2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.擲一枚骰子，設(shè)事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于5，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則事件A與事件B的關(guān)系是（）A. B.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為6C.事件A與B互斥 D.事件A與B是對(duì)立事件【正確答案】B【分析】利用兩個(gè)事件的關(guān)系對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于5出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，故B正確，A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與B不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故C，D錯(cuò)誤，故選：B．2.已知，是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（）A.，共線 B.，共線C.，，共面 D.，，不共面【正確答案】C【分析】根據(jù)共面向量定理可作出判斷【詳解】由題知，，是空間兩個(gè)不共線的向量，，由共線向量定理知，A，B，C三點(diǎn)共線，由共面向量定理知，，，共面.故選：C3.若直線的方向向量為,,，平面的法向量為,6,，則（）A. B.C. D.與位置關(guān)系不確定【正確答案】A【分析】根據(jù)方向向量與法向量共線即可判斷.【詳解】由于直線的方向向量為,,，平面的法向量為,6,，由于，所以直線與平面的法向量共線，所以．故選：A．4.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題，不正確的是（）A.若，，，則，為相互獨(dú)立事件B.若，，，則，為相互獨(dú)立事件C.若，，，則，為相互獨(dú)立事件D.若，，，則，為相互獨(dú)立事件【正確答案】D【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率的關(guān)系及相互獨(dú)立事件概率的概率乘法公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A：由，，，則由相互獨(dú)立事件乘法公式知，為相互獨(dú)立事件，故A正確；對(duì)B：由，由A可知，B正確；對(duì)C：由，由，，則由相互獨(dú)立事件乘法公式知，為相互獨(dú)立事件，故C正確；對(duì)D：由，，,而，所以與不相互獨(dú)立，則，也不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：D5.為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)，，使得，則，，的值分別為（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】B【分析】根據(jù)基底的定義、向量共面的充要條件，利用反證法運(yùn)算分析即可得解.【詳解】解：假設(shè)，，中存在一個(gè)不為0的數(shù)，不妨設(shè)，則由可得：，∴由向量共面的充要條件知向量共面，這與是空間的一個(gè)基底矛盾，故假設(shè)不真，即，，中不存在一個(gè)不為0的數(shù)，∴.故選：B.6.設(shè)，向量，，且，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由，求出，再求出，再用坐標(biāo)求模即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，則，所以.又因?yàn)?，且，所以，則，所以，所以，所以.故選：A.7.已知事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）．A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)互斥事件及所給條件求出，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)槭录c互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，，解得，，則．故選：C．8.如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，，所以，由于平面平面，且兩平面交線為，，平面，故平面，又四邊形為正方形，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，故，則，故直線，所成角的余弦值．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全得部分分）.9.已知，，則下列說法中正確的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果互斥，那么 D.如果互斥，那么【正確答案】ABC【分析】對(duì)于AB，由可得即可；對(duì)于CD，由互斥可得即可.【詳解】對(duì)于AB，由可得,所以,故AB正確；對(duì)于CD，由互斥可得，所以,故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（）A B.C.的長(zhǎng)為 D.【正確答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面與平交C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到平面的距離為【正確答案】BC【分析】建系，利用空間向量處理線、面關(guān)系以及距離問題.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有：，，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，設(shè)平面的法向量為，由，則，令，則，則，對(duì)A，∵，則，即與不共線，∴與平面不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)B，∵，則與不共線，∴平面與平交，故B正確；對(duì)C：，則，所以，所以線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到直線的距離，，即點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)D：，點(diǎn)O到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.故選：BC.方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計(jì)算出四面體的體積，然后計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離；（2）空間向量法：先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)到平面的距離為.第II卷（非選擇題92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，若直線l：經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的傾斜角為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)代入直線方程，即可得到結(jié)果.【詳解】將代入，可得，解得，所以直線方程為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，且，則.

故13.如圖所示，電路原件，，正常工作概率分別為，，，則電路能正常工作的概率為______．【正確答案】##0.4375【分析】電路能正常工作的條件是：必須正常工作，，至少有一個(gè)正常工作，由此求解即可【詳解】由題意，電路能正常工作的條件是：必須正常工作，，至少有一個(gè)正常工作，所以電路能正常工作的概率為，故14.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子，分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記，則當(dāng)________時(shí)，的長(zhǎng)最小.【正確答案】【分析】根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊婷?，又面面，，面，所以面，又，如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，則，得到，同理可得，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，最小值為.故答案為.思路點(diǎn)睛：立體幾何中的距離問題，一般的思路是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求解.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.如圖，在正方體中，在上，且，在對(duì)角線上，且.若，，.（1）用，，表示；（2）用，，表示【正確答案】（1）（2）【分析】結(jié)合空間向量基本定理，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則.16.小欣和小敏打算利用節(jié)假日在內(nèi)江游玩，其中4個(gè)景點(diǎn)分別是：“張大千紀(jì)念館”?“重龍山”?“羅泉古鎮(zhèn)”和“古宇湖”.他們各自在這4個(gè)景點(diǎn)中任意選擇一個(gè)游覽，每個(gè)被選擇的可能性相同.（1）小欣選擇“羅泉古鎮(zhèn)”的概率是多少？（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小欣和小敏恰好選擇同一景點(diǎn)的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）小欣有4種選擇，去羅泉古鎮(zhèn)情況有1種，即可得到概率；（2）畫樹狀圖得到所有可能出現(xiàn)的情況，計(jì)算兩人都去同一景點(diǎn)的情況數(shù)，進(jìn)而用古典概率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】在這四個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，每個(gè)被選中的可能性相同，所以小欣選擇“羅泉古鎮(zhèn)”的概率是.【小問2詳解】畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，小欣和小敏恰好選擇同一景點(diǎn)的結(jié)果有4種，則小欣和小敏恰好選擇同一景點(diǎn)的概率概率為.17.某場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是，若各家庭回答是否正確互不影響．（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【正確答案】（1）乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率為和．（2）【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可得，，，即可求解，（2）先分別求出有0個(gè)家庭回答正確的概率和有1個(gè)家庭回答正確的概率，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【小問1詳解】由于甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是,記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件，，，則，，，即，，所以，．所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率為和．【小問2詳解】有0個(gè)家庭回答正確的概率為：，有1個(gè)家庭回答正確的概率為：，所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．18.如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，證明，結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，得到線面角的正弦值．【小問1詳解】連接，在中，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，，因此，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以．19.如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）先利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量法求解即可；（3）設(shè)，由求出，再利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平?所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)椋?/p>