【復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)考點鞏固訓(xùn)練45-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考點鞏固訓(xùn)練45直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1．已知p：“a＝eq\r(2)”，q：“直線x＋y＝0與圓x2＋(y－a)2＝1相切”，則p是q的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．已知直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋4y－6＝0平行，則直線l1的方程是()．A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝03．(廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長等于()．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)D．14．設(shè)直線l經(jīng)過點P(3,4)，圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝4.若直線l與圓C交于兩個不同的點，則直線l的斜率的取值范圍為()．A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,18)，＋∞))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)，\f(27,20)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,20)，\f(29,17)))5．過圓x2＋y2＝1上一點作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()．A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．36．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直線l：x－y＋3＝0.當(dāng)直線l被C截得的弦長為2eq\r(3)時，a＝()．A．eq\r(2)B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1D．eq\r(2)＋17．直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝9相交于兩點M，N，若c2＝a2＋b2，則eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點)等于()．A．－7B．－14C．7D．二、填空題8．圓心在原點且與直線x＋y－2＝0相切的圓的方程為________．9．(北京高考)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為__________．10．已知△ABC的三個頂點分別為A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為__________．三、解答題11．已知圓O：x2＋y2＝4和點M(1，a)，(1)若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數(shù)a的值，并求出切線方程；(2)若a＝eq\r(2)，過點M的圓的兩條弦AC，BD相互垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．12．已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．(3)過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標(biāo)原點，試推斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

參考答案一、選擇題1．A解析：由直線x＋y＝0與圓x2＋(y－a)2＝1相切，可得eq\f(|a|,\r(2))＝1，即a＝±eq\r(2)．∴p?q而qp，∴p是q的充分而不必要條件．2．D解析：設(shè)直線l1的方程為3x＋4y＋m＝0．∵直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，∴eq\f(|－4＋m|,\r(32＋42))＝1．∴|m－4|＝5．∴m＝－1或m＝9．∴直線l1的方程為3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0．3．B解析：如圖所示，設(shè)AB的中點為D，則OD⊥AB，垂足為D，連接OA．由點到直線的距離得|OD|＝eq\f(|－5|,\r(32＋42))＝1，∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝eq\r(3)，∴|AB|＝2|AD|＝2eq\r(3)．4．C解析：由題意，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．又直線l與圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于兩個不同的點，所以圓心到直線的距離小于圓的半徑長，即eq\f(|5－2k|,\r(k2＋1))＜2，解得k＞eq\f(21,20)．所以直線l的斜率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞))．5．C解析：設(shè)圓上的點為(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，則切線方程為x0x＋y0y＝1．分別令y＝0，x＝0，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,y0)))，∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y0)))\s\up12(2))＝eq\f(1,x0y0)≥eq\f(1,\f(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0),2))＝2當(dāng)且僅當(dāng)x0＝y(tǒng)0時，等號成立．6．C解析：如圖，由題意知圓心為(a，2)，到直線l的距離應(yīng)等于1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴a＝－1±eq\r(2)．∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1．7．A解析：記eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))的夾角為2θ．依題意得，圓心(0，0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，cosθ＝eq\f(1,3)，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝3×3cos2θ＝－7．二、填空題8．x2＋y2＝2解析：圓心(0，0)到直線x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2)．∴圓的方程為x2＋y2＝2．9．2eq\r(2)解析：由題意得，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心為(0，2)，半徑為2，圓心到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)．設(shè)截得的弦長為l，則由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋(eq\r(2))2＝22，得l＝2eq\r(2)．10．eq\f(\r(30),2)解析：BC中點坐標(biāo)為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以|AD|＝eq\r(（2－3）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))\s\up12(2))＝eq\f(\r(30),2)．三、解答題11．解：(1)由條件知點M在圓O上，所以1＋a2＝4，解得a＝±eq\r(3)．當(dāng)a＝eq\r(3)時，點M為(1，eq\r(3))，kOM＝eq\r(3)，k切線＝－eq\f(\r(3),3)，此時切線方程為y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r(3)y－4＝0．當(dāng)a＝－eq\r(3)時，點M為(1，－eq\r(3))，kOM＝－eq\r(3)，k切線＝eq\f(\r(3),3)，此時切線方程為y＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y－4＝0．所以所求的切線方程為x＋eq\r(3)y－4＝0，或x－eq\r(3)y－4＝0．(2)設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為d1，d2(d1，d2≥0)，則deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OM|2＝3．于是|AC|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,1))，|BD|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,2))．所以|AC|＋|BD|＝2eq\r(4－deq\o\al(2,1))＋2eq\r(4－deq\o\al(2,2))．則(|AC|＋|BD|)2＝4(4－deq\o\al(2,1)＋4－deq\o\al(2,2)＋2eq\r(4－deq\o\al(2,1))eq\r(4－deq\o\al(2,2)))＝4[5＋2eq\r(16－4（deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)）＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2))]＝4(5＋2eq\r(4＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)))．由于2d1d2≤deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝3，所以deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)≤eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d2＝eq\f(\r(6),2)時取等號．所以eq\r(4＋deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2))≤eq\f(5,2)．所以(|AC|＋|BD|)2≤4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2×\f(5,2)))＝40．所以|AC|＋|BD|≤2eq\r(10)，即|AC|＋|BD|的最大值為2eq\r(10)．12．解：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0.))則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2．(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值為－4．(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc