2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.4 C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.24.已知向量，，其中，若，則（）A.40 B.48 C. D.625.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，則的最大值為（）A. B. C. D.6.若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7.已知a，且，，，則（）A. B. C. D.8.已知當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知且，則（）A. B. C.2 D.10.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，下列結(jié)論正確的有（）A. B.是偶函數(shù)C. D.若，則11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.的定義域為 B.有解C.不存在極值點 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程為______.13.數(shù)列共有5項，前三項成等比數(shù)列，公比為q.后三項成等差數(shù)列，公差為d，且若第5項為1，第2項與第4項的和為18，第1項與第3項的和為35，則____________.14.在中，若，，三點分別在邊，，上（均不在端點上），則，，的外接圓交于一點O，稱為密克點.在梯形ABCD中，，，M為CD的中點，動點P在BC邊上（不包含端點），與的外接圓交于點Q（異于點P），則BQ的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知單位向量，滿足．（1）求； （2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）定義三階行列式運算：，其中（i，）.關(guān)于x的不等式的解集為M.（1）求M；（2）已知函數(shù)在實數(shù)集單調(diào)遞增，求a的取值范圍.17．（15分）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，和均在函數(shù)的圖象上，且Q是圖象上的最低點．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．18.（15分）已知數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.19.（17分）已知函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.高三期中考試題數(shù)學(xué)答案1.D由，可得.故選D.2.C由可得，則；，故，則.故選C.3.C由題意得.故選C項.4.D因為，，且，故，解得或（舍去），經(jīng)檢驗當(dāng)時，，故.故選D.5.B由題意可得，由余弦定理可得，，，.故選B.6..B因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，，又，在上單調(diào)遞增，所以.故選B項.7.D由題意可得，解得.故選D.8.A由對恒成立，令，則，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.令，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選A.9.BCD由且，得，解得，同理得，故A項錯誤，B項正確；對于C項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等，故C項正確；對于D項，，故D項正確.故選BCD項.10.BCD設(shè)冪函數(shù)，由，得，所以，所以無意義，故A項錯誤；，所以是偶函數(shù)，故B項正確；由，得，故C項正確；因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以由，得，即且解得且，故D項正確.故選BCD項.11.ACD對于A選項，由函數(shù)的定義知的定義域為，故A正確.對于B選項，令，則，即，判別式，無實數(shù)解，故B錯誤.對于C選項，，可知，設(shè)函數(shù)，可知，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上，則的圖象為的圖象向左平移一個單位長度，易得兩者無交點，則無零點，即不存在極值點，故C正確.對于D選項，方法一：由的單調(diào)性可知，D正確.方法二：作差有，且，故，D正確.故選ACD.12.，故時，，故曲線在點處的切線方程為.13.5由題意得該數(shù)列的項可設(shè)為，，，，1，又即從而，即，即，解得所以.14.如圖，延長BA，CD交于點E，則為正三角形.由題設(shè)結(jié)論，，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點Q，故點Q在的外接圓上.由題意得，，則是直角三角形，故其外接圓半徑.在中，由余弦定理可知，，當(dāng)Q在線段BD上，且時，BQ取得最小值.15.解：（1）．……6分（2）在上的投影向量為．……13分16．（15分）解：（1）， （3分）所以，所以原不等式的解集. （6分）（2）由（1）知，所以 （7分）在實數(shù)集上單調(diào)遞增，，又因為當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時，，解得 （10分）綜上，a的取值范圍是.17.解：（1）由題得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即單調(diào)遞增區(qū)間為，．……9分（2）由，即，又，則，故，．……15分18.解：（1）由題意得， （2分）所以. （3分）由，得當(dāng)時，， （5分）所以，即. （6分）又當(dāng)時，也符合，所以. （7分）（2）設(shè)，則， （8分） （9分）兩式作差得， （10分）即， （12分）所以.19.（17分）已知函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.解：（1）由，得， （2分）所以，所以， （4分）所以，所以. （5分） （2）由（1）可得， （6分）， （7分）當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，（8分）所以的最小值. （9分）的最大值， （10分），（11分）這時的取值范圍為.（12分）當(dāng)時，，，在區(qū)間上，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，（13分）所以的最小值. （14分）的最大值， （15分），這時的取值范圍為.（16分）綜上所述，當(dāng)時，取值范圍為；當(dāng)時，取值范圍為.（17分）變式：已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.解：（1）由，得， （2分）所以，所以， （4分）所以，所以. （5分）所以在處的切線方程為 （6分）化為.（7分）（2）由（1）可得， （8分）所以，，兩零點為（9分）-+單調(diào)遞減單調(diào)遞增（11分） 因為，（12分）所以時，，（13分）