【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-1教案：第3章-橢圓-第一課時(shí)參考教案

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)：了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻劃現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。經(jīng)受從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，把握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)。通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；坐標(biāo)法的基本思想。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)；坐標(biāo)法的運(yùn)用。教學(xué)任務(wù)分析：同學(xué)已有的主要學(xué)問結(jié)構(gòu)同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓，了解圓的定義，經(jīng)受了依據(jù)圓的特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。建立新的學(xué)問結(jié)構(gòu)與圓類比，弄清橢圓上的點(diǎn)所滿足的條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?；貞泩A的定義，與已有的學(xué)問聯(lián)系小結(jié)與布置作業(yè)教學(xué)基本流程：回憶圓的定義，與已有的學(xué)問聯(lián)系小結(jié)與布置作業(yè)通過作圖，提出問題，引入橢圓的定義通過作圖，提出問題，引入橢圓的定義義依據(jù)條件，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)條件，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)過程：?jiǎn)栴}設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)備注1、回顧圓的定義，讓同學(xué)用預(yù)備好的工具畫圓。同學(xué)動(dòng)手畫圓，結(jié)合圖形，重現(xiàn)思維軌跡，為橢圓的學(xué)習(xí)作好鋪墊。1.由同學(xué)動(dòng)手試驗(yàn)，并說出圓的定義；畫圓時(shí)，繩子一端固定在紙板上，一端栓在筆上同學(xué)再次體會(huì)筆尖到定點(diǎn)的距離不變的情景。2.將圓心分開變?yōu)閮蓚€(gè)，繩子兩端固定在這兩個(gè)定點(diǎn)上，用筆勾住繩子，將會(huì)畫出什么樣的曲線呢？提出新的問題，激發(fā)同學(xué)的奇異???心，引發(fā)學(xué)習(xí)愛好。1.師生一起畫圖，得到一個(gè)壓扁的“圓”—橢圓；2.老師演示課件：拱橋、橄欖球、天體的運(yùn)動(dòng)軌跡等。讓同學(xué)領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美，生疏到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。3.在運(yùn)動(dòng)中，橢圓上的點(diǎn)所滿足的幾何條件是什么？4.應(yīng)當(dāng)如何描述動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何條件？1.弄清曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件是建立曲線方程的關(guān)鍵之一。2.讓同學(xué)體會(huì)類比思想，整理試驗(yàn)，歸納抽象成數(shù)學(xué)問題。1.引導(dǎo)同學(xué)分析試驗(yàn)，發(fā)覺兩個(gè)確定的量—定點(diǎn)及繩長(zhǎng)，變動(dòng)的量—筆尖（即橢圓上的點(diǎn)）。2.再次演示畫橢圓的過程，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺規(guī)律：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和總是等于繩長(zhǎng)。這里應(yīng)賜予同學(xué)充分思考和爭(zhēng)辯的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們說出自己的發(fā)覺，并逐步修正得到橢圓的定義。5.將兩位同學(xué)所畫的橢圓投影到大屏幕，并提出問題：在繩長(zhǎng)相同的狀況下，為什么畫出的橢圓有圓有扁呢？使同同學(xué)疏到橢圓的外形受到兩定點(diǎn)的距離的影響。1．老師：轉(zhuǎn)變?cè)械膬啥c(diǎn)的距離畫橢圓并觀看圖形，大家有什么發(fā)覺?同學(xué)：的距離愈近橢圓愈圓，的距離愈遠(yuǎn)橢圓愈扁。6.假如只轉(zhuǎn)變繩長(zhǎng)，而不轉(zhuǎn)變的距離，又會(huì)毀滅什么結(jié)果呢使同學(xué)進(jìn)一步生疏到橢圓的外形也受到繩長(zhǎng)的影響。老師：假如定點(diǎn)的位置相同，只轉(zhuǎn)變繩長(zhǎng)，橢圓又有什么變化？同學(xué)：繩愈短橢圓愈扁，繩愈長(zhǎng)橢圓愈圓。老師：設(shè)||=2C，||+||=2a,如何通過a,c刻劃?rùn)E圓的扁圓程度。同學(xué)：當(dāng)越小時(shí)，橢圓愈圓，當(dāng)越大時(shí)，橢圓越扁。7.橢圓與兩定點(diǎn)位置及定線段長(zhǎng)有關(guān)，是否給定了線段長(zhǎng)和兩定點(diǎn)位置就確定能作出橢圓呢？加深對(duì)概念的理解師生共同探討，并演示課件，呈現(xiàn)2a>2c,2a=2c,2a<2c三種不憐憫形的軌跡。同學(xué)：當(dāng)2a>2c時(shí)，軌跡是橢圓;當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡是一條線段，是以為端點(diǎn)的線段;當(dāng)2a<2c時(shí)，無(wú)軌跡;當(dāng)c=0時(shí)，軌跡為圓.寫出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何條件的點(diǎn)的集合：P=M|||+||=2a。明確橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a（2a大于||）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。8.事實(shí)上橢圓在建筑、電子乃至航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此，有必要進(jìn)一步探求它的性質(zhì)，爭(zhēng)辯它的方程。求曲線方程的步驟是什么？怎樣建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程呢？溫舊知新，讓同同學(xué)疏到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系有利于化簡(jiǎn)，也會(huì)使所得的方程比較簡(jiǎn)潔。同學(xué)回答求曲線方程的步驟，老師引導(dǎo)同學(xué)爭(zhēng)辯如何建立坐標(biāo)系。通過分析曲線的特征—對(duì)稱性，得出以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。事實(shí)上，橢圓的美主要體現(xiàn)在均勻?qū)ΨQ上，應(yīng)充分引導(dǎo)同學(xué)爭(zhēng)辯、發(fā)覺這一點(diǎn)。完成了“建系”，設(shè)M（x,y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c>0)，那么，焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與的距離的和等于常數(shù)2a（2a>||）。由定義可知，橢圓就是集合P=M|||+||=2a。||=,||=,+=2a.能否將上面所得等式兩邊同時(shí)平方？應(yīng)當(dāng)如何處理兩個(gè)根號(hào)的位置更有利于化簡(jiǎn)？在同學(xué)已懂得一個(gè)根式化簡(jiǎn)的狀況下，針對(duì)具體的問題，尋求解決問題的想法。請(qǐng)3—4名同學(xué)板演方程化簡(jiǎn)，老師在教室中走動(dòng)，觀看同學(xué)的化簡(jiǎn)狀況。組織同學(xué)評(píng)價(jià)板演狀況，使同學(xué)明確若將上面等式直接平方，則化簡(jiǎn)過程繁雜且各項(xiàng)的次數(shù)很高；若將兩個(gè)根式放在等式的兩邊，平方后可消去x2,y2,c2項(xiàng)簡(jiǎn)化計(jì)算，強(qiáng)調(diào)方法的選擇。通過投影，將化簡(jiǎn)的過程呈現(xiàn)給同學(xué)。老師：設(shè)||=2c,||+||=2a，觀看圖形能否找出a,c，所表示的線段及其關(guān)系呢？結(jié)合圖形，賜予a,c，以具體的幾何意義。（呈現(xiàn)圖形）同學(xué)：可以看出a,c是以為底邊的等腰三角形的腰及底邊的一半。老師：不妨令a2-c2=b2則方程可簡(jiǎn)化為b2x2+a2y2=a2b2,兩邊同時(shí)除以a2b2得，這就是焦點(diǎn)在x軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這里a與b的關(guān)系如何？同學(xué)：a>b>0.通過類比，讓同學(xué)寫出焦點(diǎn)在y軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并依據(jù)方程辨別橢圓的焦點(diǎn)在x軸或y軸上。老師用總結(jié)性的語(yǔ)言引導(dǎo)同學(xué)對(duì)橢圓方程再生疏：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，分母是一個(gè)正數(shù)，右邊是1。橢圓的三個(gè)參數(shù)a.b.c滿足。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)哪個(gè)小，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。1教材中例1.2補(bǔ)充練習(xí)：已知橢圓的方程為則（1）a=b=c（2）焦點(diǎn)在軸上，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為。（3）若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則?CF1F2的周長(zhǎng)為，?F2CD的周長(zhǎng)為。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。2位同學(xué)板演例1，補(bǔ)充練習(xí)由同學(xué)口答。老師：假如將橢圓方程改為=1，上述問題（1）（2）（3）有何變化？同學(xué)：（回答略）小結(jié)：（1）學(xué)問方面：總結(jié)了橢圓的定義；探討了橢圓的扁圓；爭(zhēng)辯了在a