高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(配北師版)第3章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-第2節(jié)-第1課時(shí)-利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第三章第二節(jié)2023內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.4.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.不含參函數(shù)的單調(diào)性2.含參函數(shù)的單調(diào)性3.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)4.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用5.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值6.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值7.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1.數(shù)學(xué)運(yùn)算2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)導(dǎo)數(shù)到單調(diào)性條件恒有結(jié)論函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)f'(x)>0函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上

f'(x)<0函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上

f'(x)=0函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是

微點(diǎn)撥討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式,求解時(shí),要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.是增加的

是減少的常數(shù)函數(shù)

(2)單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)

必須是“≥”或“≤”,不能漏掉“=”①可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a,b]上是增加的,則有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.②可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a,b]上是減少的,則有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.微點(diǎn)撥若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性,則f'(x)在該區(qū)間上不變號(hào).微思考“f'(x)>0在(a,b)內(nèi)恒成立”是“f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是遞增的”的什么條件?常用結(jié)論可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是遞增(減)的的充要條件是任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.提示:充分不必要條件.“f'(x)>0在(a,b)內(nèi)恒成立”,則“f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是增加的”;反過(guò)來(lái),若“f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是增加的”,需“f'(x)≥0在(a,b)內(nèi)恒成立”.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一不含參函數(shù)的單調(diào)性典例突破例1.(1)已知函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)(

)A.在(0,+∞)上是遞增的B.在(0,+∞)上是遞減的(2)若冪函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn),則函數(shù)g(x)=exf(x)的遞減區(qū)間為

.

答案:(1)D

(2)(-2,0)

解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xln

x的定義域?yàn)?0,+∞),所以f'(x)=ln

x+1(x>0),所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,則g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g'(x)<0,得-2<x<0,故函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為(-2,0).突破技巧利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3種方法

導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出單調(diào)區(qū)間方程f'(x)=0可解時(shí)解出方程的實(shí)根,按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間,確定各區(qū)間f'(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解時(shí)根據(jù)f'(x)的結(jié)構(gòu)特征,利用其圖像與性質(zhì)確定f'(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2021河南鄭州三模)函數(shù)f(x)=

的遞增區(qū)間是

;遞減區(qū)間是

.

答案:(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z

(2kπ,π+2kπ),k∈Z

令f'(x)>0,則2sin

x<0,解得π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z,令f'(x)<0,則2sin

x>0,得2kπ<x<π+2kπ,k∈Z,所以f(x)的遞增區(qū)間是(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z,遞減區(qū)間是(2kπ,π+2kπ),k∈Z.考點(diǎn)二含參的函數(shù)的單調(diào)性典例突破例2.(2021山東歷城二中月考)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a為常數(shù)).(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.突破技巧對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,常見(jiàn)的分類(lèi)討論點(diǎn)按討論的先后順序有以下三個(gè):1.求導(dǎo)后,考慮f'(x)=0是否有實(shí)數(shù)根,從而引起分類(lèi)討論;2.求導(dǎo)后,f'(x)=0有實(shí)數(shù)根,但不清楚f'(x)=0的實(shí)數(shù)根是否落在定義域內(nèi),從而引起分類(lèi)討論;3.求導(dǎo)后,f'(x)=0有實(shí)數(shù)根,f'(x)=0的實(shí)數(shù)根也落在定義域內(nèi),但不清楚這些實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系,從而引起分類(lèi)討論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=-x+alnx,討論f(x)的單調(diào)性.考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典例突破例3.若函數(shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,4]上是遞減的,則a的取值范圍為

.

變式引申1若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上是遞增的”,則a的取值范圍為

.

答案:(-∞,-1]

解析:因?yàn)閔(x)在[1,4]上是遞增的,

所以當(dāng)x∈[1,4]時(shí),h'(x)≥0恒成立,所以a≤-1,即a的取值范圍是(-∞,-1].變式引申3若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上不單調(diào)”,則a的取值范圍為

.

答案:(-1,0)∪(0,+∞)

解析:因?yàn)閔(x)在[1,4]上存在遞減區(qū)間,所以h'(x)<0在[1,4]上有解,所以a>-1.又因?yàn)閍≠0,所以a的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞).

變式引申3若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上不單調(diào)”,則a的取值范圍為

.

突破技巧利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題的處理方法(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在遞增(減)區(qū)間.方法一:轉(zhuǎn)化為“f'(x)>0(<0)在區(qū)間D上有解”;方法二:轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間D的一個(gè)子區(qū)間使f'(x)>0(或f'(x)<0)成立”.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是遞增(減)的.方法一:轉(zhuǎn)化為“f'(x)≥0(≤0)在區(qū)間D上恒成立”;方法二:轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”.A.[2,5] B.(-∞,5)C.(3,5) D.(1,2]答案:(1)C

(2)A

(2)∵函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),∴當(dāng)x<1時(shí),有a>1;令g(x)=2x3+ax-4,x∈[1,+∞),則g'(x)=6x2+a,∵a>0,∴g'(x)>0,即g(x)在[1,+∞)上是遞增的,∴g(x)≥g(1)=2+a-4=a-2,要使當(dāng)x≥1時(shí)f'(x)≥0恒成立,則a-2≥0,解得a≥2.∵函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用(多考向探究)考向1.比較大小典例突破A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a答案:D

解析:因?yàn)閘og32=log278,log53=log259,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知log278<log259,所以log32<log53,且0<log32<log53<1.則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)內(nèi)是遞增的;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上是遞減的.因?yàn)?<log32<log53<1,所以f(log32)<f(log53)<f(1),即c>b>a.突破技巧利用導(dǎo)數(shù)比較大小,其關(guān)鍵在于利用題目條件中的函數(shù)或者構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題.A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a答案:C

考向2.解不等式典例突破例5.(2021山東濰坊一中高三月考)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),滿足f'(x)<f(x),且f(0)=,則不等式f(x)-ex<0的解集為

.

答案:(0,+∞)

解題心得1.類(lèi)似于比較大小,解不等式問(wèn)題也利用題目條件或構(gòu)造輔助函數(shù),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,要充分挖掘題目中條件關(guān)系,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù).題目中若存在f(x)與f'(x)的關(guān)系時(shí),常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù),與題設(shè)形成解題鏈條,利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性,從而求解不等式.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2021云南昆明一中模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x+sinx,若f(t)+f(1-3t)

<0,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

)答案:A

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-e-x+sin

x的定義域?yàn)镽,f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=e-x