普拉斯變換不存在。如果因果信號f(t)滿足：①在有限區(qū)間a<t<b內(0≤a<b<∞)可積；②對于某個σ0，有

(σ>σ0)(8-10)

則對于Re［s］=σ>σ0，拉普拉斯變換積分式(8-8)絕對且一致收斂，即f(t)存在拉普拉斯變換。

σ0為最低限度的σ值，稱為收斂坐標，它的取值與函數(shù)f(t)的性質有關。經(jīng)過σ0的垂直線是收斂邊界，或稱為收斂軸。由于單邊拉普拉斯變換的收斂域是Re［s］=σ>σ0的半平面組成，因此其收斂域都位于收斂軸的右邊，如圖8-1(a)所示。例如指數(shù)信號f1(t)=e4t，由于只有當σ>4時，才有，所以其拉普拉斯變換F1(s)的收斂橫坐標σ0=4，F(xiàn)1(s)的收斂域如圖8-1(b)陰影所示。又如，單邊斜坡信號f2(t)=tε(t)的拉普拉斯變換F2(s)的收斂橫坐標σ0=0，所以，F(xiàn)2(s)的收斂域如圖8-1(c)陰影所示。圖8-1單邊拉普拉斯變換的收斂域這里需要指出的是，對于一些比指數(shù)函數(shù)增長更快的函數(shù)，例如或tt，這些信號找不到它們的收斂坐標，因而，它們不能進行拉氏變換。對于工程實際中常用到的一般信號，其拉普拉斯變換總是存在的，即總能找到一個足夠大的σ0值，使信號f(t)滿足式(8-10)。

由于單邊拉氏變換的收斂域由Re(s)>σ0的半平面組成，收斂域比較容易確定，故在一般情況下，不再加注其收斂域。8.2常用信號的拉普拉斯變換

下面給出一些常用信號的拉氏變換。因為f(t)與f(t)ε(t)的單邊拉氏變換相同，因此假定這些信號都是有始信號。

1.指數(shù)信號e-αtε(t)

即

(8-11)

2.單位階躍信號ε(t)

令式(8-11)中α=0，即得

(8-12)

3.單邊正弦信號sinω0tε(t)

即

(8-13)

4.單邊余弦信號cosω0tε(t)

即

(8-14)

5.單邊衰減正弦信號e-αtsinω0tε(t)

即

(8-15)

6.單邊衰減余弦信號e-αtcosω0tε(t)

由于

可得

(8-16)

7.單位沖激信號δ(t)

即

(8-17)

8.t的正冪信號tnε(t)(n為正整數(shù))

使用分部積分法，則有即

依此類推，可得即

(8-18)

當n=1，即f(t)=tε(t)為單位斜坡信號時，有

(8-19)

將常用信號的拉氏變換列于表8-1中，以備查用。表8-1常用信號的拉氏變換對8.3拉普拉斯變換的性質

在實際應用中，人們常常不是利用定義式來計算拉氏變換的，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質。這些性質與傅里葉變換性質極為相似，在某些性質中，只要把傅氏變換中的jω用s替代即可。但是，傅氏變換是雙邊的，而這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質又有差別。與傅氏變換相類同的性質這里不再證明。

1.線性

若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，則

a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)

(8-20)

式中，a1和a2為任意常數(shù)。

2.時移性

若f(t)F(s)，則

(8-21)

式(8-21)表明，信號在時域內延時t0，對應于復頻域內乘以

。該式中t0>0的規(guī)定對于單邊拉氏變換是十分必要的，因為若t0<0，信號的波形有可能左移越過原點，這將導致原點以左部分不能包含在從0－到∞的積分中去，因而造成錯誤。

例8-1設f(t)=t，因而F(s)=L［f(t)］=。試求下列信號的拉氏變換：

(1)f(t－t0)=t－t0;

(2)f(t－t0)ε(t)=(t－t0)ε(t);

(3)f(t)ε(t－t0)=tε(t－t0);

(4)f(t－t0)ε(t－t0)=(t－t0)ε(t－t0)，t0>0。

解四種信號如圖8-2所示。對于(1)和(2)兩種信號，t>0的波形相同，所以它們的拉氏變換也相同，即

對于信號(3)，它的拉氏變換是圖8-2例8-1圖對于信號(4)，它的拉氏變換是

可見，在以上四種信號中，只有信號(4)f(t－t0)ε(t－t0)=

(t－t0)ε(t－t0)是f(t)ε(t)=tε(t)右移t0而成的，因而只有信號(4)與f(t)ε(t)或f(t)之間才可以應用時移性，即

例8-2求圖8-3(a)所示鋸齒波f(t)的拉氏變換。

解先將鋸齒波分解為如圖4.3-2(b)所示三個波形之和，即圖8-3鋸齒波f(t)的分解應用拉氏變換的時移性，有由線性得時移性的一種重要應用是求取周期信號的拉氏變換。若以T為周期的周期信號f(t)的第一周、第二周、第三周……的波形分別用f1(t)，f2(t)，f3(t)，…表示，則有

f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…

=f1(t)+f1(t－T)ε(t－T)+f1(t－2T)ε(t－2T)+…

若F1(s)=L［f1(t)］，則根據(jù)時移性可得

(8-22)

這就是說，周期信號的拉氏變換等于其第一周波形的拉氏變換乘以。

例8-3試求圖8-4(a)所示的正弦半波周期信號的拉氏變換。

解單個正弦半波脈沖圖8-4正弦半波周期信號及其單個脈沖的分解其波形如圖8-4(b)所示。

其拉氏變換利用式(8-22)可得

3.比例性(尺度變換)

若f(t)F(s)，則

(8-23)

式中規(guī)定常數(shù)a>0是必要的，因為f(t)為有始信號，若a<0，則f(at)的單邊拉氏變換為零。

例8-4已知L［f(t)］=F(s)。試求

L［f(at－t0)ε(at－t0)］(a>0，t0>0)

解此題可應用比例性和時移性來求解。

先應用時移性，可得

再應用比例性即可求出所需結果

(8-24)另一種做法是先應用比例性，然后再應用時移性。這時首先得出

進一步應用時移性，可得

以上證明充分說明兩種方法結果一致。

4.頻移性

若f(t)F(s)，則

(8-25)

此性質表明，時間函數(shù)乘以，相當于變換式在S域內平移±s0。

例8-5求e－tε(t－1)的拉氏變換。

解因為

由時移性得

再由頻移性式(8-25)可得

5.時域微分性

若f(t)F(s)，則

(8-26)

(8-27)

式中，f(0－)及f(k)(0－)分別表示在t=0－時f(t)及f(k)(t)的值。

證明根據(jù)拉氏變換的定義

應用分部積分法，則有同理可得

(8-28)

依次類推，可得式(8-27)。若f(t)=f(t)ε(t)，則式(8-26)中由于f(0－)=0而簡化為

(8-29)

應當注意，雖然L［f(t)］=L［f(t)ε(t)］，但

不一定和相等，因為這與f(0－)是否為零有關。

例8-6設f1(t)=e－αtε(t)，。試求

它們的拉氏變換及其導數(shù)f

1′

(t)和f2′

(t)的拉氏變換。

解

f1(t)和f2(t)的波形如圖8-5所示。圖8-5例8-6圖雖然這兩個信號在t<0部分不同，但在t>0部分完全相同，故它們的單邊拉氏變換相同，即

根據(jù)時域微分性，且f1(0－)=0，f2(0－)=－1，得如果將f1(t)和f2(t)分別求導，再求拉氏變換，則有兩種解法結果一致，從而證實了時域微分性的正確性。盡管f1(t)和f2(t)的單邊拉氏變換相同，即F1(s)=F2(s)，但f

1′

(t)和

f2′

(t)的拉氏變換不同，原因在于f2(t)比f1(t)在t=0處多了一個跳變值f2(0－)。這說明，f(t)在t<0時的函數(shù)值不影響其本身的拉氏變換，但會影響其導數(shù)的拉氏變換。

時域微分性質及下面的積分性質可將描述電路的微分方程化為較簡單的代數(shù)方程，而且自動地引入初始狀態(tài)，這一特點在電路分析中十分有用。

6.時域積分性

若f(t)F(s)，則

(8-30)

(8-31)

式中

證明根據(jù)拉氏變換的定義

應用分部積分法，可得當t→∞和t→0－時，上式右邊第一項為零，所以

若積分下限由－∞開始，則有所以

例8-7試利用階躍信號ε(t)的積分求tε(t)和tnε(t)的拉氏變換。

解因為

而

所以重復應用這個性質，可得

7.初值定理

若f(t)F(s)，且存在，則f(t)的初值為

(8-32)

證明利用時域微分性質上式中第一項積分限為0－到0+，在整個積分區(qū)間內t=0，因此，e－st|t=0=1，于是可寫為

故

對上式兩邊取極限，令s→∞，則右邊積分項將消失，故有初值定理表明，信號在時域t=0+時的值可通過F(s)乘以

s，取s→∞的極限，而不必求取F(s)的反變換，但其條件是

必須存在。當F(s)為有理分式時必須為真分式，也就是說，在時域中對應于f(t)在t=0處不包含沖激及其導數(shù)；當F(s)不是真分式時，不能直接利用式(8-32)求初值，而必須先用長除法將F(s)分成一個多項式與一個真分式F0(s)之和，即F(s)=kmsm+km-1sm-1+…+k0+F0(s)，然后再從F0(s)求初值因為根據(jù)時域微分性，sm的反變換為δ(m)(t)，多項式分量對應的反變換為kmδ(m)(t)+km-1δ(m-1)(t)+…+k0δ(t)，在t=0+時為零，不影響f(0+)的值，因而可移去F(s)的多項式，而只利用F(s)的真分式F0(s)求f(t)的初值。

例8-8已知F(s)=L［f(t)］=。試求初值f(0+)。

解由于F(s)是有理分式但不是真分式，分子的階次等于分母的階次，故將其分解為

則

8.終值定理

若f(t)F(s)，且存在，則f(t)的終值

(8-33)

證明仍利用時域微分性質上式兩邊取s趨于零的極限，此時e-st|s=0=1，則有

因為故

即終值定理表明，可通過F(s)乘以s取s→0的極限直接求得f(t)的終值，而不必求F(s)的反變換。但條件是必須保證

存在。這個條件相當于在復頻域中，F(xiàn)(s)的極點都位于S平面的左半部和F(s)在原點僅有單極點。

例8-9已知。試計算原函數(shù)f(t)的終值。

解因為F(s)的極點為s1=0和s2=－1，第一個極點是位于原點的單極點，第二個位于S左半面，故滿足應用終值定理的條件，于是

例8-10已知。問原函數(shù)f(t)有無終值?

解由于F(s)的極點s=1在S平面的右半面，故不能應用終值定理，f(t)無終值。

事實上，F(xiàn)(s)的原函數(shù)f(t)=et，當t→∞時，f(t)發(fā)散。若盲目地套用式(8-33)，即得，顯然，這個結果也是錯誤的。

拉氏變換還有一些其它性質，如時域卷積和復頻域卷積等，它們與傅氏變換的性質類似，這里不再重復。表8-2列出了常用拉氏變換的性質。表8-2常用拉氏變換的性質

8.4拉普拉斯反變換

從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的過程稱為拉普拉斯反變換。

簡單的拉普拉斯反變換只要應用表8-1以及上節(jié)討論的拉氏變換的性質便可得到相應的時間函數(shù)。

求取復雜拉氏變換式的反變換通常有兩種方法：部分分式展開法和圍線積分法(或留數(shù)法)。應用拉氏反變換定義式(8-9)進行復變函數(shù)積分就是通常所說的圍線積分法。部分分式展開法將復雜變換式分解為許多簡單變換式之和，然后分別查表即可求得原信號，它適合于F(s)為有理函數(shù)的情況。部分分式展開法因無需進行復變函數(shù)的積分而計算簡便，且足以解決絕大部分常見信號的反變換問題，因此下面僅討論部分分式展開法。

常見的拉氏變換式是s的多項式之比(有理函數(shù))，一般形式是(8-34)式中，N(s)和D(s)分別為F(s)的分子多項式和分母多項式；ai(i=0，1，…，n)，bj(j=0，1，…，m)均為實數(shù)。當m<n，即F(s)為真分式時，可直接分解為部分分式；當m≥n，即F(s)為假分式時，則先用長除法將F(s)化成多項式與真分式之和，例如

然后又歸結為將真分式分解為部分分式。因此，下面分三種情況著重討論是真分式時的拉氏反變換。

1.D(s)=0的根都是相異實根

分母D(s)是s的n次多項式，可以進行因式分解

D(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn)

這里s1，s2，…，sn為D(s)=0的根。當s等于任一根值時，F(xiàn)(s)等于無窮大，故這些根也稱為F(s)的極點。當s1，s2，…，sn互不相等時，F(xiàn)(s)可表示為

(8-35)式中，k1，k2，…，kn為待定系數(shù)。在式(8-35)兩邊乘以因子

(s－si)，再令s=si(i=1，2，…，n)，于是式(8-35)右邊僅留下ki項，即

(i=1，2，…，n)(8-36)

求得待定系數(shù)后，式(8-35)的反變換可由表8-1查得

(8-37)

由此可見，當D(s)=0具有相異實根時，F(xiàn)(s)的拉氏反變換是許多實指數(shù)函數(shù)項之和。應強調的是，根據(jù)單邊拉氏變換的定義，拉氏反變換在t<0區(qū)域中恒等于零，故按式(8-37)所求得的反變換只適合于t≥0的情況。

例8-11求的拉氏反變換。

解由于F(s)中m=n=2，首先分解出真分式，為此采用長除法運算)得

其中，真分式項又可展成以下部分分式：系數(shù)可由式(8-36)求得代入原式可得

查表8-1即得

2.D(s)=0有復根且無重復根

若

D(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn－2)(s2+bs+c)

=D1(s)(s2+bs+c)

式中，D1(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn－2)，s1，s2，…，sn－2為D(s)=0的互不相等的實根。二次多項式s2+bs+c中，若b2<4c，則構成一對共軛復根。因為F(s)可寫成

(8-38)

上式右邊第二項展開為部分分式的方法已如前述；對于右邊第一項，一旦求得，就可應用對應系數(shù)相等的方法求得系數(shù)A和B，而的反變換則可用部分分式展開法或配方法。

例8-12求的拉氏反變換。

解(1)配方法。查表8-1得

(2)部分分式展開法。這里D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)

=0有一對共軛復根，s1=-1+j2和s2=-1-j2。F(s)可寫成

式中事實上，k1和k2必然也是共軛的，即k1=，所以求得k1后，k2可以直接寫出。

可見，D(s)=0有共軛復根時，用配方法結合查表求拉氏反變換是比較方便的。

例8-13求的拉氏反變換。

解

D(s)=s3+5s2+12s+8=(s+1)(s2+4s+8)

所以式中

于是為求系數(shù)B和C，可用對應項系數(shù)相等的方法，先令s=0并代入上式兩邊，得,則C=2；再將上式兩邊乘以s，并令s→∞，得0=1+B，則B=－1，即應用配方法，得

查表8-1即得

L－1［F(s)］=e－t－e－2tcos2t+2e－2tsin2t，t≥0

3.D(s)=0的根為重根

若D(s)=0只有一個p重根s1，則D(s)可寫成

D(s)=an(s－s1)p(s－sp+1)…(s－sn)

F(s)展成的部分分式為

(8-39)

式中，D(s)的非重根因子組成的部分分式的系數(shù)kp+1，…，kn的求法已如前述；重根因子組成的部分分式的系數(shù)k1p，k1(p-1)，

…，k11可通過下列步驟求得。將式(8-39)兩邊乘以(s－s1)p，得

(8-40)

令s=s1，可得

(8-41)將式(8-40)兩邊對s求導后，令s=s1，可得

(8-42)

依次類推，可得求重根項的部分分式系數(shù)的一般公式為

(8-43)當全部系數(shù)確定后，由于

則得

例8-14試求的拉氏反變換。

解

式中，系數(shù)k1、k23可分別根據(jù)式(8-36)、式(8-41)求得，即

k1=(s+1)F(s)|s=－1=1

k23=(s+2)3F(s)|s=－2=2系數(shù)k22、k21可根據(jù)式(8-43)求得，即所以

查表8-1，即得

D(s)具有重根的F(s)展開成部分分式，求各項系數(shù)的方法很多。式(8-36)和式(8-41)比較好記，式(8-43)不好記憶，如果重根階次不高，也可用代數(shù)恒等式求解，可以避免用求導公式。如例8-14中，當k1和k23求出后代入原式可得

(8-45)令s=0代入式(8-45)，得

再令s=1代入式(8-45)，得

聯(lián)立求解可得k22=－2，k21=－1。如果將式(8-45)右邊通分后令右邊和左邊的分子多項式各s冪次相應的系數(shù)相等，也可計算出未知數(shù)。

8.5線性電路的復頻域分析

拉普拉斯變換是分析線性時不變電路的有效工具，它將描述電路的時域微分方程變換為復頻域(s)域的代數(shù)方程，便于運算和求解。同時它將初始狀態(tài)自然地包括到象函數(shù)中，既可分別求零輸入響應、零狀態(tài)響應，又可求得全響應。以拉氏變換作為數(shù)學工具，分析任意信號作用下的線性電路響應，稱為拉氏變換分析或復頻域分析。8.5.1微分方程的復頻域分析

當描述電路響應與激勵關系的時域微分方程已知，需要求取電路響應時，可對微分方程進行拉氏變換，得到復頻域的代數(shù)方程，在復頻域中通過代數(shù)運算得到響應的復頻域解，最后將此解進行拉氏反變換得到時域解。

例8-15已知描述二階電路的微分方程為y″(t)+5y′(t)

+6y(t)=2x′(t)+8x(t)，激勵x(t)=e－tε(t)，初始狀態(tài)y(0－)=3，y′(0－)=2。求響應y(t)。

解對上述微分方程取拉氏變換，根據(jù)拉氏變換的微分性得

s2Y(s)－sy(0－)－y′(0－)+5［sY(s)－y(0－)］+6Y(s)

=2sX(s)+8X(s)

x(t)為有始信號，故有x(0－)=0。整理上述方程，得將X(s)=L［e－tε(t)］=，y(0－)=3，y′(0－)=2代入，于是響應的復頻域解為

故

y(t)=L－1［Y(s)］=3e－t+7e－2t－7e－3t,

t>0

例8-16圖8-6所示電路在t=0時開關閉合，已知uC(0－)=

1V。試求t>0時的輸出電壓uC(t)。

解首先列寫電路響應與激勵關系的時域微分方程。當t>0時，據(jù)KVL有

Ri(t)+uC(t)=5ε(t)

即

代入元件參數(shù)，得其次，對電路方程兩邊取拉氏變換，并求出復頻域解。設uC(t)UC(s)，則由時域微分性，得

解此代數(shù)方程，得響應的復頻域解為

最后，求反變換，得時域全響應

uC(t)=L－1［UC(s)］=5－4e－50t,

t>0圖8-6例8-16圖8.5.2電路的復頻域模型

當電路含有較多的動態(tài)元件時，描述電路的微分方程階數(shù)較高，列寫微分方程本身就非常麻煩。因此，在復頻域內分析具體電路時，通常不采用先列寫微分方程再用拉氏變換進行分析的方法，而是先根據(jù)復頻域電路模型，從電路中直接列寫求解復頻域響應的代數(shù)方程，然后求解復頻域響應并進行拉氏反變換。下面先介紹電路元件的復頻域模型。電阻元件的電壓與電流的時域關系為

uR(t)=RiR(t)

將上式兩邊取拉氏變換，得

UR(s)=RIR(s)(8-46)

由式(8-46)可得到電阻元件的復頻域模型如圖8-7所示。顯然，電阻元件的復頻域模型與時域模型具有相同的形式。圖8-7電阻元件的模型(a)時域(b)復頻域電容元件的電壓與電流的時域關系為

將上式兩邊取拉氏變換，得

(8-47)

或IC(s)=sCUC(s)－CuC(0－)(8-48)式(8-47)和式(8-48)表明，一個具有初始電壓uC(0－)的電容元件，其復頻域模型為一個復頻容抗與一個大小為

的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個大小為CuC(0－)的電流源并聯(lián)，如圖8-8所示。

圖8-8電容元件的模型(a)時域；(b)復頻域(電壓源型)；(c)復頻域(電流源型)電感元件的電壓與電流的時域關系為

將上式兩邊取拉氏變換，得

UL(s)=sLIL(s)－LiL(0－)

(8-49)或

(8-50)式(8-49)和式(8-50)表明，一個具有初始電流iL(0－)的電感元件，其復頻域模型為一個復頻感抗sL與一個大小為LiL(0－)的

電壓源相串聯(lián)，或者是sL與一個大小為的電流源相并

聯(lián)，如圖8-9所示。

把電路中每個元件都用它的復頻域模型來代替，將信號源及各分析變量用其拉氏變換式代替，就可由時域電路模型得到復頻域電路模型。在復頻域電路中，電壓U(s)與電流I(s)是代數(shù)關系，可以應用與電阻電路一樣的分析方法與定理列寫求解響應的變換式。圖8-9電感元件的模型(a)時域；(b)復頻域(電壓源型)；(c)復頻域(電流源型)

例8-17如圖8-10(a)所示電路，已知元件參數(shù)L=0.5H，C=1F，R=1Ω，初始狀態(tài)uC(0－)=1V，iL(0－)=1A。試求零輸入響應uR(t)。

解畫出復頻域模型如圖8-10(b)所示。設回路電流為I(s)，列寫網(wǎng)孔方程圖8-10例8-17圖得

所以，反變換得時域響應

例8-18如圖8-11(a)所示電路，已知元件參數(shù)L=0.5H，C=1F，R1=0.2Ω，R2=1Ω，輸入uS(t)=ε(t)。試求電路的零狀態(tài)響應i(t)。

解畫出t>0時零狀態(tài)下的復頻域電路模型如圖8-11(b)所示，其中復頻阻抗sL=0.5s，。利用復頻阻抗串并聯(lián)法求得響應的象函數(shù)

所以零狀態(tài)時域響應為

i(t)=(－3e－3t+8e－4t)ε(t)

圖8-11例8-18圖

例8-19如圖8-12(a)所示電路，已知C=1F，R=1Ω，初始狀態(tài)uC(0－)=1V，激勵uS(t)=(1+e－3t)ε(t)V。試求響應電壓uC(t)。

解畫出復頻域模型如圖8-12(b)所示，其中

回路電流為圖8-12例8-19圖電容電壓為反變換得全響應為

uC(t)=1+0.5e－t－0.5e－3t,

t>0

8.6網(wǎng)絡函數(shù)與網(wǎng)絡特性

8.6.1網(wǎng)絡函數(shù)

網(wǎng)絡函數(shù)H(s)又稱系統(tǒng)函數(shù)或傳輸函數(shù)，它是在零狀態(tài)條件下零狀態(tài)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比：

(8-51)

網(wǎng)絡函數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的特性，與激勵無關，它在網(wǎng)絡分析與綜合中占有重要地位。由于

Yzs(s)=H(s)X(s)

當系統(tǒng)的激勵為δ(t)時，零狀態(tài)響應為h(t)，故

L［h(t)］=H(s)L［δ(t)］=H(s)(8-52)

即網(wǎng)絡函數(shù)H(s)與沖激響應h(t)是一對拉氏變換。h(t)與H(s)分別從時域和復頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。

網(wǎng)絡函數(shù)可以在零狀態(tài)條件下將電路的微分方程經(jīng)過拉氏變換求得，或由電路的沖激響應求拉氏變換而得到。對于具體的電路，還可以用零狀態(tài)下的復頻域等效電路(模型)求得網(wǎng)絡函數(shù)，這可以從以下例子中看出。

例8-20已知描述電路的微分方程為

試求：

(1)該電路的系統(tǒng)函數(shù)H(s)；

(2)該電路的沖激響應h(t)。

解

(1)在零狀態(tài)條件下，將給定的微分方程兩邊取拉氏變換，得

s2Yzs(s)+3sYzs(s)+2Yzs(s)=2sX(s)+3X(s)

所以

(2)將系統(tǒng)函數(shù)H(s)部分分式展開并反變換，即可得到?jīng)_激響應

h(t)=L－1［H(s)］=(e－t+e－2t)ε(t)

例8-21試求圖8-13(a)所示電路的網(wǎng)絡函數(shù)。

解電路的零狀態(tài)復頻域模型如圖8-13(b)所示。所以圖8-13例8-21圖8.6.2網(wǎng)絡函數(shù)的零點和極點

一般來說，線性網(wǎng)絡的網(wǎng)絡函數(shù)是以多項式之比的形式出現(xiàn)的。將式(8-51)給出的網(wǎng)絡函數(shù)的分子、分母進行因式分解，進一步可得

(8-53)

式中，H0為一常數(shù)；z1，z2，…，zm是網(wǎng)絡函數(shù)分子多項式N(s)=0的根，稱為網(wǎng)絡函數(shù)的零點；分母多項式D(s)也稱為網(wǎng)絡的特征多項式；特征方程D(s)=0的根p1，p2，…，pn稱為特征根或網(wǎng)絡的固有頻率(或自然頻率)，也稱為網(wǎng)絡函數(shù)的極點；(s－zj)稱為零點因子(j=1，2，…，m)；(s－pk)稱為極點因子(k=1，2，…，n)。當一個網(wǎng)絡函數(shù)的全部零點、極點及H0確定后，這個網(wǎng)絡函數(shù)也就可以完全確定了。由于H0只是一個比例常數(shù)，對H(s)的函數(shù)形式?jīng)]有影響，所以一個網(wǎng)絡隨變量s變化的特性可以完全由它的零點和極點表示。把網(wǎng)絡函數(shù)的零點和極點繪在S平面上的圖形叫做網(wǎng)絡函數(shù)的零、極點圖。其中零點用“”表示，極點用“×”表示，若為n重零點或極點，則注以(n)。

借助對網(wǎng)絡函數(shù)H(s)在S平面的零、極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出網(wǎng)絡響應的許多規(guī)律，以統(tǒng)一的觀點闡明網(wǎng)絡諸方面的性能。網(wǎng)絡的時域、頻域特性集中地以其網(wǎng)絡的零、極點分布表現(xiàn)出來。H(s)的零、極點的分布不僅可以揭示網(wǎng)絡的時域特性的規(guī)律，而且還可用來闡明網(wǎng)絡的頻率響應特性和網(wǎng)絡的穩(wěn)定性等方面的性能。8.6.3網(wǎng)絡函數(shù)的時域特性

1.由網(wǎng)絡函數(shù)的零、極點分布確定網(wǎng)絡的沖激響應的模式

網(wǎng)絡函數(shù)H(s)與沖激響應h(t)是一對拉氏變換，因此根據(jù)H(s)的零、極點分布就可以確定網(wǎng)絡的沖激響應的模式。

(1)若H(s)的極點位于S平面的原點，如，則h(t)=ε(t)，沖激響應的模式為階躍函數(shù)。

(2)若H(s)的極點位于S平面的正實軸上，如

(α>0)，則h(t)=eαtε(t)，沖激響應的模式為增長指數(shù)函數(shù)；若H(s)的極點位于S平面的負實軸上，如H(s)=

(α>0)，則h(t)=e－αtε(t)，沖激響應的模式為衰減指數(shù)函數(shù)。

(3)若H(s)的極點位于S平面的虛軸(極點必以共軛形式出現(xiàn))上，如，則h(t)=sinω0tε(t)，沖激響應的模式為等幅振蕩函數(shù)。

(4)若H(s)的共軛極點位于S右半平面，如H(s)=

(α>0)，則h(t)=eαtsinω0tε(t)，沖激響應的模式為增幅振蕩函數(shù)；若H(s)的共軛極點位于S左半平面，如H(s)=

(α>0)，則h(t)=e－αtsinω0tε(t)，沖激響應的模式為減幅振蕩函數(shù)。以上分析結果如圖8-14所示，這里都是單極點的情況。若H(s)具有n重極點，則沖激響應的模式中將含有tn－1因子。例如

在原點有二重極點，則h(t)=tε(t)為斜坡函數(shù)；

在虛軸上有兩重共軛極點，則h(t)=

tsinω0tε(t)為幅度線性增長的振蕩函數(shù)。圖8-14H(s)的單極點分布與沖激響應模式的關系

2.由網(wǎng)絡函數(shù)的零極點分布確定網(wǎng)絡穩(wěn)定性

一個網(wǎng)絡如果對于有界的輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱該網(wǎng)絡是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是網(wǎng)絡的固有特性，與激勵的情況無關。

設輸入信號x(t)為有界，即|x(t)|≤Mx，Mx為有界正值，由于零狀態(tài)響應

則有

(8-54)欲使y(t)為有界輸出，則必須是

(8-55)

也就是網(wǎng)絡的沖激響應h(t)必須滿足絕對可積條件。

對于因果網(wǎng)絡的沖激響應，當t<0時，h(t)=0，式(8-55)可寫為

(8-56)

式(8-56)是線性時不變因果網(wǎng)絡穩(wěn)定的充分必要條件。網(wǎng)絡的沖激響應h(t)和網(wǎng)絡函數(shù)H(s)從不同側面表征網(wǎng)絡的特性。判別網(wǎng)絡是否穩(wěn)定，既可從時域方面進行分析，也可從S域方面進行分析，即通過研究H(s)在S平面中極點分布的位置，可很方便地給出有關網(wǎng)絡穩(wěn)定性的結論。

從上述有關網(wǎng)絡函數(shù)H(s)的極點分布與沖激響應模式關系的分析中，可得出網(wǎng)絡函數(shù)的極點分布與穩(wěn)定性的關系：

(1)若H(s)的全部極點均位于S左半平面(不包括虛軸)，則在t→∞時，h(t)消失，網(wǎng)絡是穩(wěn)定系統(tǒng)。

(2)在H(s)的極點中，只要有一個位于S右半平面或在虛軸(包括原點)上具有二重以上極點，則在t→∞時，h(t)→∞，網(wǎng)絡是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

(3)若在H(s)的極點中，除了位于S左半平面外，還有一階極點位于虛軸(包括原點)上，則h(t)為有限值或為等幅振蕩，網(wǎng)絡是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。

因此，網(wǎng)絡穩(wěn)定的充分必要條件是網(wǎng)絡函數(shù)H(s)的極點均位于S左半平面，或者說系統(tǒng)的特征方程D(s)=0的根都具有負的實部。

例8-22試判別下列網(wǎng)絡是否穩(wěn)定。

(1)

(2)

解

(1)特征方為

D1(s)=s3+4s2－7s+2=0

即

(s－1)(s2+5s－2)=0

得特征根(極點)為

s1和s3是具有正實部(虛部為0)的根，所以網(wǎng)絡不穩(wěn)定。

(2)特征方程為

D2(s)=s3+3s2+6s+8=0

即

(s+2)(s2+s+4)=0

特征根

它們都具有負的實部，所以網(wǎng)絡穩(wěn)定。8.6.4網(wǎng)絡函數(shù)的頻率響應特性

網(wǎng)絡函數(shù)H(s)在S平面的零、極點分布與其頻率特性也有直接關系。利用網(wǎng)絡函數(shù)的零、極點分布就可以借助幾何作圖法確定網(wǎng)絡的頻率響應特性(簡稱頻響特性)。

若網(wǎng)絡函數(shù)H(s)的極點均位于S左半平面，那么它在虛軸上(s=jω)也收斂，則式(8-53)所描述的網(wǎng)絡的頻響函數(shù)H(jω)或寫作H(ω)為

(8-57)可以看出，頻響特性取決于網(wǎng)絡的零、極點分布，即取決于zj、pk的位置。H0是系數(shù)，對頻響特性無關緊要。式(8-57)分母中任一極點因子jω－pk相當于由極點pk引向虛軸上某點jω的一個矢量，稱為極點矢量；分子中任一零點因子jω－zj相當于由零點zj引向虛軸上某點jω的一個矢量，稱為零點矢量。圖

8-15中畫出了由零點zj和極點pk與虛軸上某點jω連接構成的零點矢量jω－zj和極點矢量jω－pk。圖中，Nj、Mk分別表示零點矢量和極點矢量的模；jj、fk分別表示零點矢量和極點矢量的輻角，即

(8-58)圖8-15零點矢量和極點矢量于是，式(8-57)可以改寫為

(8-59)

式中，幅頻特性為

(8-60)相頻特性為

(8-61)

當ω自原點沿虛軸運動并趨于無窮大時，各零點矢量和極點矢量的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性和相頻特性曲線。

例8-23已知二階網(wǎng)絡函數(shù)。試粗略畫出其幅頻特性和相頻特性曲線。

解

H(s)的零點z=0，其極點為

由于極點在S左半平面，故H(s)在虛軸上收斂，該網(wǎng)絡的頻率響應為令零點矢量jω=Nejj，極點矢量jω－p1=，

jω－p2=，于是，上式可以改寫為

從而，幅頻特性為

(8-62)

相頻特性為

θ(ω)=j－y1－y2(8-63)由圖8-16(a)可看出，當ω=0時，N=0，M1=M2=1，

ψ1=－ψ2，。根據(jù)式(8-62)和式(8-63)得|H(ω)|=0，

。

隨著ω的增大，N和M2增大，而M1減小，故|H(ω)|增大；|ψ1|減小，ψ2增大，故θ(ω)減小。當ω=1時，網(wǎng)絡發(fā)生諧振，這時|H(ω)|=1為極大值，而θ(ω)=0。當ω繼續(xù)增大時，N、M1、M2和ψ1、ψ2均增大，從而|H(ω)|減小，θ(ω)繼續(xù)減小。

當ω→∞時，N、M1、M2均趨于無窮大，從而|H(ω)|→0；ψ1、ψ2均趨于，使。圖8-16(b)和(c)所示是粗略畫出的幅頻特性和相頻特性曲線。可見，該網(wǎng)絡是帶通網(wǎng)絡。

圖8-16例8-23圖從以上討論可知，如果網(wǎng)絡函數(shù)的某一極點十分靠近虛軸，則當角頻率ω在該極點虛部附近時，幅頻特性有一峰值，相頻特性急劇減小。類似地，如果網(wǎng)絡函數(shù)有一零點十分靠近虛軸，則當角頻率ω在該零點虛部附近處時，幅頻特性有一谷值，相頻特性急劇增大。習題8

8-1試用拉氏變換的定義式，求下列函數(shù)的拉氏變換。

(1)ε(t)－ε(t－1)；

(2)te－tε(t);

(3)tcosω0tε(t)；

(4)(e2t－2e－t)ε(t);

(5)(cos3t+2sin3t)ε(t)；

(6)(1－e－2t)ε(t);

(7)2δ(t－1)；