【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修一導(dǎo)學(xué)案：《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用》

第9課時(shí)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用1.能嫻熟地對(duì)二次函數(shù)解析式配方,爭(zhēng)辯其定義域、值域、單調(diào)性、最值等.2.把握二次函數(shù)的性質(zhì),并會(huì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯.3.進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用.在上節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的解析式以及a打算開(kāi)口方向和開(kāi)口大小等性質(zhì),對(duì)于圖像,我們知道了描點(diǎn)法和圖像變換法,這節(jié)課我們來(lái)進(jìn)一步爭(zhēng)辯二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),結(jié)合二次函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法解有關(guān)二次函數(shù)的最值問(wèn)題,是本節(jié)學(xué)問(wèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.問(wèn)題1:將二次函數(shù)的一般式f(x)=ax2+bx+c配為頂點(diǎn)式:,所以對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

問(wèn)題2:對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c.當(dāng)a>0時(shí),它的圖像開(kāi)口向上,f(x)在上是單調(diào)遞減的,在上是單調(diào)遞增的;當(dāng)x=-b2a時(shí),函數(shù)取得最小值當(dāng)a<0時(shí),它的圖像開(kāi)口,f(x)在上是單調(diào)遞增的,在上是單調(diào)遞減的;當(dāng)x=-b2a時(shí),函數(shù)取得最大值問(wèn)題3:二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值可能消滅以下三種狀況:(1)若-b2a<p,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是增函數(shù),則f(x)min=,f(x)max=(2)若p≤-b2a≤q,則f(x)min=,此時(shí)f(x)(3)若-b2a≥q,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是減函數(shù),則f(x)min=,f(x)max=由此可見(jiàn),當(dāng)-b2a∈[p,q]時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的較大值,最小值是f(-b2a);當(dāng)-b2a?[p,q]時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的較大值,最小值是f(p)和問(wèn)題4:解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟:(1):弄清題意,分清條件和結(jié)論,理清數(shù)量關(guān)系;

(2):將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

(3):求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論;

(4):將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題.

1.已知二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,則x1+x2等于().A.0 B.3 C.6 D.不能確定2.把長(zhǎng)為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是().A.323cm2 B.4cm2 C.32cm2 D.233.設(shè)m∈R,x1,x2是方程x2-2mx+1-m2=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x12+x24.某超市為了獵取最大利潤(rùn)做了一次試驗(yàn),若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售,則每天可銷售60件,現(xiàn)在接受提高銷售價(jià)格削減進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn),已知這種商品每漲1元,其銷售量就要削減10件,問(wèn)該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取最大利潤(rùn)?并求出最大利潤(rùn).二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)將函數(shù)y=-13x2-x+1配方,確定其圖像對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值,并畫(huà)出它的圖像二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3.(1)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),求f(x)的最值;(2)當(dāng)x∈[-2,3)時(shí),求f(x)的最值.二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用如圖所示,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時(shí),AB寬20m,水位上升到警戒線CD時(shí),CD到拱橋頂O的距離僅為1m,這時(shí)水面寬度為10m.(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式;(2)若洪水到來(lái)時(shí),水位以每小時(shí)0.3m的速度上升,從正常水位開(kāi)頭,持續(xù)多少小時(shí)到達(dá)警戒線?已知二次函數(shù)f(x)=-x2+bx+c對(duì)于任意x都滿足f(1-x)=f(1+x).(1)求實(shí)數(shù)b的值;(2)比較f(-m2-m-1)與f(14)的大小已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3,當(dāng)x∈[t,t+1]時(shí),求f(x)的最小值g(t).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,商品在近100天內(nèi),日銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t的函數(shù),且日銷售量近似的滿足關(guān)系g(t)=-13t+1093(t∈N,0≤t≤100),在前40天里價(jià)格為f(t)=14t+22(t∈N,0≤t≤40);在后60天里價(jià)格為f(t)=-12t+52(t∈N,40<t≤100).求這種商品的日銷售額的最大值1.如圖所示,二次函數(shù)y=x2-3x+2的圖像交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn),則三角形ABC的面積為().A.6 B.4C.1 D.22.由于被墨水污染,一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字:y=x2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)……求證這個(gè)二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱.依據(jù)已有信息,題中的二次函數(shù)圖像不具有的性質(zhì)是().A.過(guò)點(diǎn)(3,0) B.頂點(diǎn)是(2,-2)C.在x軸上截得的線段的長(zhǎng)是2 D.與y軸的交點(diǎn)是(0,3)3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=2,則下列關(guān)系:①f(π-2)=f(π);②f(π2)>f(π);③f(22)>f(π).④f(22)=f(π),4.已知二次函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸是x=2,其圖像頂點(diǎn)為A,并且與x軸交于B,C兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),三角形ABC的面積為18,求f(x).(2021年·遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=().A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16考題變式(我來(lái)改編):

答案第9課時(shí)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:f(x)=a(x+b2a)2+4ac-b24ax=-問(wèn)題2:(-∞,-b2a][-b2a,+∞)4ac-b24a向下(-∞,-b問(wèn)題3:(1)f(p)f(q)(2)f(-b2a)(3)f(q)f(問(wèn)題4:(1)審題(2)建模(3)求模(4)還原基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.Cf(3+x)=f(3-x)知其圖像的對(duì)稱軸為x=-b2a=3,又由韋達(dá)定理知x1+x2=-ba2.D設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4-x)cm,兩個(gè)三角形的面積和為S,則S=34x2+34(4-x)2=32(x-2)2+23≥當(dāng)x=2時(shí),S取最小值23m2.故選D.3.1由Δ=(-2m)2-4(1-m2)≥0,解得m2≥12又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2(1-m2)=6m2-4.解:設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí),利潤(rùn)為y元,則y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10≤x≤16).當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí),y有最大值160元,即售價(jià)定為12元時(shí),可獲最大利潤(rùn)160元.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】y=-13(x+32)2+74,對(duì)稱軸x=-32,頂點(diǎn)坐標(biāo)(-函數(shù)在區(qū)間(-∞,-32]上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間[-32,+∞)上是單調(diào)遞減的,函數(shù)的最大值為74,沒(méi)有最小值【小結(jié)】依據(jù)配方后得到的表達(dá)式畫(huà)圖,可直接推斷出函數(shù)的單調(diào)性及最值.探究二:【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其對(duì)稱軸為x=1,開(kāi)口向上.(1)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)在[-2,0]上是單調(diào)遞減的,故當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有最大值f(-2)=11;當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值f(0)=3.(2)當(dāng)x∈[-2,3)時(shí),f(x)在[-2,3)上是先減后增的,故當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最小值f(1)=2.又|-2-1|>|3-1|,∴f(x)的最大值為f(-2)=11.【小結(jié)】對(duì)于“軸定,區(qū)間定”的二次函數(shù)問(wèn)題,解答時(shí)直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性解題;對(duì)于“軸定,區(qū)間動(dòng)”的二次函數(shù)問(wèn)題,解答時(shí)可以直接利用圖像與二次函數(shù)單調(diào)性解題;重在用分類爭(zhēng)辯的思想分析軸與區(qū)間的關(guān)系.探究三:【解析】(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2(a≠0),∵CD=10m,CD到拱橋頂O的距離僅為1m,則C點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,-1),把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2,解得a=-125故拋物線的解析式為y=-125x2(2)∵AB寬為20m,∴設(shè)A(-10,b),把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-125x2中解得b=-4,∴F(0,-4),∴EF=3,∵水位以每小時(shí)0.3m的速度上升,∴3÷0.3=10(小時(shí)),答:從正常水位開(kāi)頭,持續(xù)10小時(shí)到達(dá)警戒線.【小結(jié)】本題把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)及函數(shù)解析式,應(yīng)當(dāng)留意點(diǎn)所在的象限,也就是點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由f(1-x)=f(1+x)知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1,即-b2×(-1)=1(2)-m2-m-1=-(m+12)2-34≤-34<14,又f(x)在(-∞,所以f(-m2-m-1)<f(14)應(yīng)用二:①當(dāng)t>1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=t時(shí),f(x)取得最小值,此時(shí),g(t)=f(t)=t2-2t+3;②當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+1]上先減后增,故當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,此時(shí),g(t)=f(1)=2;③當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=t+1時(shí),f(x)取得最小值,此時(shí),g(t)=f(t+1)=t2+2;綜上得g(t)=t應(yīng)用三:設(shè)前40天內(nèi)日銷售額為S,則S=(14t+22)?(-13t+1093)=-112t2+∴S=-112(t-10.5)2+23983+當(dāng)t=10或t=11時(shí),Smax=808.5≈809,設(shè)后60天內(nèi)日銷售額為P,則P=(-12t+52)?(-13t+1093)=16t2-∴P=16(t-106.5)2-2524,∵40<t≤100,∴當(dāng)t=41時(shí),PPmax=16×(1312)2-2524則日銷售額的最大值為809元.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C如圖可知A(1,0),B(2,0),C(0,2),又S=12×|AB|×yc=12×1×2=1,2.B由二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱得-b2=2,b=-4,再將點(diǎn)(1,0)代入可得c=3,然后畫(huà)出二次函數(shù)的草圖即可求解3.③2-22>π-2.由圖像可知f(22)>f(π4.解:∵二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=2,又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),∴|BC|=6.∵△ABC面積為18,即12|BC||m|=18,∴m=±6,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,±6∴f(x)=a(x+1)(x-5),將A點(diǎn)坐標(biāo)(2,±6)代人上述式子,可得a=±23∴f(x)=±23(x+