【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時(shí)作業(yè)：第六章-第二節(jié)不等式的證明

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十九)一、選擇題1.要證明QUOTE+QUOTE<2QUOTE可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是()(A)綜合法 (B)分析法(C)類比法 (D)歸納法2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反證法證明a>0,b>0,c>0時(shí)的反設(shè)為()(A)a<0,b<0,c<0(B)a≤0,b>0,c>0(C)a,b,c不全是正數(shù)(D)abc<03.(2021·珠海模擬)設(shè)a>1>b>-1,則下列不等式恒成立的是()(A)QUOTE<QUOTE (B)QUOTE>QUOTE(C)a2>QUOTE (D)a>b24.若QUOTE<QUOTE<0,則下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④QUOTE+QUOTE>2中,正確的不等式是()(A)①② (B)②③(C)①④ (D)③④5.p=QUOTE+QUOTE,q=QUOTE(m,n,a,b,c,d均為正數(shù)),則p,q的大小為()(A)p≥q (B)p≤q (C)p>q (D)不確定6.(2021·桂林模擬)“a=QUOTE”是“對任意的正數(shù)x,2x+QUOTE≥1”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件7.設(shè)a,b,c,d∈R,若a,1,b成等比數(shù)列,且c,1,d成等差數(shù)列,則下列不等式恒成立的是()(A)a+b≤2cd (B)a+b≥2cd(C)|a+b|≤2cd (D)|a+b|≥2cd8.已知a,b為非零實(shí)數(shù),則使不等式QUOTE+QUOTE≤-2成立的一個(gè)充分不必要條件是()(A)ab>0 (B)ab<0(C)a>0,b<0 (D)a>0,b>09.若a>b>1,P=QUOTE,Q=QUOTE(lga+lgb),R=lgQUOTE,則()(A)R<P<Q (B)P<Q<R(C)Q<P<R (D)P<R<Q10.(力氣挑戰(zhàn)題)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),則QUOTE+QUOTE的最小值為()(A)4 (B)4QUOTE (C)8 (D)8QUOTE11.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是()(A)a<b<QUOTE<QUOTE (B)a<QUOTE<QUOTE<b(C)a<QUOTE<b<QUOTE (D)QUOTE<a<QUOTE<b二、填空題12.已知a1≤a2,b1≥b2,則a1b1+a2b2與a1b2+a2b1的大小關(guān)系是.13.設(shè)A=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,B=QUOTE,則A與B的大小關(guān)系是.14.(2021·崇左模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,對于[-QUOTE,QUOTE]上的任意x1,x2,有如下條件:①x1>x2;②QUOTE>QUOTE;③x1>|x2|.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是.15.(力氣挑戰(zhàn)題)若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是(寫出全部正確命題的編號).①ab≤1;②QUOTE+QUOTE≤QUOTE;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤QUOTE+QUOTE≥2.三、解答題16.(力氣挑戰(zhàn)題)(1)求證:當(dāng)a>1時(shí),不等式a3+QUOTE>a2+QUOTE成立;(2)要使上述不等式成立,能否將條件“a>1”適當(dāng)放寬?若能,請放寬條件,并簡述理由;若不能,也請說明理由;(3)請你依據(jù)(1)(2)的結(jié)果,寫出一個(gè)更為一般的結(jié)論,并予以證明.答案解析1.【解析】選B.要證明QUOTE+QUOTE<2QUOTE,只需證QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE.兩邊平方有10+2QUOTE<10+10.即只要證2QUOTE<10.再兩邊平方有84<100成立.故QUOTE+QUOTE<2QUOTE成立.由證明過程可知分析法最合理.2.【解析】選C.反證法的原理是從假設(shè)結(jié)論不成立動(dòng)身進(jìn)行證明的,故反設(shè)為a,b,c不全是正數(shù).3.【解析】選D.若b<0,則QUOTE<0,∴QUOTE>QUOTE,故A不正確.若b>0,由a>1>b>0,得QUOTE<QUOTE,故B也不正確.當(dāng)a=2,b=QUOTE時(shí),a2=4<9=QUOTE,故C也不正確.∵-1<b<1,∴0≤b2<1,∴a>1>b2,故D正確.4.【解析】選C.∵QUOTE<QUOTE<0,∴a<0,b<0,QUOTE-QUOTE=QUOTE<0,∴b-a<0,即b<a<0,故③不正確.∴|b|>|a|,故②不正確,ab>0,a+b<0,故①正確,∴QUOTE>0,QUOTE>0,又a≠b,∴QUOTE+QUOTE>2QUOTE=2,故④正確.5.【解析】選B.q=QUOTE≥QUOTE=QUOTE+QUOTE=p.6.【解析】選A.令p:“a=QUOTE”,q:“對任意的正數(shù)x,2x+QUOTE≥1”.若p成立,則a=QUOTE,則2x+QUOTE=2x+QUOTE≥2QUOTE=1,即q成立,pq;若q成立,則2x2-x+a≥0恒成立,解得a≥QUOTE,∴qp,∴p是q的充分不必要條件.7.【解析】選D.由題意可知,ab=1,c+d=2.故|a+b|≥2QUOTE=2,cd≤(QUOTE)2=1.∴|a+b|≥2cd.8.【解析】選C.∵QUOTE與QUOTE同號,由QUOTE+QUOTE≤-2,知QUOTE<0,QUOTE<0,即ab<0.又若ab<0,則QUOTE<0,QUOTE<0.∴QUOTE+QUOTE=-[(-QUOTE)+(-QUOTE)]≤-2QUOTE=-2,綜上,ab<0是QUOTE+QUOTE≤-2的充要條件,∴a>0,b<0是QUOTE+QUOTE≤-2的一個(gè)充分不必要條件.9.【解析】選B.∵lga>lgb>0,∴QUOTE(lga+lgb)>QUOTE,即Q>P,又∵a>b>1,∴QUOTE>QUOTE,∴l(xiāng)gQUOTE>lgQUOTE=QUOTE(lga+lgb),即R>Q,∴有P<Q<R,選B.10.【思路點(diǎn)撥】結(jié)合“二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+∞)”建立a與c的關(guān)系,并用均值不等式求解.【解析】選A.∵f(x)=ax2+2x+c的值域?yàn)閇0,+∞),則由Δ=0,a>0得c=QUOTE,∴QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=a2+a+QUOTE+QUOTE=(a2+QUOTE)+(a+QUOTE)≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=QUOTE,即a=1時(shí)取等號).11.【解析】選B.方法一∵0<a<b,∴ab<b2,a2<ab,2a<a+b<2b,∴a<QUOTE<b,a<QUOTE<b,又QUOTE>QUOTE,∴a<QUOTE<QUOTE<b.方法二(特值法):∵0<a<b,取a=1,b=4,則QUOTE=2,QUOTE=QUOTE,∴當(dāng)a=1,b=4時(shí),a<QUOTE<QUOTE<b,否定A,C,D,故選B.12.【解析】a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2),由于a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b113.【解析】A=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≥QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=B.答案:A≥B14.【解析】∵f(-x)=x2-cosx=f(x),且x∈[-QUOTE,QUOTE],∴f(x)為偶函數(shù),又∵f'(x)=2x+sinx,當(dāng)x∈[0,QUOTE]時(shí),f'(x)≥0,∴f(x)在[0,QUOTE]上單調(diào)遞增,結(jié)合f(x)的性質(zhì)可知f(x)在[-QUOTE,0]上單調(diào)遞減,明顯當(dāng)QUOTE>QUOTE時(shí),有|x1|>|x2|,從而f(x1)>f(x2),當(dāng)x1>|x2|時(shí),也有f(x1)>f(x2),故使f(x1)>f(x2)恒成立的條件為②③.答案:②③15.【解析】令a=b=1,排解②.由2=a+b≥2QUOTEab≤1,①正確.a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,③正確.∵a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)=(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)[(a+b)2-3(QUOTE)2]=2×(4-3)=2,④錯(cuò)誤.QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥2,⑤正確.答案:①③⑤16.【思路點(diǎn)撥】(1)用比較法證明.(2)結(jié)合(1)的證明過程給出放寬條件及其理由.(3)結(jié)合類比歸納原理進(jìn)行歸納,并給出理由.【解析】(1)a3+QUOTE-a2-QUOTE=QUOTE(a-1)(a5-1).由于a>1,所以QUOTE(a-1)(a5-1)>0,故原不等式成立.(2)由于a-1與a5-1對于任意的a>0且a≠1都保持同號,所以上述不等式對任何a>0且a≠1都成立,故條件可以放寬為a>0且a≠1.(3)依據(jù)(1)(2)的證明,可推知:若a>0且a≠1,m>n>0,則有am+QUOTE>an+QUOTE.證明如下:左邊-右邊=am-an+QUOTE-QUOTE=an(am-n-1)-QUOTE(am-n-1)=QUOTE(am-n-1)(am+n-1),若a>1,則由m>n>0得am-n-1>0,am+n-1>0,知不等式成立;若0<a<1,則由m>n>0得-1<am-n-1<0,-1<am+n-1<0,知不等式成立.綜上,a>0且a≠1,m>n>0時(shí),有am+QUOTE>an+QUOTE.【方法技巧】證明不等式的方法選擇(1)不等式兩邊為多項(xiàng)式且作差后能分解因式或配方的宜用作差法.不等式兩邊為單項(xiàng)式,宜用作商法.(2)不等式一邊為多項(xiàng)高次,另一邊為低次或單項(xiàng),宜用綜合法.(3)不等式兩邊為分?jǐn)?shù)指數(shù)或分式形式的多項(xiàng)式,宜用分析法.(4)直接證明不等式較困難或含有“至多”“至少”等問題的不等式證明宜用反證法.【變式備選】我們將具有下列性質(zhì)的全部函數(shù)組成集合M:函數(shù)y=f(x)(x∈D),對任意x,y,QUOTE∈D均滿足f(QUOTE)≥QUOTE[f(x)+f(y)],當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立.(1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)∈M,試比較f(3)+f(5)與2f(4)的大小.(2)給定兩個(gè)函數(shù):f1(x)=QUOTE(x>0),f2(x)=logax(a>1,x>0).證明:f1(x)M,f2(x)∈M.(3)試?yán)?2)的結(jié)論解決下列問題:若實(shí)數(shù)m,n滿足2m+2n=1,求m+n的最大值.【解析】(1)QUOTE≤f(QUOTE),即f(3)+f(5)≤2f(4),但3≠5,所以f(3)+f(5)<2f(4).(2)①對于f1(x)=QUOTE(x>0),取x=1,y=2,則f1(QUOTE)=f1(QUOTE)=QUOTE,QUOTE[f1(x)+f1(y)]=QUOTE×(1+QUOTE)=QUOTE,所以f(QUOTE)<QUOTE[f(x)+f(y)],所以f1(x)M.②對于f2(x)=logax(a>1,x>0),任取x,y∈(0,+∞),則f(QUOTE)=logaQUOTE,∵QUOTE≥QUOTE,而函數(shù)f2(x)=logax(a>1,x>0)是增函數(shù),∴l(xiāng)ogaQUOTE≥logaQUOTE,即logaQUOTE≥QUOTEloga(xy)=