【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)-北師大版-課時(shí)作業(yè)-第八章-立體幾何-4-

第4講垂直關(guān)系基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是 ()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D不肯定成立，故選D.答案D2．設(shè)a是空間中的一條直線，α是空間中的一個(gè)平面，則下列說法正確的是()A．過a肯定存在平面β，使得β∥αB．過a肯定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α內(nèi)肯定不存在直線b，使得a⊥bD．在平面α內(nèi)肯定不存在直線b，使得a∥b解析當(dāng)a與α相交時(shí)，不存在過a的平面β，使得β∥α，故A錯(cuò)誤；直線a與其在平面α內(nèi)的投影所確定的平面β滿足β⊥α，故選B；平面α內(nèi)的直線b只要垂直于直線a在平面α內(nèi)的投影，則就必定垂直于直線a，故C錯(cuò)誤；當(dāng)a與α平行時(shí)，在平面α內(nèi)存在直線b，使得a∥b，故D錯(cuò)誤．答案B3.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么 ()A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.答案C4．(2021·青島質(zhì)量檢測(cè))設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的是 ()A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)α，b∥β，α⊥β解析A中，兩直線可以平行、相交或異面，故不正確；B中，兩直線平行，故不正確；C中，由α∥β，aα可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正確；D中，兩直線可以平行，相交或異面，故不正確．答案C5.(2021·深圳調(diào)研)如圖，在四周體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是 ()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析由于AB＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C.答案C二、填空題6.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確．答案①②③7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(用代號(hào)表示)．解析假如①③④為條件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，過m上一點(diǎn)P作PB∥n，則PB⊥m，PB⊥β，設(shè)垂足為B.又設(shè)m⊥α，垂足為A，過PA，PB的平面與α，β的交線l交于點(diǎn)C.由于l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，所以l⊥AC，l⊥BC.所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．由m⊥n，明顯PA⊥PB，所以∠ACB＝90°，所以α⊥β.由①③④?②成立．反過來，假如②③④成立，與上面證法類似可得①成立．答案①③④?②(②③④?①)三、解答題9.(2022·西安測(cè)試)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中點(diǎn)，CD⊥B1(1)證明：CD⊥B1C1(2)平面CDB1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形，由于D為AA1的中點(diǎn)，故DC＝DC1，又AA1＝2A1C1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩C1D＝D，所以CD⊥平面B1C1D，由于B1C1平面B1C1D，所以CD⊥B1C1.(2)解由(1)知B1C1⊥CD，且B1C1⊥CC1C∩CD＝C，則B1C1⊥平面ACC1設(shè)V1是平面CDB1上方部分的體積，V2是平面CDB1下方部分的體積，則V1＝VB1－CDA1C1＝eq\f(1,3)×S梯形CDA1C1×B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1).V總＝VABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)AC×BC×CC1＝B1Ceq\o\al(3,1)，V2＝V總－V1＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝V1，故eq\f(V1,V2)＝1∶1.10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)由于平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又由于BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由于AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD，又PA∩AD＝A.所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.又E，F(xiàn)分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF.故CD⊥EF，由EF，BE平面BEF，且EF∩BE＝E.所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在 A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上．答案A12．(2022·衡水中學(xué)模擬)如圖，正方體AC1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是 ()A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH延長線經(jīng)過點(diǎn)C1D．直線AH和BB1所成角為45°解析對(duì)于A，由于AA1＝AB＝AD，所以點(diǎn)A在平面A1BD上的射影必到點(diǎn)A1，B，D的距離相等，即點(diǎn)H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故點(diǎn)H是△A1BD的垂心，命題A是真命題；對(duì)于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，從而AH⊥平面CB1D1，命題B是真命題；對(duì)于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1，命題C是真命題；對(duì)于D，由C知直線AH即是直線AC1，又直線AA1∥BB1，因此直線AC1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角，即∠A1AC1而tan∠A1AC1＝eq\f(\r(2),1)＝eq\r(2)，因此命題D是假命題．答案D13．(2022·河南師大附中二模)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把全部正確的序號(hào)都填上)．解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確．答案①④14．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq\r(2)，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC.(1)證明：PC⊥平面BED；(2)設(shè)二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．(1)證明由于底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，由于AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.如圖，設(shè)AC∩BD＝F，連接EF.由于AC＝2eq\r(2)，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2eq\r(3)，EC＝eq\f(2\r(3),3)，F(xiàn)C＝eq\r(2)，從而eq\f(PC,FC)＝eq\r(6)，eq\f(AC,EC)＝eq\r(6).所以eq\f(PC,FC)＝eq\f(AC,EC)，又∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.又BD∩EF＝F，所以PC⊥平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥PB，G為垂足．由于二面角A－PB－C為90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.由于BC與平面P