【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2雙基限時(shí)練2

雙基限時(shí)練(二)1．當(dāng)自變量x由x0變到x1時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量的比是函數(shù)()A．在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率B．在x1處的導(dǎo)數(shù)C．在區(qū)間[x0，x1]上的導(dǎo)數(shù)D．在x處的平均變化率解析由平均變化率的定義知選A.答案A2．對(duì)于函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))，則f′(x)為()A．0 B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝0.答案A3．y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx.∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2＋Δx)＝2.答案B4．在導(dǎo)數(shù)的定義中，自變量的增量Δx滿足()A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可負(fù)，就是不能為0，因此選D.答案D5．一物體運(yùn)動(dòng)滿足曲線方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其實(shí)際意義是()A．物體5秒內(nèi)共走過(guò)42米B．物體每5秒鐘運(yùn)動(dòng)42米C．物體從開(kāi)頭運(yùn)動(dòng)到第5秒運(yùn)動(dòng)的平均速度是42米/秒D．物體以t＝5秒時(shí)的瞬時(shí)速度運(yùn)動(dòng)的話，每經(jīng)過(guò)一秒，物體運(yùn)動(dòng)的路程為42米解析由導(dǎo)數(shù)的物理意義知，s′(5)＝42(m/s)表示物體在t＝5秒時(shí)的瞬時(shí)速度．故選D.答案D6．假如質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，那么在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.答案187．設(shè)函數(shù)f(x)滿足eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝－1，則f′(1)＝________.解析∵eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝f′(1)＝－1.答案－18．函數(shù)f(x)＝x2＋1在x＝1處可導(dǎo)，在求f′(1)的過(guò)程中，設(shè)自變量的增量為Δx，則函數(shù)的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.答案2Δx＋(Δx)29．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)＝2a·Δx＋a(Δx)2∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2a＋a·Δx)＝2a＝4.∴a＝2.10．已知函數(shù)f(x)＝13－8x＋eq\r(2)x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．解Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[13－8(x0＋Δx)＋eq\r(2)(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋eq\r(2)xeq\o\al(2,0))＝－8Δx＋2eq\r(2)x0Δx＋eq\r(2)(Δx)2.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(－8＋2eq\r(2)x0＋eq\r(2)Δx)＝－8＋2eq\r(2)x0，又∵f′(x0)＝4，∴－8＋2eq\r(2)x0＝4，∴x0＝3eq\r(2).11．在自行車競(jìng)賽中，運(yùn)動(dòng)員的位移與競(jìng)賽時(shí)間t存在關(guān)系s(t)＝10t＋5t2(s的單位是m，t的單位是s)．(1)求t＝20，Δt＝0.1時(shí)的Δs與eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20時(shí)的速度．解(1)當(dāng)t＝20，Δt＝0.1時(shí)，Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5.(2)由導(dǎo)數(shù)的定義知，t＝20時(shí)的速度即為v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(10t＋Δt＋5t＋Δt2－10t－5t2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(5Δt2＋10Δt＋10tΔt,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(5Δt＋10＋10t)＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下(位移：m，時(shí)間：s)．s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3t－32，0≤t<3.))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．解(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度為v0，即求物體在t＝0時(shí)瞬時(shí)速度．∵物體在t＝0四周的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋30＋Δt－32－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3Δt－18)＝－18(m/s)．即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時(shí)變化率．∵物體在t＝1四周的平均速度變化為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(29＋31＋Δt－32