《泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究》5900字

泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u1. 泰勒公式的基本內(nèi)容 52. 基本初等函數(shù)的泰勒公式 52.1有關(guān)定義及定理 52.2函數(shù)在x=0處的泰勒公式四種求法 62.2.1換元法 62.2.2四則運(yùn)算法 72.2.3積分法 72.2.4待定系數(shù)法 73. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀及要點(diǎn) 83.1現(xiàn)狀 83.2要點(diǎn) 83.2.1將高等數(shù)學(xué)的解題過(guò)程以及公式運(yùn)用的過(guò)程緊密結(jié)合 83.2.2．透徹理解泰勒公式內(nèi)涵 93.2.3．正確選擇泰勒公式及其子公式 94. 高等數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用泰勒公式的具體實(shí)例 104.1利用泰勒公式求解函數(shù)極限 104.2求近似值 104.3證明不等式 114.4.討論某些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 125. 從泰勒公式到泰勒級(jí)數(shù) 125.1利用泰勒公式證明不等式 125.2用泰勒級(jí)數(shù)解微分方程 136. 結(jié)論 14

摘要：隨著泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，現(xiàn)代教育研究領(lǐng)域中泰勒公式的研究也在不斷向更深層次的地方拓展。泰勒公式已然成為了高等數(shù)學(xué)中一個(gè)及其重要的知識(shí)點(diǎn)，它對(duì)研究函數(shù)極限起著不可或缺的作用，并且泰勒公式在高等數(shù)學(xué)的研究中有著非常大的價(jià)值，其原因歸結(jié)于泰勒公式能將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，并且精確度要求較高的運(yùn)算也可以用高次多項(xiàng)式解決，與此同時(shí)，在證明不等式、級(jí)數(shù)的斂散性判定、求函數(shù)的不定積分等方面泰勒公式同樣有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泰勒公式高等數(shù)學(xué)應(yīng)用斂散性不等式近似值初等函數(shù)泰勒公式的基本內(nèi)容內(nèi)容：泰勒公式是一種表示其周?chē)娜≈档墓?，該公式使用了函?shù)在某個(gè)位置上的信息。此時(shí)如果函數(shù)的光滑度足夠，通過(guò)泰勒公式利用這些函數(shù)中某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值建立多項(xiàng)式，用它來(lái)近似函數(shù)在此處領(lǐng)域中的值。結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活來(lái)講，生物、化學(xué)、物理中的物質(zhì)似乎都是可以分解的，它通過(guò)分解得到一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)單元，這一點(diǎn)不正如我們數(shù)學(xué)中的公式嗎？都是在尋求一系列東西的共通之處。泰勒公式的思想也是如此，它使將所有可導(dǎo)的函數(shù)用統(tǒng)一的格式表示出來(lái)，從而應(yīng)用于一系列的題目當(dāng)中去。泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中是很常見(jiàn)的一種，它不僅僅是簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，更重要的是提高了效率。泰勒公式：（1.1.1）其中o為余項(xiàng)?？梢杂寐灞冗_(dá)法則來(lái)推導(dǎo)帶有皮安諾余項(xiàng)的泰勒公式。帶拉格朗日的泰勒公式即泰勒中值定理如下：若是函數(shù)在含有x的開(kāi)區(qū)間（a，b）有n+1階之前的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在本區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開(kāi)為一個(gè)有關(guān)(x?x0)(1.1.2)此處的余項(xiàng)就被叫做拉格朗日型的余項(xiàng)。泰勒公式中兩個(gè)余項(xiàng)的根本思想是如何利用多項(xiàng)式逼似函數(shù)?；境醯群瘮?shù)的泰勒公式把函數(shù)視為泰勒公式間接擴(kuò)展的方法?；境醯群瘮?shù)的泰勒公式和4種常用方法，通過(guò)某種間接的方法，得出泰勒公式是本處討論的要點(diǎn)，它使函數(shù)展開(kāi)為泰勒公式的工作量大大減少。2.1有關(guān)定義及定理定義1對(duì)于在x=0處n+1階可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，稱以下（2.1.1）為f(x)在x=0處的泰勒公式，其中的Rn(0，x)exln1+x(1+x)sinxcosx=1?x2證明：僅討論在皮安諾余項(xiàng)時(shí)，與拉格朗日余項(xiàng)與此相似，由于f(x)在x=0的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有n+2階導(dǎo)數(shù)存在，從定義1可以看出fx由定義1，得到f'f'2.2函數(shù)在x=0處的泰勒公式四種求法2.2.1換元法如果所求函數(shù)是與上面的初等函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，則把它看作是復(fù)合函數(shù)，此復(fù)合函數(shù)由一個(gè)函數(shù)與變量的多項(xiàng)式組成，然后就可以使用換元法直接把泰勒公式給求出來(lái)，再之后把變量的多項(xiàng)式當(dāng)作成一個(gè)整體求解即可例1求解：2.2.2四則運(yùn)算法想要用四則運(yùn)算得出泰勒公式需要滿足的前提就是：要求的函數(shù)是上面所列出的五種初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次數(shù)的四則計(jì)算所構(gòu)成的。得出需求解只需要把構(gòu)成函數(shù)的泰勒公式給利用起來(lái)運(yùn)用四則運(yùn)算即可。例2求在x=0處的五階泰勒公式解：此時(shí)四階運(yùn)算法在此處求解發(fā)揮重要作用，由上述公式（2.1.2）、（2.1.5）和過(guò)去所學(xué)的有關(guān)乘法的運(yùn)算法則，就可以輕松得到2.2.3積分法如果所要求的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是上面給出的五種初等函數(shù)，要求它的泰勒公式就可以對(duì)其導(dǎo)涵數(shù)的泰勒公式進(jìn)行積分，通過(guò)這一步驟泰勒公式就能得到了例3求fx解：使用積分求解由于1而arctanx=0x2.2.4待定系數(shù)法某些函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)想要計(jì)算出來(lái)是非常困難的，此時(shí)用待定系數(shù)法來(lái)求它的泰勒公式是非常好的一個(gè)選擇。我們可以先假設(shè)即假設(shè)出函數(shù)的泰勒公式，再推導(dǎo)，推導(dǎo)過(guò)程是先理清它與構(gòu)成函數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，然后再把泰勒公式與構(gòu)成函數(shù)的泰勒公式關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)，此時(shí)就可以求解出相應(yīng)的系數(shù)了。例4求fx解：使用待定系數(shù)法求解，令f由于sinx=x?16x3+1120x5+°(x5泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀及要點(diǎn)3.1現(xiàn)狀在高等數(shù)學(xué)研究中泰勒公式發(fā)揮的作用不可估量。高等數(shù)學(xué)中的各種解題公式極大一部分利用了泰勒公式簡(jiǎn)化解題步驟或提高解題效率，泰勒公式是最常用的一種，也是最基本的一種。然而，在做數(shù)學(xué)題時(shí)，有的同學(xué)沒(méi)有正確地選擇公式，也沒(méi)有正確地使用公式，從而造成了大量的失誤，造成了很多問(wèn)題。其次，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中使用泰勒公式，很多時(shí)候并不是真正的泰勒公式的含義搞懂了，更多時(shí)候是對(duì)于泰勒公式的使用有一個(gè)非常表面的認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿套用，這個(gè)簡(jiǎn)單的模仿過(guò)程實(shí)際上忽視了數(shù)學(xué)解題中每個(gè)不同題目的特殊性，這樣達(dá)到的效果不是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中想到達(dá)到的效果，往往也不能達(dá)到正確解答數(shù)學(xué)題目的效果。由此，大學(xué)生想要更有意義的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，需要理解其深層原理，并且通過(guò)自己的理解進(jìn)行解答題目，通過(guò)這樣的自主學(xué)習(xí)才能達(dá)到真正的融會(huì)貫通，才能更好的掌握和利用泰勒公式來(lái)解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，才不會(huì)出現(xiàn)只會(huì)簡(jiǎn)單的模仿解題的糟糕狀態(tài)，才能提升自己在日常生活中的學(xué)習(xí)能力，此外還會(huì)一步步提高學(xué)生靠自己完成數(shù)學(xué)解題操作的實(shí)踐能力。這樣的結(jié)果才是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。3.2要點(diǎn)3.2.1將高等數(shù)學(xué)的解題過(guò)程以及公式運(yùn)用的過(guò)程緊密結(jié)合高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括了相對(duì)繁瑣復(fù)雜的考題和解題的過(guò)程，充分顯示了學(xué)生在解題過(guò)程中的自主性。目前看來(lái)，很多學(xué)生雖然能夠?qū)⑻├展竭M(jìn)行精準(zhǔn)記憶，但是仍然沒(méi)有把靈活運(yùn)用泰勒公式作為自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而只是在解題過(guò)程中進(jìn)行一味的模仿練習(xí)，這必然會(huì)將自己學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的審題過(guò)程和數(shù)學(xué)解題過(guò)程的難度在無(wú)形中增加，同時(shí)這個(gè)情況將會(huì)帶來(lái)負(fù)能量，負(fù)能量一旦堆積起來(lái)，學(xué)生們將會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)的情緒，這種情況將會(huì)反作用于學(xué)生們學(xué)習(xí)的積極性，因此，對(duì)于泰勒公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅是需要能夠準(zhǔn)確表達(dá)及理解其內(nèi)在含義，更應(yīng)當(dāng)不斷嘗試在解題過(guò)程中靈活的運(yùn)用泰勒公式，將解題過(guò)程以及公式選擇的過(guò)程緊密的結(jié)合起來(lái)，達(dá)到融會(huì)貫通、相輔相成。泰勒公式在實(shí)際中的應(yīng)用比較廣泛，但在一般情況下，當(dāng)涉及到函數(shù)極限的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很難理解該問(wèn)題。如果一個(gè)學(xué)生在做一個(gè)錯(cuò)誤的判斷時(shí)，不僅不能準(zhǔn)確地理解泰勒公式的應(yīng)用，而且很有可能會(huì)把泰勒公式和類(lèi)似的數(shù)學(xué)方程弄得一頭霧水。因此，在初學(xué)者學(xué)習(xí)泰勒公式的時(shí)候，必須嚴(yán)格地將泰勒公式應(yīng)用到每一道題中去。3.2.2．透徹理解泰勒公式內(nèi)涵泰勒公式分為兩大部分，這兩大部分都是獨(dú)立的，因此，想要理解泰勒公式，必須要學(xué)會(huì)冪級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本知識(shí)。當(dāng)我們充分地學(xué)習(xí)了解了上述的數(shù)學(xué)相關(guān)地基礎(chǔ)知識(shí)，才能對(duì)泰勒公式產(chǎn)生更加深入的理解，繼而可以正確地利用泰勒公式來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題．在關(guān)于高等數(shù)學(xué)科目的日常教學(xué)中，學(xué)生需要在學(xué)科老師的正確引導(dǎo)下，首先了解并明白泰勒公式及其基本原理，之后老師可以讓同學(xué)們使用之前所學(xué)習(xí)了解過(guò)的其他相關(guān)數(shù)學(xué)定理內(nèi)容來(lái)掌握泰勒公式，這樣學(xué)生就能簡(jiǎn)單明了清晰地將泰勒公式掌握。在學(xué)習(xí)子公式時(shí)，一定要使同學(xué)們明白嚴(yán)格的分子式和它的母式，并記住禁止上述兩個(gè)公式的約束條件。這是因?yàn)楦惫胶椭鞴降南嗨浦?，從而使公式混淆的可能性。為了更加?yán)謹(jǐn)?shù)貐^(qū)分兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)公式，學(xué)生要了解公式成立的先決條件。如果條件是已知的，則要綜合考慮各種公式的不同之處，嚴(yán)防出現(xiàn)類(lèi)似的錯(cuò)誤。3.2.3．正確選擇泰勒公式及其子公式正確地使用泰勒公式，是解決問(wèn)題的重要前提，所以，泰勒公式的使用，可以幫助學(xué)生更好地挖掘出問(wèn)題的潛在問(wèn)題，從而大大降低問(wèn)題的難度。泰勒公式的學(xué)習(xí)和使用，表面上看起來(lái)很難，但只要學(xué)生能夠完全掌握泰勒公式的基本原理，那么就可以將泰勒公式應(yīng)用到日常的解題中去，從而提高解題的質(zhì)量，讓學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)泰勒公式的時(shí)候，必須要將泰勒公式和其它的數(shù)學(xué)公式區(qū)分開(kāi)來(lái)，而不是單純的泰勒公式。事實(shí)上，想要讓一個(gè)學(xué)生掌握正確的公式和使用公式，就必須要不斷地練習(xí)函數(shù)題。在高數(shù)習(xí)題的日常解題訓(xùn)練中，必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題干進(jìn)行全面分析，并充分挖掘出隱含的問(wèn)題。如果能把數(shù)學(xué)題的潛臺(tái)詞深度挖掘出來(lái)，就能大大簡(jiǎn)化解題思路，避免出現(xiàn)將數(shù)學(xué)題復(fù)雜化的錯(cuò)誤。作為一名工科學(xué)生，我們應(yīng)該在解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)用泰勒公式，同時(shí)提高靈活性也是我們的任務(wù)之一。高等數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用泰勒公式的具體實(shí)例4.1利用泰勒公式求解函數(shù)極限高等數(shù)學(xué)中求解不定式極限是極限運(yùn)算中的典型問(wèn)題，用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限是一種有效的方法。求無(wú)窮型極限的方法有多種，洛比達(dá)法則就是其中一個(gè)被經(jīng)常使用的方法，但是與泰勒公式相比還是略輸一籌，使用泰勒公式會(huì)使問(wèn)題得到很大程度上的簡(jiǎn)化，使我們的解題效率大大提升。泰勒公式求極限本質(zhì)就是先用泰勒公式將函數(shù)給展開(kāi)，再然后用泰勒公式的分式將其簡(jiǎn)化，最終利用無(wú)窮小階的估計(jì)來(lái)求得極限的一個(gè)過(guò)程。例二求limx→0解：由于分母，我們只需將分子中分別用帶有皮亞諾余項(xiàng)的四階麥克勞林公式表示，即泰勒公式可以簡(jiǎn)化此類(lèi)函數(shù)的極限，而洛必達(dá)定律則更為復(fù)雜。4.2求近似值近似計(jì)算是工科學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)技能，甚至有時(shí)對(duì)精確度有較高的要求，利用泰勒公式就能較好的將這類(lèi)問(wèn)題解決。有一些方法在微分中有所使用，它利用與微積分有關(guān)的運(yùn)用方法，就可以將函數(shù)的近似公式導(dǎo)出來(lái)：fx例二求ex解：當(dāng)n=6即可。對(duì)于有連續(xù)微分的函數(shù)，在計(jì)算精度的時(shí)候，此時(shí)采用泰勒公式是合理的。4.3證明不等式在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)中我們可以學(xué)到很多種證明不等式的方法，泰勒公式證明法是比較重要的一種。含有一階或多階不等式需要我們證明時(shí)，我們需要根據(jù)題目所給條件進(jìn)行合理的選擇解題步驟；而當(dāng)不等式的最高階導(dǎo)數(shù)時(shí)已知的，我們直接選擇泰勒公式，寫(xiě)出其泰勒展開(kāi)式，然后作出泰勒公式的輔助公式，但此時(shí)不是隨意運(yùn)用的，需要滿足一個(gè)條件即其具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并處理泰勒余項(xiàng)，此過(guò)程應(yīng)恰當(dāng)。總的來(lái)說(shuō)，我們使用泰勒公式證明不等式時(shí)的步驟是：化簡(jiǎn)→構(gòu)造→變換（不等式變?yōu)椴坏仁浇M）→展開(kāi)求解例三證明證明：從上述證明可以得知，泰勒公式在證明不等式時(shí)是非常重要的。4.4.討論某些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)斂散性的判斷是學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)認(rèn)為比較難的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。解決這類(lèi)題目常用比較判別法，但是這種方法解答問(wèn)題的效率其實(shí)并不高，如果此時(shí)換一種方式，比如使用泰勒公式，就會(huì)使事情變得容易許多。泰勒公式一般是運(yùn)用在通項(xiàng)表達(dá)式較為繁雜時(shí)，它可進(jìn)行復(fù)雜的東西簡(jiǎn)單化或者將其統(tǒng)一。例四討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)n=1∞解從泰勒公式到泰勒級(jí)數(shù)泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的一種，理論和數(shù)值計(jì)算都有運(yùn)用它，泰勒級(jí)數(shù)是其中的一個(gè)特殊例子，雖然泰勒級(jí)數(shù)與泰勒公式在實(shí)際使用過(guò)程中有不少相似之處，但是它們的引入還是有比較大的區(qū)別。掌握泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，把一元函數(shù)泰勒公式擴(kuò)展到多元函數(shù)的泰勒公式，使其具有更加遼闊的應(yīng)用前景，內(nèi)容也更加生動(dòng)具體化、系統(tǒng)化，這可以使泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中往更加美好的方面發(fā)展，方便我們今后更加方便的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)和解題的效率。5.1利用泰勒公式證明不等式例1若f‘’(x0)當(dāng)f‘’x0<0時(shí)，f證：例2證明：5.2用泰勒級(jí)數(shù)解微分方程對(duì)于一階微分方程（5.2.1）例3某種關(guān)系在泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)之間存在著，當(dāng)函數(shù)可以展成泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，在收斂域內(nèi)，可以說(shuō)成泰勒級(jí)數(shù)和泰勒公式其實(shí)是一樣的，所以說(shuō)上面的泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)是有共性存在的。結(jié)論學(xué)生在大學(xué)期間對(duì)近似值的計(jì)算、斂散性的判斷、不等式的證明等知識(shí)的學(xué)習(xí)是必不可少的，如果能同時(shí)將泰勒公式運(yùn)行其中，同學(xué)們的學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)都將達(dá)到事半功倍的效果。本文從多個(gè)方面，對(duì)泰勒公式的一些應(yīng)用進(jìn)行了討論。泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算是日常生活中最常用的用法，它不僅計(jì)算簡(jiǎn)單同時(shí)還保證了計(jì)算結(jié)果具有極高的精確度，這使得學(xué)生們的日常學(xué)習(xí)效率提高，但如果我們要在實(shí)際當(dāng)中進(jìn)行運(yùn)用，還是需要做好區(qū)分，因?yàn)樘├展讲⒉荒苓\(yùn)用于所有的近似計(jì)算或估值。泰勒公式使用的限制條件有：函數(shù)具備n階連續(xù)可微函數(shù)，精確度與它的階數(shù)有著密不可分的關(guān)系，階數(shù)與精確度是成正比的，所以我們不能盲目使用，根據(jù)實(shí)際情況使用才是正確的。因此我們不僅要掌握泰勒公式的使用方法，更要將其原理及使用條件熟知，否則這不僅不能幫助我們提高學(xué)習(xí)效率，更會(huì)使我們?cè)趯W(xué)習(xí)中出錯(cuò)。另外，泰勒公式作為一種重要的高等數(shù)學(xué)理論，對(duì)于有關(guān)數(shù)學(xué)的研究具有十分重要的作用。泰勒公式的學(xué)習(xí)，必須要有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，為了掌握它的基本原理已經(jīng)概念，同時(shí)要對(duì)它的應(yīng)用進(jìn)行更為細(xì)致的分析，將其中的原理及深層內(nèi)涵理解到位，這樣才有利于我們研究工作順利的開(kāi)展，更好的為數(shù)學(xué)理論研究貢獻(xiàn)一份屬于自己的力量。

參考文獻(xiàn)田雨昊.《高等數(shù)學(xué)