2007年福建高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

第頁|共頁2007年福建高考理科數(shù)學(xué)真題及答案第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則等于（）A．1 B． C． D．3．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．對于向量和實數(shù)，下列命題中真命題是（）A．若，則或 B．若，則或C．若，則或 D．若，則5．已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于直線對稱6．以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）A． B．C． D．7．已知為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．B．C．D．9．把展開成關(guān)于的多項式，其各項系數(shù)和為，則等于（）A． B． C． D．210．頂點在同一球面上的正四棱柱中，，則兩點間的球面距離為（）A． B． C． D．11．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．12．如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．已知實數(shù)滿足則的取值范圍是________．14．已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為______．15．兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望．16．中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等．如果集合中元素之間的一個關(guān)系“”滿足以下三個條件：（1）自反性：對于任意，都有；（2）對稱性：對于，若，則有；（3）傳遞性：對于，若，，則有．則稱“”是集合的一個等價關(guān)系．例如：“數(shù)的相等”是等價關(guān)系，而“直線的平行”不是等價關(guān)系（自反性不成立）．請你再列出三個等價關(guān)系：______．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．18．（本小題滿分12分）ABCDABCD，為中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點到平面的距離．19．（本小題滿分12分）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件．（Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值．Oyx1Oyx1lF直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且．（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，，求的值；21．（本小題滿分12分）等差數(shù)列的前項和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項與前項和；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．參考答案一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算，每小題5分，滿分60分．1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B11．B 12．D二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．13． 14． 15．16．答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力，滿分12分．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），邊最大，即．又，角最小，邊為最小邊．由且，得．由得：．所以，最小邊．ABABCDOF解法一：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．為正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．，為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又，．所以二面角的大小為．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點到平面的距離為．由得，．點到平面的距離為．解法二：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．，，xzABCxzABCDOFy平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，，令得為平面的一個法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量， ． 點到平面的距離．19．本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，滿分12分．解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為： ．（Ⅱ） ． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側(cè)的值由正變負． 所以（1）當(dāng)即時， ．（2）當(dāng)即時，，所以答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．20．本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．PBQMFOAxy解法一：（PBQMFOAxy，化簡得．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：．設(shè)，，又，聯(lián)立方程組，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，，得．則：．…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，則有：．…………②由①②得：，即．21．本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等差數(shù)列的概念、通項公式與前項和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運算能力．滿分12分解：（Ⅰ）由已知得，， 故． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則． 即． ， ． 與矛盾． 所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)