2024-2025學(xué)年湖北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．22．如圖，斜二測(cè)畫法的直觀圖是，的面積為，那么的面積為（

）

A． B． C． D．3．在中，設(shè)，，若是線段中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．4．如圖，三個(gè)元件正常工作的概率均為，且是相互獨(dú)立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱為型曲線.給定下列三條曲線：①；②；③.其中，是型曲線的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．若某圓臺(tái)有內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺(tái)與其內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B．2 C． D．7．小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)是班級(jí)第十五名（每位同學(xué)測(cè)試的成績(jī)兩兩不同），且小明同學(xué)的成績(jī)恰好是該班成績(jī)的第60百分位數(shù)，則該班的人數(shù)可能為（

）A．36 B．41 C．46 D．518．正四面體中，，點(diǎn)滿足，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，則或B．若，則或C．若，則D．若，則10．有以下說法，其中錯(cuò)誤的是（

）A．互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥的事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件與事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小11．某四面體的棱中恰好有一條的長(zhǎng)度大于2，則此四面體的體積可能是（

）A． B． C．1 D．2三、填空題（本大題共3小題）12．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是．13．如圖，在梯形中，，且，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為.

14．已知圓和直線，折線，若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)；若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大?。?2)若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).16．在如圖所示的四棱錐中，底面是梯形，且面，為的中點(diǎn).(1)若，證明：平面；(2)已知，斜線和平面所成角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值.17．已知橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓上?下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）.證明直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出該值.18．某校藝術(shù)團(tuán)共有人，男生與女生的比例是.為了解藝術(shù)團(tuán)全體學(xué)生的身高，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取樣本量為的樣本，并觀測(cè)樣本身高數(shù)據(jù)（單位：）.已知男生樣本的身高平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：抽取次序身高記抽取的第個(gè)女生的身高為，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.(1)用女生樣本的身高頻率分布情況估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；(2)用總樣本的平均數(shù)和方差估計(jì)藝術(shù)團(tuán)總體身高的平均數(shù)和方差，求的值；(3)若女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱為偏離值，剔除偏離值后，計(jì)算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.（其中，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.）【參考數(shù)據(jù)：，，.】19．球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對(duì)于半徑為的球，過球面上一點(diǎn)作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點(diǎn)稱為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點(diǎn)，可以得到經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點(diǎn)稱為球面的頂點(diǎn)；三個(gè)球面角稱為球面的三個(gè)內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個(gè)大圓上的三點(diǎn).(1)球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請(qǐng)直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；(2)與二面角類比，我們稱從點(diǎn)出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn)，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個(gè)面角的余弦值分別為.①求球面的三個(gè)內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.

答案1．【正確答案】A【詳解】，故共軛復(fù)數(shù)為.故選：A．2．【正確答案】A【詳解】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以.故選：A.

3．【正確答案】D【詳解】.故選：D.4．【正確答案】C【詳解】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，則，電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個(gè)正常工作，、不發(fā)生故障即，至少有一個(gè)正常工作的概率，所以整個(gè)電路不發(fā)生故障的概率為.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】對(duì)于①，O0,0到直線的距離為，若直線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，如圖，可求解出兩解，所以曲線①是型曲線.對(duì)于②，化為，圖形是半圓（包括端點(diǎn)），則由O0,0為頂點(diǎn)的角兩邊能與半圓找到交點(diǎn)，故曲線②也是型曲線，對(duì)于③，過分別作傾斜角為和的直線交于兩點(diǎn)，則，同時(shí)過傾斜角為和的直線關(guān)于對(duì)稱，也關(guān)于對(duì)稱，所以曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，所以曲線③是型曲線.故選：D6．【正確答案】C【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點(diǎn)，可知，，由題意可知：母線與底面所成角為，則，可得，即，，可得，可知內(nèi)切球的半徑，可得，，所以.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)班級(jí)的人數(shù)為，由題意，解得.故選：A8．【正確答案】C【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：C9．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A正確；對(duì)于B，若，則或，故B正確；對(duì)于C，若，則平行或相交或異面，故C不正確；對(duì)于D，若，當(dāng)，則，故D不正確.故選：AB.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于AB，投一枚骰子，事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為2，事件表出的點(diǎn)數(shù)為3，則事件和互斥，但不是對(duì)立事件，互為對(duì)立的事件一定互斥，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)事件和互斥時(shí)，事件和事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率與和中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等，他們都等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，考慮投擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，樣本空間為，記事件，事件，則事件和同時(shí)發(fā)生的概率，和恰好有一個(gè)發(fā)生的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】設(shè)四面體，棱，而其余每條棱長(zhǎng)都小于等于2，設(shè)到底面的高為，在中，到的距離為，則.若是的高，則中有一條的長(zhǎng)度，（設(shè)的長(zhǎng)為）.于是，從而.類似的，在中，點(diǎn)到的距離小于等于，所以.所以，.故選：ABC.12．【正確答案】6【分析】先設(shè)出復(fù)數(shù)，由已知得出復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到的距離為1，再結(jié)合圖象即可求出的最大值.【詳解】設(shè)，則，則，即復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到的距離為1，又表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，結(jié)合圖像可知：最大值為原點(diǎn)到的距離加1，即.故6.13．【正確答案】【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，則，設(shè)，則（其中），，，

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最大值21.故．14．【正確答案】【詳解】由題意可知：圓可化為表示圓心為，半徑為的圓，故，若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得；法一，因?yàn)榕c均關(guān)于直線對(duì)稱，注意到與直線的交點(diǎn)為，若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于與在內(nèi)只有1個(gè)公共點(diǎn)，且不過，此時(shí)，聯(lián)立方程，消去得，即關(guān)于方程在僅有一解，且解不為2，則，或，或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.法二，因?yàn)榕c均關(guān)于直線對(duì)稱，注意到與直線的交點(diǎn)為，若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于與在內(nèi)只有1個(gè)公共點(diǎn)，且不過，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故①；②.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因?yàn)?，所以，因此，所以，所?（2）由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長(zhǎng)為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，可知，在中，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）由題意可知：平面，所以是斜線在平面上的射影，即為和平面所成的角，在中，，所以.又因?yàn)?，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為n1=則，即，可取設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。粡亩芍?，所以平面和平面的夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)證明見解析，定值為4【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與橢圓的交點(diǎn)不與重合，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，因?yàn)椋傻弥本€，直線，所以.即，解得，所以直線的交點(diǎn)在直線上.18．【正確答案】(1)(2)，(3)平均數(shù)為，方差為【詳解】（1）在女生樣本中，身高在的頻率，藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為人.（2）由題意知：男生樣本的身高平均數(shù)為，方差為，女生樣本的身高平均數(shù)為，方差，則總樣本的平均數(shù)為，方差為，，.（3）由題意知：，由樣本數(shù)據(jù)可知：，為偏離值，剔除后，女生樣本的身高平均數(shù)為，由得：，則剔除后，女生樣本的身高的方差為.19．【正確答案】(1)(2)①，，；②【詳解】（1）（1）由可知在兩個(gè)互相垂直（即交點(diǎn)處切線垂直）的大圓上，從而，故，設(shè)，則，從而，注意到到直線的距離均為，故，所以由知，所以，即，這得到，從而，又在兩個(gè)互相垂直的大圓上，故，從而兩兩垂直，從而由在平面內(nèi)交于點(diǎn)，可知垂直于平面，而在平面和平面內(nèi)，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三個(gè)平面兩兩垂直，故由球面角的定義知，所以球面的內(nèi)角和是.（2）①由已知條件，可設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，不妨設(shè)，設(shè)，則由可知；；，故，不妨設(shè)，則，所以有，設(shè)