三線合一定理

三線合一定理三線合一定理是幾何學(xué)中一個(gè)重要的定理，它與三角形的內(nèi)心、外心、垂心和重心有關(guān)，是初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)和奧數(shù)中必須掌握的基本知識(shí)之一。一、三線合一定理的定義三線合一定理是指，在一個(gè)三角形ABC中，三條特殊的線段（也被稱為三線），即垂線、中線和角平分線，它們的交點(diǎn)O被稱為三角形ABC的內(nèi)心。其中，垂線是從三角形頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線，中線是從三角形一邊的中點(diǎn)到另一邊的中點(diǎn)的線段，角平分線是從三角形一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角平分成兩個(gè)等角的線段。二、三線合一定理的證明要證明三線合一定理，需要從三個(gè)方面進(jìn)行論證，分別是垂線、中線和角平分線。1.垂線的論證對(duì)于一個(gè)三角形ABC，假設(shè)它的三條垂線分別為AD、BE和CF。根據(jù)垂線的特性可以得到：∠BAC+∠ABC=90°+90°=180°，即△ABC是直角三角形。因此，AD垂直于BC，同理，BE和CF也分別垂直于AC和AB。假設(shè)垂線的交點(diǎn)為O，則由于△ABC是直角三角形，可以得到三角形ABC的內(nèi)心O位于△ABC的垂心H的中心，即O為△ABC的內(nèi)切圓心。因此，在一個(gè)三角形中，三條垂線的交點(diǎn)O，被稱為三角形的內(nèi)心。2.中線的論證對(duì)于一個(gè)三角形ABC，假設(shè)它的三條中線分別為DE、FG和HK。中線的定義是指連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，AC的中點(diǎn)為N，則對(duì)于△ABC可得：·由于DM=MC，因此DE∥BC?！び捎贔N=NA，因此FG∥AC。·由于HK是從B的中點(diǎn)出發(fā)，且B是AC的中點(diǎn)，因此HK∥AB。同時(shí)，根據(jù)平行線的特性可以得到：·DE中點(diǎn)為P，AB中點(diǎn)為Q，則PQ∥AC。·HK中點(diǎn)為L(zhǎng)，AC中點(diǎn)為N，則LN∥AB?！G中點(diǎn)為R，BC中點(diǎn)為M，則RM∥AB。記交點(diǎn)為O，則OO1=OO2=OO3，其中OO1、OO2、OO3分別是以BC、AC、AB為直徑的三個(gè)圓的圓心。由于OO1、OO2、OO3在同一條直線上，根據(jù)圓心角的性質(zhì)，可知∠O1O2O3=180°，因此，三線交點(diǎn)O為三角形ABC的重心，即三條中線交于同一點(diǎn)。3.角平分線的論證對(duì)于一個(gè)三角形ABC，假設(shè)它的三條角平分線分別為AP、BQ和CR。角平分線的定義是指從三角形頂點(diǎn)出發(fā)，將相鄰兩條角度相等的線段。證明思路：（1）角A是由BP和CP平分的。（2）在三角形ABC中，花心P、Q、R在線段BC上，等角四邊形PARB和QCRA其中，前者的對(duì)角線PR和BR相交于O1（由于RA=RB、PA=AR，所以BR=PA），后者的對(duì)角線QR和RC相交于O2（由于RB=RC、QB=BR，所以RB=QB）。（3）如圖所示，連接PQ、QR、RP，分別交角A的邊BC、AB、AC于D、E、F，過O1做OO1∥DB（OO1與DB的距離相等），交AC于S，過O2做OO2∥FC（OO2與FC的距離相等）,交AB于T。由于OO1和OO2分別是以BC和AC為直徑的圓的圓心，因此∠DPQ=∠O1PQ=∠O2QR=∠FQR，即∠APD=∠EAC=∠EBF=∠BQC。根據(jù)約束和變形，可以得到：·∠APD=∠EAC·∠EBF=∠BQC·∠EAC+∠BQC=∠ABC（角A的對(duì)角線）因此，由等式1和等式2可以得到：∠APD+∠BQC=∠ABC即角A由BP和CP平分，因此交點(diǎn)P為?ABC的角A平分線。同理可得，交點(diǎn)Q為?ABC的角B平分線，交點(diǎn)R為?ABC的角C平分線。由此可見，在一個(gè)三角形中，三條角平分線交點(diǎn)O為三角形ABC的外心。綜上所述，三線合一定理是指在一個(gè)三角形中，垂線、中線和角平分線的交點(diǎn)O