【創(chuàng)新設(shè)計】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)-北師大版-課時作業(yè)-第十三章-推理證明、算法、復(fù)數(shù)-3-

第3講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則 ()A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)答案D2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,24)(n>2)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊 ()A．增加了一項：eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項：eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋1)C．增加了兩項：eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋1)，又削減了一項：eq\f(1,k＋1)D．增加了一項：eq\f(1,2k＋1)，又削減了一項：eq\f(1,k＋1)解析當n＝k時，左邊＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1時，左邊＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2).故選C.答案C3．數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當n≥2時，an－an－1＝2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是 ()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3解析計算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故應(yīng)選B.答案B4．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，假如當n＝k(k∈N＋)時該命題成立，那么可以推出n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時該命題成立，那么 ()A．n＝4時該命題成立B．n＝4時該命題不成立C．n≥5，n∈N＋時該命題都成立D．可能n取某個大于5的整數(shù)時該命題不成立解析明顯A，B錯誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知C正確，D錯．答案C5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明n＝k＋1時，只需開放 ()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假設(shè)n＝k時，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將(k＋3)3開放，讓其消滅k3即可．故應(yīng)選A.答案A二、填空題6．(2021·榆林測試)在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為________．解析當n＝2時，eq\f(1,3)＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝eq\f(1,3×5).當n＝3時，eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝eq\f(1,5×7).故猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).答案An＝eq\f(1,2n－12n＋1)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是________．解析當n＝k時，要證的式子為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)<k；當n＝k＋1時，要證的式子為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)<k＋1.左邊增加了2k項．答案2k8．(2021·九江模擬)已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，則其一般結(jié)論為________．解析由于f(22)>eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，f(25)>eq\f(7,2)，所以當n≥2時，有f(2n)>eq\f(n＋2,2).故填f(2n)>eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N＋)．答案f(2n)>eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N＋)三、解答題9．(2022·陜西卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表達式．解由題設(shè)得，g(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≥0)．由已知得，g1(x)＝eq\f(x,1＋x)，g2(x)＝g(g1(x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)，g3(x)＝eq\f(x,1＋3x)，…，可得gn(x)＝eq\f(x,1＋nx).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當n＝1時，g1(x)＝eq\f(x,1＋x)，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k≥2且k∈N＋)時結(jié)論成立，即gk(x)＝eq\f(x,1＋kx).那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝eq\f(gkx,1＋gkx)＝eq\f(\f(x,1＋kx),1＋\f(x,1＋kx))＝eq\f(x,1＋k＋1x)，即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N＋成立．10．已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N＋.(1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大?。?2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．解(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；當n＝2時，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)<g(2)；當n＝3時，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(312,216)，所以f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．①當n＝1,2,3時，不等式明顯成立，②假設(shè)當n＝k(k≥3)時不等式成立，即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2).那么，當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13).由于eq\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13)))＝eq\f(k＋3,2k＋13)－eq\f(1,2k2)＝eq\f(－3k－1,2k＋13k2)<0，所以f(k＋1)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k＋12)＝g(k＋1)．由①②可知，對一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個取值應(yīng)是 ()A．1 B．2C．3 D．4解析∵n＝1時，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2時，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3時，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一個取值應(yīng)是3.答案C12．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是 ()A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立解析選項A，B的答案與題設(shè)中不等號方向不同，故A，B錯；選項C中，應(yīng)當是k≥3時，均有f(k)≥k2成立；選項D符合題意．答案D13．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線相互平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________(用n表示)．解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝eq\f(n＋1n－2,2)(n>4)．答案5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)14．(2022·重慶卷)設(shè)a1＝1，an＋1＝eq\r(a\o\al(2,n)－2an＋2)＋b(n∈N＋)．(1)若b＝1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式；(2)若b＝－1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n<c<a2n＋1對全部n∈N＋成立？證明你的結(jié)論．解(1)法一a2＝2，a3＝eq\r(2)＋1.再由題設(shè)條件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.從而{(an－1)2}是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，故(an－1)2＝n－1，即an＝eq\r(n－1)＋1(n∈N＋)．法二a2＝2，a3＝eq\r(2)＋1，可寫為a1＝eq\r(1－1)＋1，a2＝eq\r(2－1)＋1，a3＝eq\r(3－1)＋1.因此猜想an＝eq\r(n－1)＋1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當n＝1時結(jié)論明顯成立．假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即ak＝eq\r(k－1)＋1，則ak＋1＝eq\r(ak－12＋1)＋1＝eq\r(k－1＋1)＋1＝eq\r(k＋1－1)＋1.這就是說，當n＝k＋1時結(jié)論成立．綜上可知，an＝eq\r(n－1)＋1(n∈N＋)．(2)設(shè)f(x)＝eq\r(x－12＋1)－1，則an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝eq\r(c－12＋1)－1，解得c＝eq\f(1,4).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強命題a2n<c<a2n＋1<1.當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝eq\r(2)－1，所以a