【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修一導(dǎo)學(xué)案：《函數(shù)模型及其應(yīng)用》

第4課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用1.把握求解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟,并能利用常見的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.能夠依據(jù)已有的數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問題.前面我們學(xué)習(xí)了幾種不同增長的函數(shù)模型問題,并重點(diǎn)學(xué)習(xí)了利用函數(shù)模型解決一些簡潔的實(shí)際問題;另外在一些實(shí)際問題中,還會(huì)遇到對(duì)函數(shù)模型的機(jī)敏選擇以及應(yīng)用的問題,本節(jié)課就來爭辯這類問題.問題1:我們所學(xué)過的重要的函數(shù)模型有哪些?(1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);(2)反比例函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0(3)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);(4)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1);(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1);(6)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1);問題2:(1)建立數(shù)學(xué)模型的方法是怎樣的?(2)在解決實(shí)際問題過程中,該如何做才能找到合適的數(shù)學(xué)模型?(3)解函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么?(1)一般地,設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,必要時(shí)引入其他相關(guān)幫助變量,并用x、y和幫助變量表示各相關(guān)量,然后依據(jù)問題的,運(yùn)用已把握的數(shù)學(xué)學(xué)問、物理學(xué)問及其他相關(guān)學(xué)問建立,在此基礎(chǔ)上將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)問題,實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化,即所謂的建立數(shù)學(xué)模型.

(2)①:建立直角坐標(biāo)系,畫出散點(diǎn)圖;

②:依據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型.

例如:一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型.③:利用待定系數(shù)法求出各解析式,并對(duì)各模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià),選出合適的函數(shù)模型.

(3)第一步:閱讀理解,審清題意.其次步:引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立.

第三步:利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果.第四步:將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的答案.問題3:(1)對(duì)于一些函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題,我們該如何分析?(2)數(shù)學(xué)模型的實(shí)質(zhì)是什么?(1)把問題模型化,思考我們要爭辯的問題與我們學(xué)習(xí)過的學(xué)問有何關(guān)系,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為去爭辯,利用函數(shù)性質(zhì)特點(diǎn)求解出數(shù)學(xué)問題,再轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.

(2)數(shù)學(xué)模型是用模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型,它把實(shí)際問題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出來,并用來表達(dá),數(shù)學(xué)模型可接受各種形式,如方程(組),函數(shù)解析式,圖形與網(wǎng)絡(luò)等.

1.某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y=5x+4000,而手套出廠價(jià)格為每副10元,則該廠為了不虧本,日產(chǎn)手套至少為().A.200副 B.400副 C.600副 D.800副2.某公司聘請(qǐng)員工,面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算,計(jì)算公式為y=4x,1≤x<10,x∈N+,2xA.15 B.40 C.25 D.1303.一個(gè)水池每小時(shí)注入水量是全池的110,水池還沒有注水部分與總量的比y隨時(shí)間x(小時(shí))變化的解析式為4.某人有資金2000元,擬投入在復(fù)利方式下年酬勞為8%的投資項(xiàng)目,大約經(jīng)過多少年后能使現(xiàn)有資金翻一番?(下列數(shù)據(jù)供參考:lg2≈0.3010,lg5.4≈0.7324,lg5.5≈0.7404,lg5.6≈0.7482)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題某縣目前有100萬人,經(jīng)過x年后有y萬人,假如年平均增長率是1.2%,請(qǐng)回答下列問題:(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人);(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(精確到1年).分段函數(shù)模型的應(yīng)用WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)按30元計(jì)費(fèi);超過500分鐘則超過部分按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi).假如上網(wǎng)時(shí)間過短,在1分鐘以下不計(jì)費(fèi),1分鐘以上(包括1分鐘,不超過60分鐘)按0.5元/分鐘計(jì)費(fèi).WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi).問:(1)小周12月份用WAP手機(jī)上網(wǎng)20小時(shí),要付多少上網(wǎng)費(fèi)?(2)小周10月份付了90元的上網(wǎng)費(fèi),那么他這個(gè)月用手機(jī)可以上多少分鐘的網(wǎng)?(3)你會(huì)選擇WAP手機(jī)上網(wǎng)嗎?若用電腦上網(wǎng)的收費(fèi)為60元/月,你會(huì)用哪一種方式上網(wǎng)?建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題某個(gè)體經(jīng)營者把開頭六個(gè)月試銷A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者預(yù)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬元才合算,請(qǐng)你掛念制定一個(gè)資金投入方案,使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字).分貝是表示聲音強(qiáng)度相對(duì)大小的單位,物理學(xué)家引入了聲壓級(jí)(SPL)來描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測量的聲壓與參考聲壓P0的比值取常用對(duì)數(shù)后乘以20得到的數(shù)值稱為聲壓級(jí),聲壓級(jí)是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區(qū),60~110為過渡區(qū),110以上為有害區(qū).(1)依據(jù)上述材料列出聲壓級(jí)y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式;(2)某地聲壓P=0.002帕,試問該地區(qū)為以上所說的什么區(qū)?(3)2021年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上,某小品類節(jié)目上演時(shí),現(xiàn)場響起多次洪亮的掌聲,某報(bào)記者用儀器測量到最洪亮的一次音量達(dá)到90分貝,試求此時(shí)中心電臺(tái)大廳的聲壓是多少帕?某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(t∈N+)(天)之間的函數(shù)關(guān)系用如圖的兩條線段表示,該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時(shí)間t(t∈N+)(天)之間的關(guān)系如表:

第t天5152030Q件35252010(1)依據(jù)供應(yīng)的圖像,寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.(2)依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù),確定日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式.(3)求該商品的日銷售金額的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天?(日銷售金額=每件的銷售價(jià)格×日銷售量)為了估量山上積雪溶化后對(duì)下游澆灌的影響,在山上建立了一個(gè)觀看站,測量最大積雪深度x與當(dāng)年澆灌面積y,現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料,如下表所示.年序xy115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫出澆灌面積隨積雪深度的圖像.(2)建立一個(gè)能基本反映澆灌面積變化的函數(shù)模型,并畫出圖像.1.某種商品2022年提價(jià)25%,2021年欲恢復(fù)成原價(jià),則應(yīng)降價(jià)().A.30% B.25% C.20% D.15%2.一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25米時(shí),交通燈由紅變綠,汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走,那么().A.人可在7秒內(nèi)追上汽車 B.人可在10秒內(nèi)追上汽車C.人追不上汽車,其間距最少為5米 D.人追不上汽車,其間距最少為7米3.現(xiàn)測得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個(gè)擬合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又測得(x,y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用作為擬合模型較好.

4.某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品,在市場銷售中發(fā)覺此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系:銷售單價(jià)x(元)30404550日銷售量y(件)6030150(1)在所給坐標(biāo)系中,依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元,依據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí),才能獲得最大日銷售利潤.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數(shù)是(lg2≈0.3010)考題變式(我來改編):

答案第4課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題2:(1)已知條件關(guān)系式實(shí)際函數(shù)(2)①建系②初步選擇函數(shù)模型③擇優(yōu)函數(shù)模型(3)數(shù)學(xué)模型問題3:(1)函數(shù)模型(2)數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D由5x+4000≤10x,解得x≥800,即日產(chǎn)手套至少800副時(shí)才不虧本.2.C令y=60,若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用人數(shù)為25.3.y=1-x10,0≤x≤10y=1-x10,0≤x≤4.解:設(shè)經(jīng)過x年后能使現(xiàn)有資金翻一番,則2000×(1+8%)x=4000,即1.08x=2.兩邊取對(duì)數(shù),有x=lg2lg1.08=lg2lg5.45=所以,經(jīng)過10年后才能使現(xiàn)有資金翻一番.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)當(dāng)x=1時(shí),y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);當(dāng)x=2時(shí),y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;當(dāng)x=3時(shí),y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;…故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=100(1+1.2%)x(x∈N+).(2)當(dāng)x=10時(shí),y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.故10年后該縣約有112.7萬人.(3)設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬,則100×(1+1.2%)x=120,所以x=log1.012120100≈16故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬.【小結(jié)】解決此類問題時(shí)肯定要留意不要將次冪搞錯(cuò).解決本題的另一個(gè)難點(diǎn)就是不能正確地進(jìn)行指對(duì)互化,進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算來求解.探究二:【解析】設(shè)使用WAP手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間為x分鐘,由已知條件可知:當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間不超過60分鐘時(shí),以每分鐘0.5元遞增計(jì)費(fèi);當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過60分鐘但不超過500分鐘時(shí),一律按30元收費(fèi);當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過500分鐘時(shí),在30元的基礎(chǔ)上,再增加0.15元/分鐘.故所付上網(wǎng)費(fèi)為:y=0(1)當(dāng)x=20×60=1200(分鐘)時(shí),應(yīng)將1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上網(wǎng)費(fèi).(2)90元已經(jīng)超過30元,所以上網(wǎng)時(shí)間超過500分鐘,由函數(shù)解析式可得x=900,小周這個(gè)月用手機(jī)可以上網(wǎng)900分鐘.(3)當(dāng)1≤x<60時(shí),ymax<30元;當(dāng)60≤x≤500時(shí),ymax=30元,當(dāng)x>500時(shí),30+0.15(x-500)=60?x=700,若每月上網(wǎng)時(shí)間少于700分鐘,則選用WAP手機(jī)上網(wǎng);若等于700分鐘,則選擇兩種上網(wǎng)方式都可以;若上網(wǎng)時(shí)間超過700分鐘,則選用電腦上網(wǎng).【小結(jié)】分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要留意各段變量的范圍,特殊是端點(diǎn)值.探究三:【解析】以投資額為橫坐標(biāo),純利潤為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖,如圖所示.觀看散點(diǎn)圖可以看出,A種商品所獲純利潤y萬元與投資額x萬元之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬.取(4,2)為最高點(diǎn),則y=a(x-4)2+2,再把(1,0.65)代入得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B種商品所獲純利潤y萬元與投資額x萬元之間的變化規(guī)律是線性的,可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬.設(shè)y=kx+b,取點(diǎn)(1,0.25)和(4,1),代入得0.25=k+b,1=4k綜上,前六個(gè)月所獲純利潤y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六個(gè)月所獲純利潤y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=0.25x.設(shè)下月投入A,B兩種商品的資金分別為xA,xB(萬元),總利潤為W(萬元),那么x所以W=-0.15(xA-196)2+0.15×(196)2+2.當(dāng)xA=196≈3.2(萬元)時(shí),W取最大值,約為4.1萬元,此時(shí)xB≈8.8(萬元)即該經(jīng)營者下月把12萬元中的3.2萬元投資A種商品,8.8萬元投資B種商品,可獲得最大利潤約為4.1萬元.【小結(jié)】本題依據(jù)給定的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,然后依據(jù)散點(diǎn)圖的“走向”找到其擬合函數(shù),依據(jù)題意得出總利潤與投資A產(chǎn)品的金額之間的函數(shù)關(guān)系,最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由已知得y=20lgPP0=20lg(2)當(dāng)P=0.002時(shí),y=20lg0.0022×10-5=(3)設(shè)中心電視臺(tái)大廳的聲壓是x帕,則當(dāng)y=90時(shí),有l(wèi)gx2×10-5=9020=4.5,∴x=應(yīng)用二:(1)由圖可得:P=t(2)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)式為Q=-t+40(0<t≤30,t∈N+).(3)由題意y=(=-(當(dāng)0<t<25,t=10時(shí),ymax=900,當(dāng)25≤t≤30,t=25時(shí),ymax=(25-70)2-900=1125,故當(dāng)t=25時(shí),日銷售金額最大且最大值為1125元.應(yīng)用三:(1)利用計(jì)算機(jī)幾何畫板軟件,描點(diǎn)如圖.(2