【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案：第3章-拓展資料：導(dǎo)數(shù)中的思想方法

導(dǎo)數(shù)中的思想方法在《導(dǎo)數(shù)》一章里，隱含著很多數(shù)學(xué)思想方法，思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的精髓，是將學(xué)問(wèn)轉(zhuǎn)化為力氣的橋梁，也是解決問(wèn)題的思維策略，有著廣泛的應(yīng)用．所以挖掘和總結(jié)出這些數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)我們鞏固《導(dǎo)數(shù)》有很大的掛念。下面就《導(dǎo)數(shù)》一章里的數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)如下：一、方程思想與待定系數(shù)法方程思想在《導(dǎo)數(shù)》中處處可見，與它同時(shí)毀滅的是待定系數(shù)法。在確定函數(shù)的表達(dá)式或求函數(shù)表達(dá)式的系數(shù)等方面都可以依據(jù)方程的思想，通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)實(shí)現(xiàn).【例1】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.（1）爭(zhēng)辯f（1）和f（－1）是函數(shù)f（x）的極大值還是微小值；（2）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程.剖析：（1）分析x=±1處的極值狀況，關(guān)鍵是分析x=±1左右（x）的符號(hào).（2）要分清點(diǎn)A（0，16）是否在曲線上.解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依題意，（1）=（－1）=0，即解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令（x）=0，得x=－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），則（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).若x∈（－1，1），則（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是減函數(shù).所以f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是微小值.（2）曲線y=x3－3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則y0=x03－3x.∵（x0）=3x02－3，∴切線方程為y－y0=3（x02－1）（x－x0）.代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2，∴M（－2，－2），切線方程為9x－y+16=0.評(píng)述：過(guò)已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.二、轉(zhuǎn)化思想等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有學(xué)問(wèn)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不生疏、不規(guī)范、簡(jiǎn)潔的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為生疏，在《導(dǎo)數(shù)》一章里,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在，我們要不斷培育和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變力氣，提高思維力氣和技能、技巧。例2（2009遼寧文科）設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。求a的值，并爭(zhēng)辯f（x）的單調(diào)性；證明：當(dāng)解：（Ⅰ）.有條件知，，故.于是.故當(dāng)時(shí)，＜0；當(dāng)時(shí)，＞0.從而在，單調(diào)削減，在單調(diào)增加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調(diào)增加，故在的最大值為，最小值為.從而對(duì)任意，，有.而當(dāng)時(shí)，.從而點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，其中其次問(wèn)中證明時(shí)利用了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為差的確定值小于最大值減去最小值。也就是不等式證明中常見的放縮法。三、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。例3、已知函數(shù)，，其中是f（x）的導(dǎo)函數(shù).（1）對(duì)滿足的一切a的值，都有，求實(shí)數(shù)x的其中范圍（2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)。解：（1）由題意令，.對(duì)，恒有，即有，所以即解得故時(shí)，對(duì)滿足的一切a的值，都有.（2），①當(dāng)m＝0時(shí)，的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，列表：x＋0－0＋極大微小又由于f（x）的值域是R，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，恒有由題意得，，即解得綜上m的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合圖象較簡(jiǎn)潔得出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)范圍。解決本題其次問(wèn)通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，把交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，使簡(jiǎn)潔問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，抽象問(wèn)題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問(wèn)題，拓寬了解題思路。降低了問(wèn)題的難度。四、分類爭(zhēng)辯思想分類爭(zhēng)辯是重要的數(shù)學(xué)解題方法．它把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分成若干個(gè)局部問(wèn)題，在每一個(gè)局部問(wèn)題中，原先的“不確定因素”不再影響問(wèn)題的解決，當(dāng)這些局部問(wèn)題都解決完時(shí)，整個(gè)問(wèn)題也就解決了．分類爭(zhēng)辯必需賜予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系學(xué)問(wèn)與力氣中的作用，從而提高簡(jiǎn)化計(jì)算力氣．例4：設(shè)，爭(zhēng)辯定義在的函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）若時(shí)，則（?。┤?，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（ⅱ）若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增（ⅲ）若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查通過(guò)求導(dǎo)爭(zhēng)辯函數(shù)的單調(diào)性，本題主要數(shù)學(xué)思想是分類爭(zhēng)辯，爭(zhēng)辯依據(jù)是包含二層：一是對(duì)求導(dǎo)后的二次項(xiàng)的系數(shù)爭(zhēng)辯；二是對(duì)兩根大小進(jìn)行爭(zhēng)辯。分類要做到不重不漏，層次分明。五、構(gòu)造法在解題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)接受這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造掛念元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法.例5、已知函數(shù)，對(duì)于f（x）定義域內(nèi)任意的x，恒成立，求a的取值范圍。解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，由?duì)任意恒成立，知對(duì)一切恒成立，即對(duì)恒成立。設(shè)，則，由，解得當(dāng)時(shí)，解得，時(shí)，所以h（x）在上遞增，在上遞減，故h（x）的最大值為，所以點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分別后可以轉(zhuǎn)化為（或）恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），從而把不