湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集U={1,2,3,A．{3} B．{2,4} C．{2,2．若復(fù)數(shù)z滿足1?zz?3=i,A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若函數(shù)f(x)=3cos(2x+φ?π3)(0<φ<πA．π6 B．π3 C．2π34．已知a=3A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b5．某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)荻勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（）A．29 B．25 C．8156．如圖，平面四邊形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD=22,AD=1.若A,B是橢圓C1和雙曲線C2的兩個(gè)公共焦點(diǎn)，CA．2 B．3 C．2 D．37．如圖，在△ABC中，BC=2AB=4,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為A．12 B．1 C．32 8．已知直線l1:y=tx+5(t∈R)與直線l2:x+ty?t+4=0(t∈R)相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)A．[?2B．[?2C．[?2D．[?2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（）A．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增B．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增C．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大D．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為21180元10．已知f(x)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，f(x?1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且函數(shù)y=1x?2的圖象的對(duì)稱中心也是A．點(diǎn)(?2,0)是B．f(x)為周期函數(shù)，且4是f(x)的一個(gè)周期C．f(4?x)為偶函數(shù)D．f(31)+f(35)=211．如圖，在正四面體P?ABC中，AB=18,D,E,F分別為側(cè)棱PA,PB,PC上的點(diǎn)，且AD=BE=CF=1A．AG⊥PBB．五面體ABC?DEF的體積為342C．點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為6πD．AQ與平面PBC所成角的正切值為6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓錐SO1的軸截面SAB為正三角形，球O2與圓錐SO1的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐SO1的體積?表面積分別為V113．已知角α,β滿足β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z)14．已知a,b為實(shí)數(shù)，若不等式|2ax2+(4a+b)x+4a+b|?2|x+1|對(duì)任意x∈[?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+12x?32x+1,（1）求a的值；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值16．如圖1，Rt△QDC中，∠D=90°,A,B分別是線段QD,QC上的動(dòng)點(diǎn)，且QAAD=QBBC=λ(λ>0)，將（1）證明：λ=1；（2）若PA⊥AD,AP=12DC=2,M為線段CD上一點(diǎn)，若平面PBM與平面PCD17．除夕吃年夜飯（又稱為團(tuán)圓飯）是中國(guó)人的傳統(tǒng)，年夜飯也是闔家歡聚的盛宴.設(shè)一家n(n?3)個(gè)人圍坐在圓形餐桌前，每個(gè)人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜，每人每次只能從中夾一道菜.（1）當(dāng)n=4時(shí)，若每人都隨機(jī)夾了一道菜，且每道菜最多被夾一次，計(jì)算每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機(jī)夾取一道菜，每個(gè)人都各夾過一次菜后，記被夾取過的菜數(shù)為Xn，求滿足E(Xn注：若Xi(i=1,18．如圖，過點(diǎn)D(1,3)的動(dòng)直線l交拋物線C（1）若OD⊥AB,OA⊥OB，求（2）當(dāng)直線l變動(dòng)時(shí)，若l不過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過點(diǎn)A,B分別作（1）中C的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)M，問：是否存在唯一的直線l，使得19．已知由m(m?3)個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組A:(a1,（1）設(shè)有序數(shù)組P:(2,（2）若有序數(shù)組R:(1,

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】全集U={1,2,3,4,所以(?故選：B【分析】本題考查集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算.先根據(jù)集合補(bǔ)集的定義求出?U2．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)??zz?3=i，所以所以z的共軛復(fù)數(shù)z=2?i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(2故選：D【分析】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義.先根據(jù)已知條件變形可得：z=1+3i1+i，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算分子和分母同時(shí)乘以1+i化簡(jiǎn)后可求出復(fù)數(shù)z，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可求出3．【答案】B【解析】【解答】依題意，函數(shù)f(x)即φ=π3+kπ,k∈Z故選：B【分析】本題考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)給定條件，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可列出方程φ?π3=kπ4．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閍=30.4>所以a>1>b>0，又c=log所以a>b>c.故選：A【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較可得：a>1，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得：b=0.43，c=log35．【答案】D【解析】【解答】依題意，記選“初心”隊(duì)為事件A，選“使命”隊(duì)為事件B，該單位獲勝為事件M，則P(因此P(所以選“使命”隊(duì)參加比賽的概率P(故選：D【分析】本題考查全概率的計(jì)算公式和條件概率的計(jì)算公式.先利用全概率的計(jì)算公式可求出P(M)6．【答案】C【解析】【解答】依題意，由對(duì)稱性知，四邊形ABCD是等腰梯形，過D作DE⊥AB于E，連接BD如圖所示：則|AE|=在Rt△BDE中，|BD所以C1與C2的離心率之積為故選：C【分析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).先根據(jù)對(duì)稱性判定梯形的形狀，再借助圖形性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可求出|AE|，|DE7．【答案】B【解析】【解答】過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，令∠FAB=θ，由AF=BF，得AG=1|AF|=|AG|cosθ=所以AF?故選：B【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積.過點(diǎn)F作FG⊥AB，令∠FAB=θ，先利用余弦的定義可求出|AF→|=1cosθ8．【答案】D【解析】【解答】直線l1:y=tx+5過定點(diǎn)A(0,5因此點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以線段AB為直徑的圓（除點(diǎn)(圓C的方程為(x+2)2+(y?3)2=8(x≠0則點(diǎn)P在圓Q：(x?a)2+(于是22?1≤|解得?22?3≤a≤?22所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[?22故選：D【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.根據(jù)給定條件，可知求出點(diǎn)P的軌跡和點(diǎn)Q的軌跡方程，通過分析可知圓C與圓Q有公共點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系可列出不等式22?1≤|9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；B，由題中折線圖知，2018～2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯(cuò)誤；C，2018～2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為39428?29599=9829元，人均消費(fèi)支出的極差為24315?19014=5301元，C正確；D，2018～2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為20379+219812故選：ACD【分析】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用.觀察圖形可知人均可支配收入折線逐漸上升，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；觀察圖形可知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出折線先上升后下降，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)通過計(jì)算前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差和人均消費(fèi)支出的極差可判斷C選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義求出中位數(shù)可判斷D選項(xiàng)；10．【答案】A,C【解析】【解答】由f(x?1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得函數(shù)f(x)關(guān)于顯然函數(shù)y=1x圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，則函數(shù)y=1x?2的圖象的對(duì)稱中心為A，f(?2+x)+f(B，由f(2+x)+f(f(x+8)若4是f(x)的一個(gè)周期，則f(x+4C，f(4?x)D，由f(2+x)則f(故選：AC【分析】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性.利用平移變換分析可知：f(x)為偶函數(shù)，對(duì)稱中心為(2,0)，即f(2+x)+f11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A，取BC的中點(diǎn)H，連接PH,AH，依題意，G是正△PBC的重心，則點(diǎn)G在由PH⊥BC,AH⊥BC,PH∩AH=H,PH,而AG?平面PAH，則BC⊥AG，又AH=PH=32BC=9cos∠APH=12PAPH顯然AG2+PG2=324=PA則AG⊥平面PBC，又PB?平面PBC，所以AG⊥PB，A正確；B，由選項(xiàng)A知，正四面體的高h(yuǎn)=AG=66，由已知DEDE?平面ABC,AB?平面ABC，則DE//平面ABC，同理EF又DE∩EF=E,DE,EF?平面DEF，于是平面四面體PDEF為正四面體，高為23h，S△DEFVABC?DEFC，由選項(xiàng)A知，AG⊥GQ，則GQ=AQ2以線段EF為直徑的半圓交BC于M,N，點(diǎn)Q的軌跡是此半圓在四邊形EBCF及內(nèi)部的弧EM和弧顯然H是MN的中點(diǎn)，而GH=13PH=33，點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2π3D，由選項(xiàng)C知，∠AQG是AQ與平面PBC所成角，tan∠AQG=故選：ABD【分析】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算公式，弧長(zhǎng)公式，直線與平面所成的角.先利用重心的性質(zhì)證明BC⊥平面PAH，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可證明AG?平面PAH，根據(jù)勾股定理可證明AG⊥PH，進(jìn)而證明AG⊥平面PBC，利用直線與平面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用分割法可得五面體ABC?DEF的體積：VABC?DEF=VPABC?VPDEF=VPABC?12．【答案】1【解析】【解答】依題意，設(shè)正△SAB的邊長(zhǎng)為2，則圓錐SO1的底面圓半徑為1，高為因此V1=1球O2半徑即為正△SAB的邊心距33，因此V2所以V1故答案為：1【分析】本題考查球的體積公式和表面積公式，圓錐的體積和表面積公式.設(shè)正△SAB的邊長(zhǎng)為2，先求出圓錐底面圓半徑、高、母線，利用圓錐的體積公式和表面積公式可求出V1,S1；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得球O2半徑即為正△SAB13．【答案】0【解析】【解答】由已知得[tan(α+β)?tanα]cosβ=sinβ，顯然cosβ≠0則tan(α+β)?tanα=tanβ，即于是tan(α+β)tanαtanβ=0因此tanα=0，所以sin故答案為：0【分析】本題考查兩角和的正切公式.對(duì)題目等式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)可得：tan(α+β)?tanα=tanβ，利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得tan(α+β)tanα14．【答案】6【解析】【解答】因?yàn)閤∈[?14,則不等式|2ax2+(4a+b)x+4a+b|≤2|x+1|等價(jià)于|2a(x+1)+2ax+1+b|≤2，令t=x+1從而|2at+2at+b|≤2，令f(t)=2at+因?yàn)閨f(t)|≤2，即?2≤f(t)≤2，所以?2≤4a+b≤2?2≤5a+b≤2令3a+b=m(4a+b)+n(5a+b)，則3=4m+5n1=m+n，解得m=2所以3a+b=2(4a+b)?(5a+b)≤2×2?(?2)=6，當(dāng)且僅當(dāng)4a+b=25a+b=?2即a=?4故3a+b的最大值是6.故答案為：6【分析】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì).先對(duì)不等式等價(jià)變換為|2a(x+1)+2ax+1+b|≤2，令t=x+1得|2at+2at+b|≤2，構(gòu)造函數(shù)15．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=alnx+12x?由題意得f'(2)=?5解得a=2.經(jīng)檢驗(yàn)，a=2符合題意.所以a=2.（2）解：由（1）可知，f(x)=2lnx+12x?f'令f'(x)=0，解得當(dāng)0<x<13時(shí)，f(x)<0；當(dāng)13<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)所以f(x)在區(qū)間(0,13)和所以f(x)的極大值為f(1)=0,f(x)的極小值為綜上所述，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,13),【解析】【分析】本題考查曲線的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值.（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，根據(jù)兩條直線平行的斜率轉(zhuǎn)化可得方程a（2）先求出定義域，由（1）的結(jié)論可知導(dǎo)函數(shù)為：f'(x)=?(3x?1)(x?1)16．【答案】（1）證明：如圖，取PC中點(diǎn)F，連接EF,因?yàn)镋,F分別為線段PD,PC的中點(diǎn)，所以所以EF∥CD，且CD=2EF.又因?yàn)镼AAD=QB所以EF∥AB，所以A,又因?yàn)锳E∥平面PBC,AE?平面ABFE，且平面ABFE∩平面所以AE∥BF，所以四邊形ABFE為平行四邊形，所以AB=EF=12CD（2）解：因?yàn)镻A⊥AD，所以AB=λ由（1）易得AB⊥AD,AB⊥PA，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,因?yàn)镸是線段CD上一點(diǎn)，所以可設(shè)M(2,所以BM=(2PB=(0設(shè)平面PCD的法向量為m=(則m?CD令x1=1，得平面PCD的一個(gè)法向量為設(shè)平面PBM的法向量為n=(x2,令z2=?2，得平面PBM的一個(gè)法向量為依題意得|cos?m→,n→所以n→設(shè)直線PC與平面PBM所成的角為θ，則sinθ=|cos?PC所以直線PC與平面PBM所成角的正弦值為66【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，利用空間向量求直線與平面所成的角.（1）取PC中點(diǎn)F，利用三角形的中位線定理可證明EF∥CD，且CD=2EF，再根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)可證明AE∥BF，據(jù)此證明四邊形ABFE是平行四邊形，據(jù)此推出AB=EF=1（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M(2,m,0)(0?m?4)，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，求出平面PCD的法向量和平面PBM的法向量，利用空間向量的夾角計(jì)算公式可求出m的值，再利用空間向量的夾角計(jì)算公式可求出直線17．【答案】（1）解：當(dāng)n=4時(shí)，滿足條件的樣本點(diǎn)總數(shù)為A5記“每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”為事件A，則事件A的結(jié)果數(shù)是4個(gè)元素的全錯(cuò)位排列，記A4可以分步計(jì)算A4第一步，讓1來先夾菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3種選擇；第二步，若他選擇了k(2?k?4)面前的菜，則讓k來夾，對(duì)于k，可以分兩類，若k選1面前的菜，則其余2人只有1種選擇；若k不選1面前的菜，可有2種選擇，而余下的2人只有1種選擇，所以事件A含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3×(1+2)=9，所以P(A)=9（2）解：方法一：將n+1道菜編號(hào)，餐桌正中央的菜編號(hào)為0，其余菜編號(hào)為1,Yi則P(Y所以E(Y因?yàn)楫?dāng)i=1,2,所以E(Y由題意有Xn所以E(X因?yàn)镋(X故數(shù)列{E(X又E(X9)=方法二：由題意得Xn的可能取值為1Xn=1表示n個(gè)人都夾取餐桌正中央的菜，Xn=2表示n個(gè)人中有1個(gè)人夾取他面前的菜，其余n?1個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，Xn=3表示n個(gè)人中有2個(gè)人夾取他面前的菜，其余n?2個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，Xn=n?1表示n個(gè)人中有n?2個(gè)人夾取了他面前的菜，其余2個(gè)人都夾取餐桌正中央的菜，Xn=n表示n個(gè)人中有n?1個(gè)人夾取他面前的菜，剩余1個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，或者n個(gè)人都夾取他面前的菜所以E(C令Sn則Sn兩式相加得2=2+2n+(n+2)(所以Sn所以E(X設(shè)an則an+1所以數(shù)列{a因?yàn)閍8所以n的最小值為9.【解析】【分析】本題考查古典型概率的計(jì)算公式，二項(xiàng)分布的應(yīng)用.（1）n=4時(shí)，先求出樣本空間Ω包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用分布計(jì)數(shù)原理分兩步求出所求事件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，即4個(gè)元素的全錯(cuò)位排列數(shù)，最后利用古典概型概率公式可求出概率；（2）引入隨機(jī)變量Yi=1,第i道菜未被夾0，第i道菜被夾，i=0,1,2,?,n,則X18．【答案】（1）解：因?yàn)镺D⊥AB，直線OD的方程為y=3所以直線AB的方程為y?3=?3由x+3y=4,y2設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A?解得p=2.所以C的方程為y2（2）解：由（1）知拋物線C的方程為y2設(shè)直線l的方程為x?1=m(y?3由x?1=m(y?3),y2由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1拋物線C在點(diǎn)A(y12拋物線C在點(diǎn)B(y22①-②得(y因?yàn)閥1≠y2，所以yM即M(3m?1,2m)若存在直線l，使得∠AMD=∠BMD，則tan∠AMD=tan∠BMD.設(shè)直線MA,MD,MB的傾斜角分別為由∠AMD=∠BMD，得α?β=π?γ+β或α+(π?β)=β?γ，兩邊取正切，總有tan(α?β)=tan(β?γ)，由兩角差的正切公式