【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修一課時(shí)作業(yè)(二十四)-3.6

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D.對(duì)數(shù)型函數(shù)【解析】選C.畫(huà)出圖形,如圖所示,隨著自變量增加,函數(shù)值的增量是快速的,故為指數(shù)型函數(shù)模型,故選C.3.依據(jù)三個(gè)函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x給出以下命題：(1)f(x),g(x),h(x)在其定義域上都是增函數(shù).(2)f(x)的增長(zhǎng)速度始終不變.(3)f(x)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快.(4)g(x)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快.(5)h(x)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.其中正確的命題個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【解析】選C.依據(jù)“直線上升、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)爆炸”的原理可知(1)(2)(4)(5)正確.4.(2022·長(zhǎng)安高一檢測(cè))函數(shù)y=2x-x2的圖像大致是()【解析】選A.當(dāng)x>0時(shí),由2x=x2可知x=2或x=4,又當(dāng)x<0時(shí),y→-∞,故選A.【變式訓(xùn)練】如圖所示曲線反映的是下列哪種函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)()A.一次函數(shù) B.冪函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù) D.指數(shù)函數(shù)【解析】選C.由圖像可知,開(kāi)頭增長(zhǎng)快速,后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢.符合對(duì)數(shù)函數(shù)模型.5.(2022·保定高一檢測(cè))據(jù)報(bào)道,某淡水湖的湖水在50年內(nèi)削減了10%,若按此規(guī)律,設(shè)2021年的湖水量為m,從2021年起,經(jīng)過(guò)x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()A.y=0.9x50 B.y=(1-0.C.y=0.9x50m D.y=(1-0.1【解析】選C.設(shè)每年湖水量為上一年的q%,則(q%)50=0.9,所以q%=0.9150.所以x年后的湖水量為y=0.6.(2022·九江高一檢測(cè))四人賽跑,假設(shè)其跑過(guò)的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別為f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如他們始終跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x【解題指南】借助函數(shù)變化率的特征求解,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系應(yīng)為函數(shù)變化率最快的.【解析】選D.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的圖像可知(圖略),當(dāng)x>4時(shí)從上往下依次是f4(x),f1(x),f2(x),f3(x),故選D.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2022·白鷺洲高一檢測(cè))2022年某小城市人口總數(shù)為14萬(wàn),假如人口的年自然增長(zhǎng)率把握為1.25%,則從20年開(kāi)頭,該城市人口超過(guò)20萬(wàn).(lg3≈0.4771,lg5≈0.6990,lg7≈0.8451)【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x年后,該城市人口超過(guò)20萬(wàn),故14(1+1.25%)x=20,所以x=log1.0125107=lg107lg1.0125≈1=1-0.84510.0054故從2041年開(kāi)頭,該城市人口超過(guò)20萬(wàn).答案：418.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖,試寫(xiě)出一個(gè)可能的解析式：.【解析】由圖可知,該函數(shù)過(guò)點(diǎn)(10,3),且其增長(zhǎng)模式類似于對(duì)數(shù)型函數(shù),故不妨取f(x)=3lgx.答案：f(x)=3lgx(答案不唯一)【誤區(qū)警示】本題易因?qū)瘮?shù)圖像理解不透而導(dǎo)致無(wú)法求解.9.(2022·泰安高一檢測(cè))某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系式為：y=alog2(x+1),設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只,則到第7年這種動(dòng)物進(jìn)展到只.【解析】把x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得：a=100,故函數(shù)關(guān)系式為y=100log2(x+1),所以當(dāng)x=7時(shí),y=100log2(7+1)=300.所以到第7年這種動(dòng)物進(jìn)展到300只.答案：300三、解答題(每小題10分,共20分)10.試比較函數(shù)y=x200,y=ex,y=lgx的增長(zhǎng)差異.【解析】增長(zhǎng)最慢的是y=lgx,由圖像(圖略)可知隨著x的增大,它幾乎平行于x軸;當(dāng)x較小時(shí),y=x200要比y=ex增長(zhǎng)得快;當(dāng)x較大時(shí),y=ex要比y=x200增長(zhǎng)得快.11.某地發(fā)生地震,世界各地紛紛捐款捐物.甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會(huì)捐款給災(zāi)區(qū),捐款方式如下：甲公司：在10天內(nèi),每天捐款5萬(wàn)元給災(zāi)區(qū);乙公司：在10天內(nèi),第1天捐款1萬(wàn)元,以后每天比前一天多捐款1萬(wàn)元;丙公司：在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬(wàn)元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你覺(jué)得哪個(gè)公司最慷慨?【解析】三個(gè)公司在10天內(nèi)捐款狀況如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,為102.3萬(wàn)元,即丙公司最慷慨.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x,當(dāng)x∈R時(shí),有()A.f(x)>g(x) B.g(x)>f(x)C.f(x)≥g(x) D.g(x)≥f(x)【解析】選A.在同始終角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x的圖像,如圖所示,由于函數(shù)f(x)=3x的圖像在函數(shù)g(x)=2x的圖像的上方,則f(x)>g(x).【變式訓(xùn)練】下列函數(shù)中,隨x的增大,增長(zhǎng)速度最快的是()A.y=50(x∈Z) B.y=1000xC.y=0.4·2x-1 D.y=1100000·e【解析】選D.指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)速度最快,且e>2,因而ex增長(zhǎng)最快.2.(2022·南陽(yáng)高一檢測(cè))若x∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.2x>x12>lgx B.2xC.x12>2x>lgx D.lgx>x【解析】選A.當(dāng)0<x<1時(shí),2x>1,0<x12<1,lgx<0,所以2x>【舉一反三】題目條件不變,則f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)【解析】選D.取特值x=123.(2022·沈陽(yáng)高一檢測(cè))如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖,那么“紅豆生南國(guó),春來(lái)發(fā)幾枝”的紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好?()A.指數(shù)函數(shù)：y=2t B.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log2tC.冪函數(shù)：y=t3 D.二次函數(shù)：y=2t2【解析】選A.依據(jù)散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)可得t與y的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,2),(2,4),(3,8),(4,16),(5,32)等.結(jié)合選項(xiàng)知選A.【變式訓(xùn)練】甲乙二人同時(shí)從A地趕往B地,甲先騎自行車到中點(diǎn)改為跑步,而乙則是先跑步到中點(diǎn)改為騎自行車,最終兩人同時(shí)到達(dá)B地,又知甲騎自行車比乙騎自行車的速度快,并且二人騎車速度均比跑步速度快.若某人離開(kāi)A地的距離S與所用時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系可用圖像表示,則下列給出的四個(gè)函數(shù)圖像中,甲、乙兩人的圖像只可能是()A.甲是圖①,乙是圖② B.甲是圖①,乙是圖④C.甲是圖③,乙是圖② D.甲是圖③,乙是圖④【解析】選B.由題設(shè),兩人都是到中點(diǎn)變換了行走方式,且同時(shí)到達(dá)目的地,由于甲騎自行車的速度較快,故其騎車用時(shí)比乙少,而跑步用時(shí)比乙多,故甲的行程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)為騎車時(shí)斜率比乙騎車時(shí)斜率大,跑步斜率比乙跑步斜率小,且其騎車用時(shí)比乙少,跑步用時(shí)比乙多,甲的圖像是先斜率大,后斜率小,而乙的是先斜率小后斜率大,由此規(guī)律知符合甲的運(yùn)行規(guī)律的圖像應(yīng)為①,符合乙的運(yùn)行規(guī)律的圖像應(yīng)為④.故甲、乙兩人的圖像只可能甲是圖①,乙是圖④.故選B.4.(2022·焦作高一檢測(cè))用固定的速度向如圖外形的瓶子中注水,則水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系是()【解析】選B.t越來(lái)越大時(shí),h增大得較快,而A,D是勻速增長(zhǎng)的,瓶子應(yīng)為直筒狀,C表示的瓶子應(yīng)是口大于底,故選B.【誤區(qū)警示】本題在求解中常因搞錯(cuò)高度h和時(shí)間t的關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)選C.二、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)a=60.7,b=0.76,c=log0.76,則a,b,c的大小關(guān)系為.(按從小到大的挨次寫(xiě))【解題指南】引入0,1兩個(gè)量,比較a,b,c與0,1的大小關(guān)系.【解析】由于c=log0.76<0<b=0.76<1<a=60.7,所以c<b<a.答案：c<b<a6.某商店每月利潤(rùn)穩(wěn)步增長(zhǎng),去年12月份的利潤(rùn)是當(dāng)年1月份利潤(rùn)的k倍,則該商店去年每月利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為.【解析】設(shè)平均增長(zhǎng)率為p,則k=(1+p)11,故p=11k答案：11k三、解答題(每小題12分,共24分)7.某企業(yè)擬共用10萬(wàn)元投資甲、乙兩種商品.已知各投入x萬(wàn)元,甲、乙兩種商品可分別獲得y1,y2萬(wàn)元的利潤(rùn),利潤(rùn)曲線P1：y1=axn,P2：y2=bx+c如圖所示.(1)求函數(shù)y1,y2的解析式.(2)為使投資獲得最大利潤(rùn),應(yīng)怎樣支配投資額,才能獲得最大利潤(rùn)?【解析】(1)P1：y1=axn過(guò)點(diǎn)1,5454=a·所以y1=54x12,xP2：y2=bx+c過(guò)點(diǎn)(0,0),(4,1),所以c所以y2=14x,x∈[0,+∞(2)設(shè)用x萬(wàn)元投資甲商品,那么投資乙商品為(10-x)萬(wàn)元,總利潤(rùn)為y萬(wàn)元.依據(jù)題意得y=54x+=-14x+54=-14x-522+當(dāng)x=52即x=254=6.25時(shí),ymax=投資乙商品為10-6.25=3.75萬(wàn)元.答：用6.25萬(wàn)元投資甲商品,3.75萬(wàn)元投資乙商品,才能獲得最大利潤(rùn).8.(2022·臨沂高一檢測(cè))某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo),預(yù)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的嘉獎(jiǎng)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí),按銷售利潤(rùn)進(jìn)行嘉獎(jiǎng),且獎(jiǎng)金y(萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(萬(wàn)元)的增加而增加,但嘉獎(jiǎng)總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%,現(xiàn)有三個(gè)嘉獎(jiǎng)模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司要求?【解題指南】嘉獎(jiǎng)模型符合公司要求,即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),能夠滿足y≤5,且yx≤【解析】借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖像如圖所示：觀看圖像發(fā)覺(jué),在區(qū)間[10,1000]上模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說(shuō)明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行嘉獎(jiǎng)才能符合公司要求,下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述推斷.首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元.對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1000]時(shí),y>5,因此該模型不符合要求.對(duì)于模型y=1.002x,利用計(jì)算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1000]時(shí),y>5,因此,也不符合題意.對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增且當(dāng)x=1000時(shí),y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.再計(jì)算按模型y=log7x+1嘉獎(jiǎng)時(shí),獎(jiǎng)金是否超過(guò)利潤(rùn)x的25%,即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像,由圖像可知f(x)是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),y<0.25x.這說(shuō)明,按模型y=log7x+1嘉獎(jiǎng)不超過(guò)利潤(rùn)的25%.綜上所述,模型y=log7x+1的確符合公司要求.【變式訓(xùn)練】下面給出f(x)隨x的增大而得到的函數(shù)值表：x2xx22x+7log2x12190244111389131.58504161615253225172.321966436192.5850712849212.8074825664233951281253.169