2024屆浙江省寧波市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知集合，則，故選：C2.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，所以.故選：D.3.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量在向量方向上的投影向量是，可知，即，且可得，所以與夾角的余弦值為.故選：A.4.體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有（）A.24種 B.36種 C.72種 D.96種【答案】C【解析】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設(shè)的不同的排法共有種.故選：C.5.已知是奇函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，可知定義域關(guān)于原點對稱，由，可得，顯然，則且，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，解得,此時,且，即，符合題意，所以.故選：D.6.已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B正確；C選項，當(dāng)時，滿足，此時，C錯誤；D選項，，設(shè)，其中，則，因為，所以，故，顯然取不到最小值25，D錯誤.故選：B7.已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓的上頂點，線段的延長線交橢圓于點．若，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，所以，因為，則，因為，化簡得，即，可得，所以.故選：B.8.在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體，作一平面分別與交于點，若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為正方形，則且又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，且由題意，所以均為各邊的中點，所以，且，故又由題，故①，如圖，分別取中點O，P，連接，由題意可知，故②，又，且都在面內(nèi)，所以面，又面，所以，故為等腰三角形，即，故由題意有，即四面體對棱相等，故可將四面體補形為長、寬、高分別為的長方體，如圖所示：則四面體的外接球即為長方體的外接球，且，所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.數(shù)字經(jīng)濟是繼農(nóng)業(yè)經(jīng)濟、工業(yè)經(jīng)濟之后的主要經(jīng)濟形態(tài)．近年來，在國家的大力推動下，我國數(shù)字經(jīng)濟規(guī)模增長迅猛，《“十四五”數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃》更是將數(shù)字經(jīng)濟上升到了國家戰(zhàn)略的層面．某地區(qū)2023年上半年月份與對應(yīng)數(shù)字經(jīng)濟的生產(chǎn)總值（即GDP）（單位：億元）如下表所示．月份123456生產(chǎn)總值303335384145根據(jù)上表可得到回歸方程，則（）A.B.與正相關(guān)C.若表示變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則D.若該地區(qū)對數(shù)字經(jīng)濟的相關(guān)政策保持不變，則該地區(qū)7月份的生產(chǎn)總值約為億元【答案】ABD【解析】對于A，，，所以，故A正確；對于B，因為，所以與正相關(guān)，故B正確；對于C，相關(guān)系數(shù)，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上既有極大值又有極小值D.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位【答案】AB【解析】由題意在函數(shù)的部分圖象上，所以，即，所以，再根據(jù)，即，結(jié)合圖象可得，所以，，對于A，由于為函數(shù)的最大值，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，當(dāng)時，，所以沒有極大值，故C錯誤；對于D，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位，故D錯誤.故選：AB.11.已知圓，拋物線的焦點為為拋物線上一點，則（）A.以點為直徑端點的圓與軸相切B.當(dāng)最小時，C.當(dāng)時，直線與圓相切D.當(dāng)時，以為圓心，線段長為半徑的圓與圓相交公共弦長為【答案】AD【解析】如圖，設(shè)，中點為，又，所以，由拋物線定義知，又到軸的距離為，所以選項A正確，對于選項B，因為，則，當(dāng)時，取到最小值，此時，所以選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)時，，，不妨取，則，直線，所以圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，所以，即直線與圓相離，所以選項C錯誤，對于選項D，當(dāng)時，，，不妨取，故以為圓心，線段長為半徑的圓為①，又圓②，由①②得兩圓的共公弦方程，到的距離為，故公共弦長為，所以選項D正確，故選：AD.12.已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則以下選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A:令，則令，則所以因為，所以，令，則，故選項A正確；對于選項B:結(jié)合選項A可得，所以或，若，則，所以，此時與矛盾，舍去；若，則，解得，因為，所以，故選項B錯誤；對于選項C:令則，因為，，所以，所以為偶函數(shù)，令則，所以，令，則，即，故選項C正確；對于選項D:由為偶函數(shù)，所以，令,則，令,則,所以，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題.13.的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）．【答案】40【解析】展開式的通項，令，得.所以的系數(shù)為.故答案：4014.某校元旦文藝匯演中，有八位評委對一舞蹈節(jié)目評分，該節(jié)目得分依次為，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為____________．【答案】92【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，即92.故答案為：9215.“PVC”材質(zhì)交通路障因其便攜、耐用、易塑形等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于實際生活中．某廠家設(shè)計的一款實心交通路障模型如下圖所示，該幾何體的底部是一個正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一個圓臺，結(jié)合圖中所給的數(shù)據(jù)（單位：），則該幾何體的體積為____________．【答案】【解析】由圖可知，底部正四棱柱底面正方形的對角線長為，高為，所以正四棱柱的體積為，圓臺上底面的直徑為，下底面的直徑為，高為，所以圓臺的體積為，所以該幾何體的體積為.故答案為：16.已知成公比為2的等比數(shù)列，且．若成等比數(shù)列，則所有滿足條件的的和為____________．【答案】【解析】由已知得，由成等比數(shù)列，且成公比為2的等比數(shù)列，得，所以，所以，令，得到，恰好有兩個根，而滿足的的值有，滿足的的值之和為，故所有滿足條件的的和為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面積．解：（1）由，結(jié)合正弦定理，得，即，即，即，因為，所以，即．（2）因為，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．18.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，若對，都有，求的取值范圍．解：（1）由題知，，當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為；（2）由題意，原不等式等價于，即，當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，當(dāng)時，原不等式等價于，設(shè)，則，設(shè)，因為，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，即．綜上所述，的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，底面，，點在上，，過點作的垂線交于點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．證明：（1）因為平面平面，所以．又因為，且，所以平面，且平面，所以，而，且，平面，所以平面．解：（2）如圖，以為原點，方向分別為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，因為，則，令，可得，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角余弦值為．20.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為．問：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，取，得，即，由，得，即，解得，則．（2）由（1）得，故，即，則，兩式相減，得到，即．則，因為，，即，所以，故不存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.21.某次高三數(shù)學(xué)測試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個選項，有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，多選題每題四個選項，有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤選擇或不選擇得0分．（1）若小明對其中5道單選題完全沒有答題思路，只能隨機選擇一個選項作答，每題選到正確選項的概率均為，且每題的解答相互獨立，記小明在這5道單選題中答對的題數(shù)為隨機變量．（i）求；（ii）求使得取最大值時的整數(shù)；（2）若小明在解答最后一道多選題時，除發(fā)現(xiàn)A，C選項不能同時選擇外，沒有答題思路，只能隨機選擇若干選項作答．已知此題正確答案是兩選項與三選項的概率均為，問：小明應(yīng)如何作答才能使該題得分的期望最大（寫出小明得分的最大期望及作答方式）．解：（1）（i）因為，所以．（ii）因為．．令，解得，所以當(dāng)時，最大，此時．（2）由題知，選項不能同時選擇，故小明可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若小明做出的決策是單選，則:（分），（分），若小明做出的決策是雙選，則（分），（分）．若小明做出的決策是三選，則（分）．經(jīng)比較，小明選擇單選B或單選D得分期望最大，最大值為分.22.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，右焦點為，且過點．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，直線與雙曲線交于另一點，設(shè)直線的斜率分別為．（i）求證：為定值；（ii）求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的右焦點為，且過點，所以其中，解得雙曲線的方程為．證明：（2）（i）設(shè)直線的方程為，由得，因為直線與雙曲線的左、右支分別交于點，所以得，即．（ii）設(shè)直線的方程為，由得，，由，結(jié)合（i）可知，由，得，即，或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，舍去，當(dāng)時，直線方程為，過定點．浙江省寧波市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知集合，則，故選：C2.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，所以.故選：D.3.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量在向量方向上的投影向量是，可知，即，且可得，所以與夾角的余弦值為.故選：A.4.體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有（）A.24種 B.36種 C.72種 D.96種【答案】C【解析】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設(shè)的不同的排法共有種.故選：C.5.已知是奇函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，可知定義域關(guān)于原點對稱，由，可得，顯然，則且，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，解得,此時,且，即，符合題意，所以.故選：D.6.已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B正確；C選項，當(dāng)時，滿足，此時，C錯誤；D選項，，設(shè)，其中，則，因為，所以，故，顯然取不到最小值25，D錯誤.故選：B7.已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓的上頂點，線段的延長線交橢圓于點．若，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，所以，因為，則，因為，化簡得，即，可得，所以.故選：B.8.在平行四邊形中，已知，將沿翻折得四面體，作一平面分別與交于點，若四邊形是邊長為的正方形，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為正方形，則且又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，且由題意，所以均為各邊的中點，所以，且，故又由題，故①，如圖，分別取中點O，P，連接，由題意可知，故②，又，且都在面內(nèi)，所以面，又面，所以，故為等腰三角形，即，故由題意有，即四面體對棱相等，故可將四面體補形為長、寬、高分別為的長方體，如圖所示：則四面體的外接球即為長方體的外接球，且，所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.數(shù)字經(jīng)濟是繼農(nóng)業(yè)經(jīng)濟、工業(yè)經(jīng)濟之后的主要經(jīng)濟形態(tài)．近年來，在國家的大力推動下，我國數(shù)字經(jīng)濟規(guī)模增長迅猛，《“十四五”數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃》更是將數(shù)字經(jīng)濟上升到了國家戰(zhàn)略的層面．某地區(qū)2023年上半年月份與對應(yīng)數(shù)字經(jīng)濟的生產(chǎn)總值（即GDP）（單位：億元）如下表所示．月份123456生產(chǎn)總值303335384145根據(jù)上表可得到回歸方程，則（）A.B.與正相關(guān)C.若表示變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則D.若該地區(qū)對數(shù)字經(jīng)濟的相關(guān)政策保持不變，則該地區(qū)7月份的生產(chǎn)總值約為億元【答案】ABD【解析】對于A，，，所以，故A正確；對于B，因為，所以與正相關(guān)，故B正確；對于C，相關(guān)系數(shù)，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上既有極大值又有極小值D.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位【答案】AB【解析】由題意在函數(shù)的部分圖象上，所以，即，所以，再根據(jù)，即，結(jié)合圖象可得，所以，，對于A，由于為函數(shù)的最大值，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，當(dāng)時，，所以沒有極大值，故C錯誤；對于D，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位，故D錯誤.故選：AB.11.已知圓，拋物線的焦點為為拋物線上一點，則（）A.以點為直徑端點的圓與軸相切B.當(dāng)最小時，C.當(dāng)時，直線與圓相切D.當(dāng)時，以為圓心，線段長為半徑的圓與圓相交公共弦長為【答案】AD【解析】如圖，設(shè)，中點為，又，所以，由拋物線定義知，又到軸的距離為，所以選項A正確，對于選項B，因為，則，當(dāng)時，取到最小值，此時，所以選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)時，，，不妨取，則，直線，所以圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，所以，即直線與圓相離，所以選項C錯誤，對于選項D，當(dāng)時，，，不妨取，故以為圓心，線段長為半徑的圓為①，又圓②，由①②得兩圓的共公弦方程，到的距離為，故公共弦長為，所以選項D正確，故選：AD.12.已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則以下選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A:令，則令，則所以因為，所以，令，則，故選項A正確；對于選項B:結(jié)合選項A可得，所以或，若，則，所以，此時與矛盾，舍去；若，則，解得，因為，所以，故選項B錯誤；對于選項C:令則，因為，，所以，所以為偶函數(shù)，令則，所以，令，則，即，故選項C正確；對于選項D:由為偶函數(shù)，所以，令,則，令,則,所以，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題.13.的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）．【答案】40【解析】展開式的通項，令，得.所以的系數(shù)為.故答案：4014.某校元旦文藝匯演中，有八位評委對一舞蹈節(jié)目評分，該節(jié)目得分依次為，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為____________．【答案】92【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，即92.故答案為：9215.“PVC”材質(zhì)交通路障因其便攜、耐用、易塑形等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于實際生活中．某廠家設(shè)計的一款實心交通路障模型如下圖所示，該幾何體的底部是一個正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一個圓臺，結(jié)合圖中所給的數(shù)據(jù)（單位：），則該幾何體的體積為____________．【答案】【解析】由圖可知，底部正四棱柱底面正方形的對角線長為，高為，所以正四棱柱的體積為，圓臺上底面的直徑為，下底面的直徑為，高為，所以圓臺的體積為，所以該幾何體的體積為.故答案為：16.已知成公比為2的等比數(shù)列，且．若成等比數(shù)列，則所有滿足條件的的和為____________．【答案】【解析】由已知得，由成等比數(shù)列，且成公比為2的等比數(shù)列，得，所以，所以，令，得到，恰好有兩個根，而滿足的的值有，滿足的的值之和為，故所有滿足條件的的和為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面積．解：（1）由，結(jié)合正弦定理，得，即，即，即，因為，所以，即．（2）因為，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．18.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，若對，都有，求的取值范圍．解：（1）由題知，，當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為；（2）由題意，原不等式等價于，即，當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，當(dāng)時，原不等式等價于，設(shè)，則，設(shè)，因為，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，即．綜上所述，的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，底面，，點在上，，過點作的垂線交于點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．證明：（1）因為平面平面，所以．又因為，且，所以平面，且平面，所以，而，且，平面，所以平面．解：（2）如圖，以為原點，方向分別為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，因為，則，令，可得，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角余弦值為．20.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為．問：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，取，得，即，由，得，即，解得，則．（2）由（1）