第2章平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜頻域特征

第2章平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜分析

1/9/20251本章要解決的問(wèn)題

隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?

傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？

相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系

功率譜的應(yīng)用

采樣定理

白噪聲的定義1/9/202522.1隨機(jī)信號(hào)的譜分析

一、預(yù)備知識(shí)1.付氏變換設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)

滿足在范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件

絕對(duì)可積，即

信號(hào)的總能量有限，即有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限值1/9/20253則的傅里葉變換為：

其反變換為：

稱為的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。包含：振幅譜相位譜1/9/20254常見(jiàn)的傅立葉變換1/9/202552.帕塞瓦等式即能量譜密度1/9/20256二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度

應(yīng)用截取函數(shù)

1/9/20257當(dāng)x(t)為有限值時(shí)，的傅里葉變換存在

應(yīng)用帕塞瓦等式

除以2T取集合平均1/9/20258令，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序

功率Q

非負(fù)存在（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量（2）為確定性實(shí)函數(shù)。注意：1/9/20259兩個(gè)結(jié)論：

1表示時(shí)間平均

若平穩(wěn)21/9/202510例1：設(shè)隨機(jī)信號(hào)，其中皆是實(shí)常數(shù)，是服從上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)信號(hào)的平均功率。

解：不是寬平穩(wěn)的1/9/2025111/9/202512功率譜密度：描述了隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率在各個(gè)不同頻率上的分布——稱為隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜密度。

對(duì)在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，有：

1/9/202513三、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系

確定信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。

1.維納—辛欽定理

若隨機(jī)信號(hào)X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)R(τ)以及τ

R(τ)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：1/9/2025142.證明：

我們?cè)试S自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度中存在δ函數(shù)1/9/202515設(shè)則所以：1/9/202516則

(注意絕對(duì)可積，第二項(xiàng)為0)

1/9/202517推論：對(duì)于一般的隨機(jī)信號(hào)X(t)，有：

平均功率為：

利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納—辛欽定理表示成：

1/9/2025183．單邊功率譜

由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。

1/9/202519X(t)變換的功率譜密度1/9/202520例2：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為，A>0，，求過(guò)程的功率譜密度。

解：應(yīng)將積分按＋和－分成兩部分進(jìn)行

1/9/202521例3：設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)信號(hào)其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位，在均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個(gè)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度。1/9/202522解：注意此時(shí)不是有限值，即不可積，因此的付氏變換不存在，需要引入函數(shù)。1/9/202523例4：設(shè)隨機(jī)信號(hào)，其中皆為常數(shù)，為具有功率譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。求過(guò)程的功率譜密度。

解：

1/9/202524例5：設(shè)隨機(jī)信號(hào)，其中是概率密度為的隨機(jī)變量，a和φ為實(shí)常數(shù)，求X(t)的功率譜密度。

1/9/202525四、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜密度的性質(zhì)

1.功率譜密度為非負(fù)的,即

證明：2.功率譜密度是的實(shí)函數(shù)

1/9/2025263.

對(duì)于實(shí)隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，功率譜密度是的偶函數(shù)，即證明：是實(shí)函數(shù)又1/9/2025274.

功率譜密度可積，即

證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，有：

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的均方值有限1/9/2025282.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的互譜密度一、互譜密度考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)信號(hào)X(t)、Y(t)，它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截取函數(shù)、為：1/9/202529因?yàn)?、都滿足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍(-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率為:（注意、為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）

由于、的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:1/9/202530注意到上式中，和是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令得：

1/9/202531

定義互功率譜密度為：則1/9/202532同理，有：且1/9/202533二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)信號(hào)，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。1/9/202534三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：證明：

（令）1/9/202535性質(zhì)2：

證明：

同理可證1/9/202536性質(zhì)3：

證明：類似性質(zhì)2證明。性質(zhì)4：

若X(t)與Y(t)正交，則有

證明：若X(t)與Y(t)正交，則所以1/9/202537性質(zhì)5：

若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，則

證明：

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）1/9/202538例6：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:

求互譜密度，。性質(zhì)6：

1/9/202539解：

1/9/2025402.3離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度一、離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度1.平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，或簡(jiǎn)稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為:簡(jiǎn)寫(xiě)為：

1/9/2025412.平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度

當(dāng)滿足條件式時(shí)，我們定義的功率譜密度為的離散傅里葉變換，并記為

是頻率為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為

奈奎斯特頻率

1/9/202542因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，周期為，

在時(shí)1/9/202543

在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即

式中式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。

性質(zhì)

1/9/202544例7：設(shè)，求和解：將z=代人上式，即可求得1/9/202545其中，T為采樣周期，

為在時(shí)對(duì)的采樣。設(shè)為一確知、連續(xù)、限帶、實(shí)信號(hào)，其頻帶范圍，當(dāng)采樣周期T等于時(shí)，可將展開(kāi)為二確定性信號(hào)的采樣定理1/9/202546連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)離散時(shí)間確知信號(hào)采樣香農(nóng)采樣定理1/9/202547連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)

FTDFT

1/9/202548連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

采樣三平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的采樣定理1/9/202549若為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，具有零均值，其功率譜密度為

，則當(dāng)滿足條件時(shí)，可將按它的振幅采樣展開(kāi)為1/9/202550第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=0證明思路：1/9/202551連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)采樣=自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT

1/9/202552

若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，對(duì)采樣后所得離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，則有

三、功率譜密度的采樣定理1/9/202553證明:(1)

根據(jù)定義===由可見(jiàn)，，即樣可得==(2)進(jìn)行等間隔的采對(duì)1/9/202554連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)采樣自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的采樣定理功率譜密度的采樣定理1/9/2025552.4白噪聲一、理想白噪聲定義：若N(t)為一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其功率譜密度均勻分布在

的整個(gè)頻率區(qū)間，即

其中為一正實(shí)常數(shù)，則稱N(t)為白噪聲過(guò)程或簡(jiǎn)稱為白噪聲。1/9/202556自相關(guān)函數(shù)為

自相關(guān)系數(shù)為

1/9/202557總結(jié)：（1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。（2）白噪聲的均方值為無(wú)限大而物理上存在的隨機(jī)信號(hào)，其均方值總是有限的。（3）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡(jiǎn)單、方便等優(yōu)點(diǎn)。1/9/202558二、限帶白噪聲1．低通型定義：若過(guò)程的功率譜密度滿足

則稱此過(guò)程為低通型限帶白噪聲。將白噪聲通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，便可產(chǎn)生出低通型限帶白噪聲。1/9/202559低通型限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為1/9/202560圖3.11示出了低通型限帶白噪聲的和的圖形，注意，時(shí)間間隔為整數(shù)倍的那些隨機(jī)變量，彼此是不相關(guān)的（均值為0，相關(guān)函數(shù)值為0）。1/9/2025612.帶通型帶通型限帶白噪聲的功率譜密度為

由維納—辛欽定理，得到相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為

1/9/202562

帶通型限帶白噪聲的和的圖形

1/9/202563三、色噪聲按功率譜度函數(shù)形式來(lái)區(qū)別隨機(jī)信號(hào)，我們將把除了白噪聲以外的所有噪聲都稱為有色噪聲或